Los algoritmos en el
contexto escolar
Conclusiones Referencias Notas
Introducción
Uno
de los núcleos de contenido que más relevancia suele tener en el contexto
escolar es el de Números y Operaciones. Es uno de esos tópicos que
podríamos denominar "de toda la vida", no está sujeto a los cambios
determinados por las modas o por la concepción de la Matemática al uso.
Nos
parece natural que sea así. A la sociedad, empezando por los padres, también
les parece natural que esos manoseados contenidos sigan formando parte de la
cultura matemática escolar. Sin embargo el tiempo nos ha ido permitiendo
observar algunos aspectos vinculados a los procesos de enseñanza-aprendizaje de
éstos que merece la pena destacar.
En
primer lugar, siendo la parte de la Matemática más cercana a la realidad del
niño, más tangible, genera una sustanciosa cantidad de fracaso personal y
escolar. Por otro lado y, en aparente contradicción con lo anterior, los niños
resuelven cotidianamente (en virtud de su papel como consumidores activos)
situaciones matemáticamente equiparables a aquellas otras, escolares, (en las
que fracasan) por procedimientos no transmitidos en la escuela. Es decir,
estamos manteniendo una doble cultura que, al menos para el niño, no tiene
conexiones. El niño toma perfecta conciencia del crecimiento o disminución de
un grupo de objetos, cambio que puede cuantificar; resuelve situaciones de
reparto, bien de la forma cuántos tocan a cada uno (que sería un
cociente), o bien de la forma cuántos debo tener si quiero dar tantos a cada
(que es un producto). Sin embargo, ese mismo niño tropieza una y otra vez
cuando materializa esos mismos cálculos con lápiz y papel.
Por
otro lado, personas que no han disfrutado de formación matemática escolar
(suelo pensar siempre en la señora del bar de la antigua Escuela de Magisterio)
resuelven con cierta agilidad situaciones aritméticas elementales por
procedimientos calificados de poco ortodoxos pero eficaces y que la escuela
nunca ha contemplado.
Finalmente,
resulta al menos anecdótico que cuestiones planteadas a los profesionales de la
educación sobre las técnicas escolares de cálculo (como por ejemplo, por qué
cuando multiplicamos por un número de más de una cifra, en la segunda fila
y siguientes, corremos un lugar a la izquierda) no siempre tienen respuesta.
Parece
oportuno reflexionar con una cierta profundidad en estos aspectos con una doble
finalidad:
a. para lograr vincular la cultura escolar y la cultura
social,
b. para conocer en profundidad qué hacemos y cómo y
porqué lo hacemos con el fin de mejorar la calidad de los aprendizajes de
nuestros alumnos.
Al
menos podemos identificar tres tipos de cálculo: mental, pensado y escrito. Si
se nos solicita el valor de 4.5 x 23 podemos dar la respuesta utilizando alguno
de los siguientes recursos:
a. tomando papel y lápiz y "multiplicando",
b. imaginando que efectuamos la labor anterior y
reteniendo "mentalmente" los pasos del proceso,
c. "creando" una respuesta ad hoc,
d. efectuando el cálculo con una calculadora,
e. preguntándole a otro la respuesta.
Los
dos primeros, de eminente carácter mecánico, apenas requieren comentarios (de
momento); los dos últimos son, de alguna manera, equivalentes (máquina o
humano, la respuesta la da otro); sólo la tercera opción es una acción
intelectual de nivel superior. Merece la pena que, antes de continuar,
el lector intente dar una respuesta sin usar ninguno de los recursos enumerados
con a, b, d o e. Personalmente y, en ese caso, me inclino por la
opción siguiente:
23x4.5=23x½(10-1)=½(230-23)=½(210-3)=½(207)=103.5
A
los ejemplos que cada lector haya podido encontrar, podemos añadir los que se
derivan de identificar 4.5 como un duro menos dos reales y todas los derivados
de usos del sistema monetario (actual o, como suele ser normal, de otros
tiempos).
A
este cálculo pensado, cuya característica fundamental es el uso del
esquema conceptual de la operación aritmética en cuestión, se contraponen las
otras dos opciones que están vinculadas a un procedimiento externo de
resolución, a lo que llamamos algoritmo, ya sea su uso mental o escrito.
Ambos tienen un espacio dentro de la Matemática escolar; lo que conviene saber
es cuál es el que corresponde a cada uno y, sobre todo, tomar conciencia de
cuándo se está haciendo un desarrollo conceptual de la operación y cuando se
están desarrollando aspectos mecánicos de la misma.
Por
otro lado, conviene conocer por qué hacemos lo que hacemos cuando
desarrollamos un algoritmo y conocer otras alternativas de éstos (que pueden
llegar a ser igualmente válidas) para tener un mayor conocimiento de causa a la
hora de optar por uno en nuestro trabajo escolar.
Conviene,
en este sentido, relativizar la importancia del algoritmo; me expresaré con un
ejemplo. Una niña de tercer curso de primaria de Huelva capital (cuyo
rendimiento se podría calificar de óptimo) acudía acongojada a su casa con un
examen de matemáticas que le había sido devuelto una vez corregido. En éste, el
único "error" era el siguiente:
3405
x 203
10215
0000
6810
691215
Es
indiscutible que nuestros alumnos deben disponer de un algoritmo que les
agilice los cálculos. Y lo es tanto como que, llegado el momento el mismo
algoritmo será compartido con la calculadora. Pero, ¿son los algoritmos
convencionales contenidos con importancia en sí mismos?, ¿qué hacer cuando los
alumnos llegan a una solución correcta por un procedimiento distinto al que
nosotros conocemos?
Los
algoritmos de las operaciones aritméticas elementales inicio
Resulta
cuando menos paradójica la importancia que damos hoy a determinados
procedimientos que en la fecha de su introducción (siglos XI-XII) causaron
una gran incertidumbre e incredulidad entre los abacistas. Solemos
ignorar las razones de ese prolongado parto de unos procedimientos que creemos
universales y de los que ignoramos lo más importante: sus fundamentos.
Los
algoritmos tienen su importancia. Y la tienen en la medida de que sean usados
conscientemente y para el fin para el que fueron diseñados: agilizar los
cálculos. Pero los algoritmos no pueden identificarse con las operaciones que
agilizan, no contienen su esencia conceptual. Aprender a realizar una división
con lápiz y papel no garantiza la comprensión de los fenómenos que subyacen en
la división (reparto, agrupamiento, ...).
Además,
como hemos ido poniendo de manifiesto a lo largo del texto, los algoritmos
admiten modificaciones personales o interpretaciones (como es el caso de la
niña del ejemplo) que, siempre que lleguen a buen fin y tengan su fundamento,
han de ser tomados como correctos.
Así,
el tiempo empleado en las aulas para estos aspectos ha de ir invirtiéndose,
concediendo más importancia a los aspectos conceptuales y a las estrategias
personales.
El
comienzo de los algoritmos debe supeditarse al momento en que estamos convencidos
de que nuestros alumnos otorgan el significado correcto al sistema de
numeración decimal. Olvidar esto conduce, de forma casi inevitable, a que aún
disponiendo de la estructura conceptual de suma (que justifica que resuelvan
problemas cotidianos de adición) fracasen en determinados cálculos algorítmicos
(caso de la suma y la resta "llevándose").
1.
Algoritmos para la suma y la resta inicio
Es
probable que, con lápiz y papel, todos sumemos de la misma manera. Así, será fácil
para todos escribir detalladamente todas las instrucciones que nos conducen a
un final feliz en la suma.
Una
vez explicitado nuestro comportamiento habitual en este aspecto, cabe
preguntarse:
* ¿por qué empezamos por la derecha, se podría
hacer por la izquierda?
* ¿qué significa llevarse, a dónde se lleva?
* ¿podemos evitar el llevar?
* en el caso de la resta, ¿por qué ponemos el
número mayor arriba, podría ponerse abajo?
Veamos
ahora estos procesos:
7 8 9
+5 9 6
1 2 0 0
1 7 0
1 5
1 3 8 5
7 2 3
-4 7 5
3 2 3
- 7 5
2 5 3
- 5
2 4 8
7 8 9
+ 5 9 6
12 17 15
1 3 8 5
7 2 3
-4 7 5
7 4 8
- 5 0 0
2 4 8
7 8 9
+ 5 9 6
1 5
1 7
1 2
1 3 8 5
7 2 3
-4 7 5
7 1 8
- 4 7 0
6 4 0
- 4 0 0
2 4 8
7 8 9
+5 9 6
1 2
1 7
1 5
1 3 8 5
7 2 3
-4 7 5
7 0 0
- 4 5 2
6 4 8
- 4 0 0
2 4 8
Conviene analizar nuestra propia dificultad de
comprensión, equiparable a la dificultad de nuestros chicos con los algoritmos
convencionales. También es interesante descifrar cada uno de los procesos, sus
pasos ocultos, su íntima relación con el sistema de numeración posicional
decimal que utilizamos.
2. La
multiplicación y la división. inicio
Resulta,
de nuevo, conveniente que expresemos de la forma más detallada posible los
pasos que utilizamos para multiplicar y dividir. A la vista de ellos nos
podríamos hacer las siguientes preguntas:
* ¿por qué se realiza de derecha a izquierda?
* ¿por qué se desplazan a la izquierda las
cifras de la segunda y sucesivas filas?
* ¿por qué este desplazamiento es de dos
lugares en el supuesto de que haya un cero en el multiplicador?
* ¿por qué, en la división se separan ciertas
cifras?
* ¿qué significa "bajar" otro
número?
* ¿por qué no hay tablas de dividir?
* ¿por qué no ponemos las restas parciales?
.....
Resulta
muy ilustrativo intentar multiplicar o dividir en una base distinta de la
decimal, supongamos la base 8. Dediquemos unos instantes a este cometido y
pasemos después a analizar los siguientes procesos:
2 5 6
x 7
4 2
3 5
1 4
1 7 9 2
2 5 6
x 7
1 4 0 0
3 5 0
4 2
1 7 9 2
Para
profundizar en el algoritmo de la división vamos a intentar obtener el valor del
cociente 1000/43 sin usar el algoritmo.
En
primer lugar hacemos una estimación del cociente; puesto que 1000/40 es 25, el
cociente buscado ha de ser menor que esa cantidad, pero mayor que 20 puesto que
20x43=860. Eso nos da como cociente un número de dos cifras cuya decena es 2.
Ahora elaboramos la tabla de multiplicar del 43, entre el 21 y el 24,
detectando el valor de las unidades. Esta parte podría ejecutarse también paso
a paso:
1000 43
860 20
140 3
139
1
Evidentemente,
disponer de medios que permitan descargar la memoria, que reduzcan el margen de
error y el tiempo que precisamos para realizar una serie de cálculos mecánicos,
nos permite dedicar un mayor esfuerzo en ámbitos creativos. Si además el artilugio
sirve para una gama de situaciones y no sólo para un problema concreto, la
justificación del uso de algoritmos puede parecer ociosa.
Pocas
veces el contexto escolar ha asumido el aprendizaje de determinado instrumento
social con tanta vehemencia como con los algoritmos convencionales de la
aritmética elemental; tan es así que, a veces, parecen tener un fin en sí
mismos.
Sería
aventurado aportar una justificación de este hecho, pero permítasemesospechar
la posible influencia de trabajos como los de Thorndike (1922) basados en la
Teoría Asociacionista (ver cuadro 1), que aún mantiene una fuerte vigencia en
el contexto escolar.
|
¡Error! Marcador no definido.Aprender a no salirse
de la columna al ir sumando Aprender a recordar el resultado de cada suma
hasta pasar a la siguiente Aprender a sumar un número que se ve a otro que se
recuerda Aprender a saltarse los espacios vacíos en la
columna Aprender a aplicar las combinaciones a las decenas
superiores, lo que a los alumnos menos dotados les puede costar tanto tiempo
y trabajo como les costó aprenderse las tablas de sumar originales. Incluso
para el niño más dotado la formación de la conexión "8+7=15" no
llega a asegurar automáticamente la presencia de las conexiones
"38+7=45" y "18+7=25" Aprender a escribir la cifra de las unidades, en
lugar de toda la suma total de la columna. Especialmente, aprender a escribir
0 cuando la suma de la columna sea 10, 20,.. Aprender a "llevarse", que supone por lo
menos dos procesos diferentes, se enseñe como se enseñe. 1 El
análisis de Thorndike de la suma de cifras en columnas en términos de
vínculos.(Thorndike, 1922) |
En este sentido, me gustaría destacar
los aspectos más relevantes de los algoritmos en ese contexto:
a) Normalmente los algoritmos están
carentes de significado. En efecto, en el quehacer cotidiano
escolar, los algoritmos son objeto de un aprendizaje memorístico en ausencia de
justificaciones racionales. Algunos, los más usados, quedan integrados en
nuestra estructura de memoria, aunque a veces (la mayoría) no los usamos para
resolver determinadas situaciones problemáticas (fuera de la escuela) en las
que aplicamos otras estrategias personales de resolución (que podrían ser
objeto de un proceso algorítmico). Otros, como el de la obtención de la raíz
cuadrada, caen pronto en el olvido y apenas somos capaces de ponerlos en pie,
en su totalidad o en algunos de sus pasos.
Algunos
algoritmos ocultan estructuras conceptuales básicas que son ignoradas en el
proceso de aprendizaje de aquéllos. Por ejemplo, el algoritmo convencional de
la suma de números enteros está basado en los principios que fundamentan
nuestro sistema de numeración decimal; sin embargo, la mayor parte de las veces
es enseñado prescindiendo de éstos. Esta omisión es la causa de errores
tipificados en al cálculo escrito (p.e. el escribir 916 como resultado de 39
más 67, porque 9 y 7 son 16 y 6 y 3 suman 9) y de posteriores
problemas de aprendizaje de las matemáticas (Carpenter y Moser, 1983).
b) La escuela no da cabida a la
explicitación de las estrategias personales, fomentando lo que podríamos llamar
pasividad mental. Para una determinada operación aritmética, la escuela
ofrece un algoritmo predeterminado (el que el profesor ha aprendido, el que
todos hemos aprendido, el de siempre) sin reflexionar sobre la existencia de
otros alternativos que permitiera efectuar una elección razonada, ni analizar
las estrategias personales de resolución que los alumnos usan fuera de las
aulas y de las que, probablemente, podría obtenerse un algoritmo (Udina, 1989).
Así, los algoritmos se convierten en algo rígido, aburrido, standard, y el
usuario debe limitarse a un uso incomprensivo y mecánico del mismo.
c) Son el prematuro punto de partida.
Un algoritmo aritmético tiene sentido cuando la operación u operaciones que
pretende abreviar han sido comprendidas en su estructura por el usuario. La
comprensión racional es susceptible de ser desarrollada en paralelo con el juicioso
empleo del algoritmo (Orton, 1988). Sin embargo, muchas veces (como es el
caso de adición y sustracción de números enteros) el algoritmo es el prematuro
punto de partida. Sumar, para esta concepción, no es más que conocer y aplicar
el algoritmo convencional de la suma y, en la misma línea, sumar llevándose
es más complejo, aunque esta complejidad no sea compartida por los ejecutores
de acciones de agregar, juntar, unir, etc., cuando sólo se les pide un cardinal
final y se les supone un nivel adecuado de comprensión del concepto de número
y, por tanto, de la secuencia numérica.
d) No desarrollan actitudes que capaciten
para enfrentarse a situaciones extraescolares. Como ya hemos comentado,
cuando nos encontramos ante un problema aritmético y no disponemos de medios o
tiempo para utilizar los algoritmos usuales, recurrimos a otras estrategias
personales, posiblemente más lentas, pero indiscutiblemente válidas. Sin
embargo, el trabajo escolar con los algoritmos no desarrolla estas estrategias
(Cockcroft, 1982). Si a los algoritmos llegamos mediante un proceso
personalizado con cabida para la discusión y la crítica que, de paso, permita
conocer los pasos ocultos de los algoritmos usuales (Gómez y Jaime,
1983; Gómez,1989), éstos ganarían en significatividad e, indudablemente, en
relevancia.
CARPENTER,
T.P. y MOSER, J.M. (1983)."The Acquisition of Adition and Subtraction
Concepts". En Lesh, R. y Landau, M (Eds) Acquisition of mathematics
concepts and processes. Academic Press: New York.
CARRILLO, J. y CONTRERAS, L.C. (1993). Los
algoritmos en el contexto escolar. Algunos ejemplos para la obtención de la
raíz cuadrada. Números, 23, 39-59.
COCKCROFT, W.H. (1982).Mathematics Counts.HMSO:
London (versión española, Las matemáticas sí cuentan, M.E.C. : Madrid, 1985.
GÓMEZ, B. ( 1989 ).Numeración y Cálculo.Síntesis
: Madrid.
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Aritmético (Los algoritmos). Albatros : Valencia.
ORTON, A.
(1988).Learning Mathematics. Issues,
Theory and Classroom Practice.Cassell
: London (versión española, Didáctica de las matemáticas, M.E.C. y Morata :
Madrid, 1990).
RAMÍREZ, A. y USÓN, C. (1996). Por los
trillados caminos de la aritmética escolar de las cuatro operaciones. Suma, 21, 63-71.
THORNDIKE,
E.L. (1922).The Psycology of Arithmetic.Macmillan: New York.
UDINA, F. (1989). Aritmética y calculadoras.
Síntesis: Madrid.
Para nuestros efectos,
entenderemos que un algoritmo es una colección de instrucciones (que suelen
llevar implícitos determinados cálculos aritméticos) cuya ejecución ordenada
conduce a un resultado buscado para un problema o colección de problemas (de un
mismo tipo). Esas instrucciones pueden parecer piezas inconexas de información,
pero encierran un fundamento constructivo y racional, unas veces inductivo y
otras deductivo (Carrillo y Contreras, 1993).
El cálculo,
cuyo nombre proviene del término latino calculus
(piedrecita), no era un conocimiento socialmente extendido. Existían unas personas,
cuyo papel es equiparable al de los ya en decadencia contables, que eran
llamados abacistas por usar ábacos. La invención de los algoritmos dio lugar al
nacimiento de otra escuela de calculadores, los calculistas o algoristas. Se
originó entre ellos una disputa que duró siglos. Aún en el siglo XVIII algunas
personas comprobaban con los ábacos los cálculos previamente efectuados por
procedimientos algorítmicos (Ramírez y Usón, 1996).
En Italia se
usa un algoritmo distinto al nuestro para multiplicar. Lo mismo sucede en
EE.UU. para la división.
Diversos estudios recientes
(Carpenter y Moser,1983; Dickson et al, 1991,...) sugieren la siguiente
clasificación de estrategias, cuyo orden responde al progresivo refinamiento de
las mismas :
a) estrategia de recuento completo ;los individuos, normalmente usando modelos,
cuentan cada colección por separado y luego vuelven a contar la colección
reunida
b) estrategia de contar a partir de, normalmente a partir del mayor cardinal de las
dos colecciones dadas, y en un estadio posterior se realiza desde el primer
número dado
c) estrategia de hecho memorizado (ya citado en el apartado anterior)
d) estrategia de hecho deducido (es el caso de búsqueda
de la decena).