Capítulo III

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

III.1. ¿QUÉ ES LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS?

III.1. ¿QUÉ ES LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS? 

El término o la palabra problema ha adolecido tradicionalmente de gran ambigüedad. Los profesores lo hemos empleado para indicar actividades matemáticas bastante diferentes. Esta imprecisión por parte de los propios profesionales se ve patente en las definiciones que aportaron algunos profesores de Enseñanza Secundaria en varios cursos de formación permanente:

"Planteamiento de una situación en la que hay algún elemento conflictivo que requiere una solución"

"Es un trabajo de investigación donde, usando la creatividad y por medio de un procedimiento matemático usando la lógica y el razonamiento, se trata de llegar a una solución que resuelva las dudas planteadas al principio"

"Situación en la que no se conoce una serie de datos, los cuales hemos de calcular"

"Actividad motivadora que requiere un proceso de razonamiento lógico, pudiendo requerir algunos conocimientos previos y a través del cual se llega a un descubrimiento"

"Situación susceptible de ser estudiada desde distintos puntos de vista, sea resoluble o no, y utilizando distintas técnicas"

"Una situación que debe resolverse no de forma rutinaria o con un mecanismo previsto de antemano, sino que precise establecer conjeturas y utilizar estrategias de pensamiento"

"Algo definido, pero no resuelto"

 

[Sesiones sobre Resolución de Problemas impartidas por el autor en cursos de Introducción a los Diseños Curriculares de Matemáticas de la E.S.O. y de Actualización Científico-Didáctica en el área de Matemáticas. 1992, 1993b]

Es claro que a la imprecisión de algunas definiciones hay que añadir en el lado positivo las llamadas a la creatividad y a los aspectos no mecánicos de otras. No obstante, tal ambigüedad puede ser la razón de que las definiciones que podemos encontrar en diccionarios al uso sean también imprecisas.

Así, el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (AA.VV.1970), define problema como

"Cuestión que se trata de aclarar; proposición o dificultad de solución dudosa. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de un fin",

 

definición en la que podemos destacar la aparición de "solución dudosa", que, paradójicamente, está ausente en la definición de problema matemático:

"Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos"

Debido a esta ambigüedad es conveniente conocer algunas de las definiciones formuladas por investigadores en Resolución de Problemas, así como definir o decantarse claramente por alguna de ellas. El propósito no es, en absoluto, encorsetar la concepción de problema, sino establecer un lenguaje preciso de comunicación, de manera que quede claro sobre qué versa esta investigación.

Una caracterización de problema ampliamente aceptada en la literatura es la de Kantowski (1981):

"Un problema es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o algoritmo que le conduzca con certeza a una solución." (p. 113)

 

De esta forma, Kantowski contrapone ejercicio a problema, dando a entender que las actividades matemáticas pueden etiquetarse como ejercicios o como problemas, o bien que ejercicios y problemas se hallan consecutivamente en el continuo de la actividad matemática (asocia a ejercicio la existencia de procedimiento o algoritmo que conduce inexorablemente a una solución, dando a entender un carácter mecánico e inmediato a su resolución, mientras que reserva lo contrario para los problemas). Decantarse en general por cualquiera de las dos opciones sería, a mi entender, cometer la imprudencia de suponer que la diferenciación entre ejercicio y problema es nítida y que sólo puede hablarse de un tipo perfectamente determinado de problemas. Más aún, no es lo mismo abordar la cuestión desde la perspectiva del conocimiento matemático a lo largo de la historia que desde la perspectiva de la matemática escolar. LA NECESARIA E INEVITABLE TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA CONDUCE AL PLANTEAMIENTO POR PARTE DE LOS PROFESORES (Y EVENTUALMENTE DE LOS MISMOS ALUMNOS) DE ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROMOVER APRENDIZAJE, ARTIFICIOS DE ENSEÑANZA QUE NO TIENEN PARANGÓN EN EL PROCESO DE EVOLUCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, YA SEA POR SU PECULIARIDAD, YA SEA POR LA DIFERENCIA DE ÉNFASIS [1].

Aún más clara es la definición que la misma autora ofrece en Kantowski (1980):

"Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema." (p. 195),

 

en la que hace explícita la idea de la aplicación del conocimiento en una forma no mecánica.

Pehkonen (1991), siguiendo a Kantowski (1980), añade que en caso de que el individuo reconozca de inmediato los requisitos de la tarea, se dirá que se trata de una tarea tipo o rutinaria.

En concordancia con esta definición,

"la resolución de problemas es el proceso de aplicación de los conocimientos previamente adquiridos a situaciones nuevas y no familiares" (Carl, 1989, p. 471).

 

Para Agre (1982),

"Los cuatro conceptos principales conectados con el de problema son: consciencia, falta de deseo, dificultad y resolubilidad." (p. 122)

 

Agre aclara posteriormente lo que entiende por cada uno de los conceptos anteriores, aclaración que nos proporciona un buen soporte a la hora de diferenciar un problema de otra actividad matemática:

"un problema es alguna forma de consciencia. Andreas Faludi (1973), uno de los muchos que comparten este punto de vista, enuncia su "definición de problema como un estado subjetivo de tensión" en una forma particularmente directa: "la tensión sobreviene (y el problema existe) en la mente del sujeto, y sólo ahí existe el problema". La tensión surge por la diferencia "entre los fines perseguidos por un individuo y su imagen del entorno". Interpreta la ecuación de G. Chadwick (1971) "Problema = Objetivo + Impedimento al Objetivo", expresando la misma perspectiva. (En esta visión, resolver un problema es una cuestión de remover las fuentes de la tensión)." (p. 124)

 

En cuanto a la subjetividad, Agre dice que

"Lo que es un problema para una persona puede no serlo para otra, y lo que es un problema para una persona un día puede no serlo un próximo día." (p. 130).

 

Es decir, dentro de la subjetividad, Agre introduce la variable temporal. De hecho, pienso que la subjetividad tiene muchas caras, una de las cuales puede ser la temporal, pero en realidad esta cara es reflejo de otras. Creo que dos caras relevantes de la subjetividad son la afectiva-motivacional y la cognitiva: una persona puede decir que eso no es un problema para ella porque no le importa en absoluto o porque, o bien no le supone ninguna dificultad, o bien, en el polo opuesto, le resulta inabordable.

En lo concerniente a la falta de deseo, Agre añade que no es fácil expresar esta propiedad, que no toda situación no deseada es un problema, aunque éstos poseen esta característica. Es así que puede interpretarse esta falta de deseo como la existencia de una situación que incomoda, de alguna forma, porque supone un esfuerzo de búsqueda en nuestros conocimientos o, por ejemplo, porque no encaja perfectamente con nuestras propias creencias.

Agre comenta el significado de la palabra griega problema, que quiere decir baluarte, escudo o impedimento para la acción, lo que está ligado a la necesaria existencia de dificultad:

"Para calificar como problema el proceso de resolución o de definición tiene que juzgarse que posea al menos un poco de dificultad." (p. 130)

 

Finalmente, explica Agre que

"Decir que un problema existe implica que, en ausencia de fuerte evidencia en contra, se presume que la situación es resoluble, o, si se cree que es irresoluble, al menos parece similar en otros aspectos a situaciones que fueron resolubles." (p. 133),

 

lo que viene a unirse con la sensación subjetiva de posibilidad de ser abordado por el individuo.

Dentro de la Teoría de Procesamiento de la Información, para Newell y Simon (1972):

"Una persona se enfrenta a un problema cuando quiere algo y no conoce inmediatamente series de acciones que pueda ejecutar para conseguirlo. El objeto deseado puede ser tangible (una manzana para comer) o abstracto (una elegante prueba de un teorema). Puede ser concreto (esa manzana particular de allí) o bastante general (algo para paliar el hambre). Puede ser un objeto físico (una manzana) o un conjunto de símbolos (la prueba de un teorema). Las correspondientes acciones para obtener los objetos deseados incluyen acciones físicas (andar, alcanzar, escribir), actividades perceptuales (mirar, escuchar), y acciones puramente mentales (juzgar la semejanza de dos símbolos, recordar una escena, y otras)." (p. 72)

 

Esta caracterización hay que situarla en lo que ellos llaman espacio del problema:

"Un espacio del problema consiste en:

1. Un conjunto de elementos, U, que son estructuras de símbolos, cada una de las cuales representa un estado de conocimiento sobre la tarea.

2. Un conjunto de operadores, Q, que procesan información, cada uno de los cuales produce estados nuevos de conocimiento a partir de los estados de conocimiento existentes.

3. Un estado inicial de conocimiento, u₀, que es el conocimiento sobre la tarea que el resolutor tiene al comienzo de la resolución del problema.

4. Un problema, que se plantea al especificar un conjunto de estados finales deseados, G, que ha de ser alcanzado aplicando los operadores de Q.

5. La totalidad del conocimiento disponible para un resolutor cuando está en un estado de conocimiento dado, el cual incluye (ordenado desde lo más transitorio a lo más estable):

(a) Información dinámica temporal creada y empleada exclusivamente dentro de un estado singular de conocimiento.

(b) El estado del conocimiento en sí mismo -la información dinámica sobre la tarea.

(c) Información de acceso a las estructuras adicionales de símbolos disponibles en la memoria a largo plazo o en la memoria externa [2] (el estado extendido del conocimiento).

(d) Información de ruta sobre cómo se alcanzó un estado dado de conocimiento y qué otras acciones se ejecutaron en ese estado si ya ha sido alcanzado en ocasiones anteriores.

(e) Información de acceso a otros estados de conocimiento que han sido alcanzados previamente y se hallan ahora en la memoria a largo plazo o en la memoria externa.

(f) Información de referencia que es constante a lo largo del curso de la resolución de problemas, disponible en la memoria a largo plazo o en la memoria externa." (p. 810)

 

Esta definición de espacio del problema, aunque sin cabida a la subjetividad en cuanto a la motivación, profundiza en los entresijos de la resolución de problemas, nombrando algunos factores relativos al conocimiento que desempeñan un papel relevante en dicho proceso. Por otra parte, identifica problema con el objetivo perseguido, siendo así el problema una de las partes del espacio del problema.

En el mismo sentido tenemos la caracterización de Goldman (1986):

"S tiene un problema Q si y sólo si:

- Q es una cuestión;

- S quiere tener una respuesta (verdadera) para Q;

- S no acredita que tenga una respuesta (verdadera) para Q;

- S no tiene una respuesta (verdadera) para Q.

Tener un problema supone desear una respuesta verdadera y no aleatoria." (cita de Dias, 1993, p. 101),

 

donde el problema es la cuestión Q.

Dentro de las definiciones que, por su forma, podríamos llamar simbólicas está la de Banerji (1980), citada por Puig (1993, p. C2-10):

"Un problema P se define que está dado por una terna <S, W, R>, en la que S se llama el conjunto de estados; WÍS, el conjunto de estados ganadores, y RÍSxS el conjunto de movimientos. El par <S, R> se llama el grafo del problema. Cada elemento de R, (s, s'), se llama un arco en este grafo. Una sucesión (s₀, s₁, s₂,...) de estados se llama un camino si para cada i, s_iRs_i+1... Una sucesión finita (s₀, s₁, s₂,..., s_n) es una solución para s₀ÎS si y sólo si s_nÎW y ("i) (s_iÎS y s_i=s_i+1 o s_iRs_i+1)." (Banerji, 1980, p. 193),

 

definición que devuelve al concepto de problema su carácter total.

Andler (1987), citado por Dias (1993),

"afirma que el concepto de problema, considerado en sentido estricto, se caracteriza por tres rasgos fundamentales. En primer lugar la subjetividad:

"El problema debe su existencia a mi decisión de crearlo, o de reconocerlo como tal".

Además está caracterizado por la temporalidad: "El verdadero problema encierra en sí una promesa o una esperanza de encontrar una solución. El tiempo se inscribe en el intervalo entre la promesa y su satisfacción, entre la aparición del problema y su desaparición bajo el efecto de su solución. Este intervalo permanece indefinido mientras no se encuentre una solución...".

Finalmente, un problema, para Andler, se distingue por su especialidad en la medida en que "no nace en el vacío sino en un espacio...apenas acontece en un determinado contexto. Mudar de contexto -lo que puede ocurrir cuando por ejemplo se procura una solución- equivale a reformular el problema"..." (p. 100)

 

En resumen, Andler caracteriza un problema a partir de la subjetividad, la temporalidad (consideración del tiempo -tiempo de resolución- desde un punto de vista diferente al expresado con anterioridad) y la especialidad o especificidad.

En la componente de aceptación (dentro de la subjetividad) y en la no existencia de algoritmo centra Lester (1980) su definición de problema. Así, para él un problema es una situación en la que se solicita a un grupo o un individuo realizar una tarea para la que no posee ningún algoritmo disponible que determine completamente el método de resolución. La resolución de esta tarea ha de ser deseada por el individuo o el grupo. De otro modo la situación no puede ser considerada un problema. Hay que precisar que este deseo debe entenderse como la aceptación del reto, no como la ausencia de incomodidad, característica anteriormente enunciada (Agre, 1982).

Sin embargo, Vergnaud, citado por Bouvier (1981), abre la noción de problema, estimando que es problema todo lo que de una u otra manera implique por parte del sujeto la construcción de una respuesta o de una acción que produzca un cierto efecto, quedando sin aclarar en profundidad el significado de produzca un cierto efecto y permitiendo, por consiguiente, incluir como problema una gran variedad de actividades, lo cual es excesivamente amplio para los propósitos aclaratorios de esta parte del trabajo.

En el ámbito de la actividad matemática escolar, en contraposición con definiciones más generales como la de Newell y Simon, por citar una que contempla la resolución de problemas (en particular los problemas matemáticos) por sistemas de procesamiento de la información (entre los que se encuentran los seres humanos), un problema de matemáticas es para Dias (1993)

"un proyecto personal, una tarea, una situación:

- que el alumno desea resolver y desenvolver;

- para lo cual el alumno no conoce ningún proceso que le permita encontrar la solución de inmediato;

- que exige la construcción de ese proceso por parte del alumno;

- en cuya actividad de resolución están involucrados conceptos, procedimientos o teorías matemáticas." (p. 102)

 

Por su parte, Blum y Niss (1991) entienden por problema

"una situación que conlleva ciertas cuestiones abiertas que retan intelectualmente a alguien que no posee inmediatamente métodos/procedimientos/algoritmos, etc directos suficientes para responder" (p. 37),

 

dando, pues, cabida (en lo que a la caracterización se refiere) a investigaciones en las que se formulan algunos interrogantes (aunque el espíritu de Blum y Niss es más cercano a la definición de Kantowski).

Distinguen dos clases de problemas matemáticos, aplicados y puros:

"Las cuestiones o situaciones correspondientes al primero pertenecen a un segmento del mundo real,...mientras que en el segundo la situación está completamente sumergida en algún universo matemático." (p.37, 38),

 

refiriéndose la resolución de problemas "al proceso completo de abordar un problema con intención de resolverlo" (p. 38).

Blum y Niss dedican sus esfuerzos a la resolución de problemas aplicados y añaden:

"El punto de partida es un problema aplicado o, como también lo llamamos, una situación problemática real. Esta situación tiene que ser simplificada, idealizada, estructurada, sometida a condiciones e hipótesis apropiadas, y tiene que ser precisada más por el resolutor de acuerdo con sus intereses. Eso conduce a un modelo real de la situación original que, por una parte, todavía contiene rasgos esenciales de la situación original, pero, por otra parte, está ya esquematizado de tal manera que (en la medida de lo posible) permite su abordaje con medios matemáticos" (p. 38),

 

donde introducen la idea de situación problemática, idea que aporta al concepto de problema cierta flexibilidad en el sentido de que la situación puede ser algo más natural, que surge de un contexto de investigación o de indagación.

Pero no perdamos el hilo; independientemente de los tipos de problemas, debemos procurar limpiar la definición de problema [3]. En tal sentido, he de añadir que, para los objetivos de este trabajo, en el que son analizados seres humanos, EL CONCEPTO DE PROBLEMA DEBE ASOCIARSE A LA APLICACIÓN SIGNIFICATIVA (NO MECÁNICA) DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO A SITUACIONES NO FAMILIARES, LA CONSCIENCIA DE TAL SITUACIÓN, LA EXISTENCIA DE DIFICULTAD A LA HORA DE ENFRENTARSE A ELLA Y LA POSIBILIDAD DE SER RESUELTA APLICANDO DICHO CONOCIMIENTO.

En la línea de estos rasgos se encuentra la caracterización de problema que enuncian House, Wallace y Johnson (1983):

"Es una situación que implica un objetivo o propósito que hay que conseguir, hay obstáculos para alcanzar ese propósito, y requiere deliberación, ya que quien lo afronta no conoce ningún algoritmo para resolverlo. La situación es habitualmente cuantitativa o requiere técnicas matemáticas para su resolución, y debe ser aceptado como problema por alguien antes de que pueda ser llamado problema" (p. 10).

 

Esta definición es bastante amplia, pudiéndose acoger a ella desde problemas con un objetivo completamente determinado a problemas en los que el objetivo esté por aclarar. Por otra parte, incluye el factor subjetivo y la existencia de dificultad (no disponibilidad inmediata de regla).

Otra definición, que puede considerarse resumen de la anterior, es la que da, desde el campo de las Ciencias Experimentales, Hudgins (1966), para el que cualquier situación que plantee dificultades es un problema siempre que no se posean soluciones hechas, caracterización empleada por Pozo y Gómez (1994) para los problemas en Ciencias de la Naturaleza. Esta descripción es también asumida, desde el campo de las Ciencias Sociales, por Limón y Carretero (1995), así como por Domínguez (1994), quien afirma que un problema es

"una situación para la que no hay una vía de solución prefijada, cuyos pasos uno pueda aprender y aplicar de forma automática, sino que se trata siempre de cuestiones cuya respuesta debe ser necesariamente explorada." (p. 146)

 

Estas definiciones enfatizan la existencia de obstáculos a salvar para resolver la situación (lo que podríamos llamar el denominador común de todas las caracterizaciones de problema), y la de House, Wallace y Johnson se refiere además a la necesidad de que alguien acepte el reto de resolverlo. Sin embargo, resulta a veces difícil de aplicar y conviene tener a mano una caracterización progresiva, en la que se incluyan tanto los ejercicios como las investigaciones, ya que las fronteras no son demasiado precisas:

"1) Una regla delante de tu nariz. El problema se puede resolver por aplicación mecánica de una regla, probablemente acabada de dar, o por imitación de un ejemplo. El peligro es adquirir un conocimiento mecánico, no significativo ('insightful', que percibe completamente la esencia).

2) Aplicación con alguna elección. El problema puede resolverse como en el caso anterior, pero el estudiante necesita discernir qué regla usar, para lo que necesita cierto dominio de los temas abordados.

3) Elección de una combinación. Para resolverlo, hay que combinar dos o más reglas o ejemplos previamente estudiados. El grado de novedad de la combinación adecuada es proporcional a la dificultad del problema.

4) Nivel de aproximación a la investigación. El problema requiere una nueva combinación de reglas o ejemplos y, además, tiene varias ramificaciones y requiere un alto grado de independencia o de uso de un razonamiento plausible." (Pólya, 1962, vol.2, p.139)

 

Los psicólogos también han investigado sobre las características de los problemas. A tal respecto, Mayer (1983) afirma que la mayoría de los psicólogos concuerdan en que un problema tiene las siguientes características:

"Datos. El problema tiene en un primer momento determinadas condiciones, objetos, trozos de información, etc.

Objetivos. El estado deseado o terminal supone alcanzar el objetivo. El pensamiento deberá transformar el problema desde el estado inicial dado al estado terminal.

Obstáculos. El que piensa tiene a su disposición algunas vías para modificar el estado dado o el estado terminal del problema. Sin embargo, todavía no sabe la respuesta correcta; es decir, la secuencia correcta de comportamientos que resolverá el problema no es inmediatamente obvia" (p. 18),

 

características que vuelven a poner de manifiesto la existencia de objetivo y de dificultades para conseguirlo [4].

La amplitud de esta definición permite incluir en ella, como afirma Mayer (1983), problemas de geometría, de ajedrez o acertijos.

En la misma línea, Brownell (1942) contribuye con una definición en la que trata de aclarar el tipo de actividad que debe ser considerada como problema:

"La resolución de problemas se refiere (a) exclusivamente a tareas perceptivas y conceptuales, (b) cuya naturaleza puede comprender el sujeto por razón de su naturaleza original, de su aprendizaje previo o de la organización de la tarea, pero (c) para la cual no conoce de momento ningún medio de satisfacción. (d) El sujeto experimenta perplejidad en la situación problemática, pero no excesiva confusión... La resolución de problemas se convierte en el proceso por el que el sujeto se desembaraza de su problema... Así definido, podemos considerar los problemas situados en una zona intermedia de un continuo que abarca desde el "enigma", en un extremo, hasta la totalmente familiar y comprensible situación en el otro." (p. 416)

 

Tal continuo de Brownell, adaptable fundamentalmente a la resolución de problemas en el aula, es interpretado por Schoen y Oehmke (1980) como sigue:

"Los problemas, entonces, se hallan entre los ejercicios de cálculo -para los que se conoce inmediatamente una estrategia de solución- y los enigmas -para los que no hay condiciones bien definidas de solución que puedan ser entendidas por el resolutor potencial." (p. 216)

 

Ahora bien, como ya he comentado, la resolución de problemas es un proceso, o una estrategia metodológica o un tipo de aprendizaje,... que va mucho más allá de la mera distinción entre problema y ejercicio u otro tipo de actividad a desarrollar en el aula [5]. Por ello, QUIERO EN PRIMER LUGAR ENMARCAR MI CONCEPCIÓN DE PROBLEMA DENTRO DE UNA TEORÍA CONSTRUCTIVISTA DEL APRENDIZAJE (no exclusivamente escolar), para lo cual suscribo lo expresado por Confrey (1991), uno de los abanderados del constructivismo radical (Von Glasersfeld, 1991):

"La estructura no está en el problema -está en el significado definido social y contextualmente de las palabras al ser interpretadas por el que las escucha... Para el constructivista, el problema sólo queda definido respecto al resolutor. Un problema es sólo un problema en la medida en que es sentido problemático por el resolutor. Definido de esta forma, como barricada hacia la que un estudiante se dirige, un problema no posee status independiente. Con el objetivo de diferenciar este enfoque del empleo típico de problemas en las aulas de matemáticas, he elegido el término problemático, en referencia a la "barricada" que halla el estudiante." (p. 117)

 

Hace aquí, por tanto, Confrey una consciente diferenciación entre lo que él considera útil e importante en la clase de matemáticas (planteamiento y resolución de problemáticos) y lo que de hecho suele hacerse (formulación y resolución de ejercicios). Dicha relevancia se hace patente en el tercer presupuesto de la posición constructivista:

"Tercer presupuesto: Los problemas desempeñan un papel crucial en la construcción de conocimiento. Los problemas residen en la mente del estudiante - no en los libros de texto o en la matemática. Los problemas poseen discrepancias, obstáculos que el estudiante quiere resolver y así cataliza la acción. Para aceptar un problemático un individuo tiene que creer que puede ser resuelto - y actuar como si el problema y la solución fueran preexistentes. El ciclo de indentificación de problemáticos, actuar y operar sobre ellos y después reflexionar sobre los resultados tiene carga emocional, es motivador y exigente. Es este proceso de construcción de conocimiento el lado crítico para los investigadores/profesores constructivistas." (p. 119)

 

Asimismo, para que este presupuesto adquiera mayor potencial es preciso enmarcarlo en la consideración del proceso de enseñanza-aprendizaje como una interacción social, con la consiguiente negociación de significados (Voigt, 1989, 1994), a su vez inmersos en el contexto clase, centro escolar, comunidad, ... [6]

Siguiendo con el objetivo de aclarar qué es la Resolución de Problemas, para Brown (1978), inmerso en el campo escolar, la resolución de problemas es un tipo de aprendizaje matemático, al igual que la memorización simple, el aprendizaje algorítmico y el aprendizaje conceptual. Lo que la distingue es el hecho de poder ser vehículo del aprendizaje, no sólo de hechos y destrezas, sino también de estructuras conceptuales, estrategias generales y cualidades personales.

Asimismo, la resolución de problemas puede ser vista como una meta u objetivo (Branca, 1980) ("si no la meta del aprendizaje matemático", p. 3), un proceso (de aplicación de los conocimientos previamente adquiridos a situaciones no familiares) o como una destreza básica.

Dentro de la consideración de la Resolución de Problemas como una meta, escribe Branca que para Begle (1979)

"la justificación verdadera para enseñar matemáticas es su utilidad y, en particular, el hecho de servir de ayuda a la hora de resolver muchas clases de problemas" (p.143).

 

Cuando la Resolución de Problemas es considerada una meta, es independiente de los problemas específicos, de procedimientos o métodos, y del contenido matemático. Lo que importa es aprender a resolver problemas, punto de vista que influirá en el curriculum matemático y en la propia práctica.

Cuando, por otra parte, la Resolución de Problemas es interpretada como proceso, hay que distinguir entre la respuesta que dan los estudiantes a un problema y los pasos o procedimientos que emplean para llegar a la respuesta. Lo que importa son los métodos, procedimientos y estrategias puestos en juego. Estas partes del proceso de Resolución de Problemas constituyen su esencia y como tales se convierten en el centro del curriculum de matemáticas.

Las discusiones del Basic Skills Group del National Institute of Education (NIE) de Estados Unidos fueron resumidas por Hilton y Rising (NIE, 1975):

"Los problemas son la mayoría de las veces eficientemente resueltos aplicando la teoría apropiada; y la forma de desarrollar mejor la teoría es como respuesta al deseo de resolver interesantes problemas. Así, las dos actividades de construcción de la estructura y resolución de problemas se complementan perfectamente entre sí, y además dependen mutuamente en un curriculum equilibrado." (p. 41)

 

La posición, al respecto, del National Council of Supervisors of Mathematics de Estados Unidos (1977) se refleja en la siguiente cita:

"Aprender a resolver problemas es la razón principal para estudiar matemáticas. La resolución de problemas es el proceso de aplicación del conocimiento adquirido previamente a situaciones nuevas y no familiares. Resolver problemas verbales en textos es una forma de resolución de problemas, pero los estudiantes también deberían enfrentarse a problemas fuera de los libros de texto. Las estrategias de resolución de problemas incluyen proponer cuestiones, analizar situaciones, trasladar resultados, dibujar diagramas y usar ensayo y error. Al resolver problemas, los estudiantes necesitan ser capaces de aplicar las reglas de la lógica necesarias para llegar a conclusiones válidas. Tienen que ser capaces de determinar qué hechos son relevantes. No deberían temer llegar a conclusiones tentativas, y deberían ser proclives a someter esas conclusiones a comprobación." (p. 2)

 

Considerar la Resolución de Problemas como una destreza básica nos puede ayudar a organizar nuestra enseñanza diaria de destrezas, conceptos y Resolución de Problemas. Considerar la Resolución de Problemas como un proceso nos puede ayudar a examinar qué hacemos con las destrezas y los conceptos, cómo se relacionan entre sí, y qué papel desempeñan en la solución de variados problemas. Finalmente, considerar la Resolución de Problemas como una meta puede incidir en todo lo que hagamos, mostrándonos otro propósito para la enseñanza de la matemática.

En ocasiones, quien entiende la resolución de problemas como destreza básica, entiende que los estudiantes, en general, deben adquirir destreza en el enfrentamiento de problemas rutinarios (ejercicios), dejando el abordaje de verdaderos problemas a los más avanzados. Por el contrario, LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, COMO TAREA COMPLEJA QUE ES, OFRECE UNA POSIBILIDAD PARA ORGANIZAR LA DIVERSIDAD DE NIVELES EXISTENTES EN EL AULA, ES UN MARCO IDEAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO Y FOMENTA EL GUSTO POR LA MATEMÁTICA (INCARDINADA EN LA REALIDAD) Y EL DESARROLLO DE UNA ACTITUD ABIERTA Y CRÍTICA, objetivos de gran valor educativo. La resolución de problemas no es un añadido de la clase de matemáticas, ni algo exclusivo de los días anteriores a las vacaciones, es el impulso, el motor de la clase, lo que pone al estudiante ante el reto de hacer matemáticas. (Carrillo, 1995)

"En resumen, les ayudaremos a convertirse en fabricantes y usuarios de las matemáticas, no meramente observadores. Cuando hacemos esto regularmente, vemos que los riesgos asumidos se convierten en positivos logros para profesores y alumnos" (House, 1980, p. 168)

 

Las consideraciones anteriores, tomadas, como ya dije, del campo de la matemática escolar, permiten comprender el alcance de la afirmación de Gagné (1965), para quien (desde una perspectiva psicológica general) la resolución de problemas es la forma más elevada del aprendizaje, la que solicita un pensamiento matemático más complejo, lejos de la aplicación mecánica de conocimientos previamente adquiridos. Asimismo, Pólya (1962) considera la habilidad para resolver problemas como el parámetro de cómo se conocen las matemáticas, consideración que, unida a la siguiente, sitúa la Resolución de Problemas en un elevado nivel dentro del conocimiento matemático, no sólo como parte de él, sino como indicador del mismo:

"'Para Tales...la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos' (Aristóteles)" (Boyer, 1968, p. 71)

 

Abundando en la relevancia de la Resolución de Problemas dentro de la Matemática, Kilpatrick (1985), en el primer capítulo del libro Teaching and Learning Mathematical Problem solving: Multiple Research Perspectives, editado por Silver (1985b), dice que entre los puntos de vista existentes a la hora de definir qué es un problema y qué es la Resolución de Problemas se halla el propio matemático, en el que un problema es como una construcción. Desde este punto de vista, comenta, se ve el problema matemático como definitorio de la disciplina matemática. Las Matemáticas no son simplemente los famosos problemas sobre los que han trabajado los grandes matemáticos, y añade:

"Todas las matemáticas son creadas en el proceso de formulación y resolución de problemas" (Kilpatrick, 1982, p. 2)

 

ASUMIENDO TODAS LAS BONDADES REFLEJADAS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, EN ESTE TRABAJO ÉSTA NO SE REFIERE, COMO ES SABIDO, AL AULA, SINO AL PROCESO QUE UN INDIVIDUO (PROFESOR DE MATEMÁTICAS) DESARROLLA CUANDO SE LE PLANTEA UN PROBLEMA CON LA INTENCIÓN DE QUE TRATE DE RESOLVERLO. No es, por tanto, la finalidad primordial la construcción de conocimiento ni el favorecimiento de determinadas actitudes, sino la obtención de características sobre su forma de resolver problemas. Ahora bien, en dicho proceso HA DE PONER EN JUEGO NO SÓLO SU CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, SINO SU CONOCIMIENTO ESTRATÉGICO Y ORGANIZATIVO, además de otros aspectos que escapan del análisis que aquí se efectúa. Finalmente, tal proceso no culmina necesariamente con la resolución efectiva del problema, sino con el abandono pasado el tiempo reservado para la resolución.

III.2. TIPOS DE PROBLEMAS

Los problemas pueden ser clasificados según muchísimos criterios. Incluso la caracterización progresiva de Pólya (1962) puede verse como una clasificación de problemas en la que entran también los ejercicios. Por otra parte, ya he hecho referencia a la consideración (bastante extendida, por cierto) de problemas aplicados y puros (Blum y Niss, 1991), emergentes los primeros de contextos reales, mientras que los últimos se hallan inmersos en el universo matemático.

En relación con los problemas aplicados se halla la modelización (como sinónimo de resolución de tales problemas). Carpenter, T.P et al. (1993), en su estudio sobre procesos de resolución de problemas en Educación Infantil, dicen:

"La construcción de un modelo de representación de una situación problemática es uno de los procesos más fundamentales en resolución de problemas. Muchos problemas pueden ser resueltos representando directamente los rasgos críticos de la situación problemática con una ecuación, un programa de ordenador, o una representación física o pictórica. La modelización también se convierte en un proceso relativamente natural de resolución de problemas para niños. Hay un extenso cuerpo de investigación documentando que incluso antes de recibir instrucción formal en aritmética, los niños pueden resolver una variedad de diferentes tipos de problemas verbales de adición y sustracción modelizando directamente con máquinas las diferentes acciones y relaciones descritas en los problemas (Carpenter, 1985; Fuson, 1992)." (p. 428)

 

A continuación destacan las deficiencias en la interpretación de los resultados de un problema, achacándolas a la falta y erróneo tratamiento de las situaciones problemáticas reales, y, en la parte final de su trabajo, añaden:

"la modelización proporciona un esquema en el que la Resolución de Problemas se convierte en una actividad significativa. Como consecuencia, enfocar la Resolución de Problemas como modelización puede hacer más que sólo proporcionar a los niños esquemas cognitivos para la Resolución de Problemas. Parece que también tendrá un impacto en las concepciones de los niños sobre la Resolución de Problemas y ellos mismos como resolutores. Si desde edades tempranas se enseña a los niños a abordar la Resolución de Problemas como un esfuerzo por dar sentido a situaciones problemáticas, ellos acabarán creyendo que aprender y hacer matemáticas envuelve la solución de problemas de forma que siempre dé sentido." (p. 440).

 

Enfatizando la importancia de la modelización de situaciones reales, Nunokawa (1995) dice:

"Tomando la resolución de problemas como un tipo de modelización matemática, los resultados matemáticos pueden interpretarse como base para predicciones, decisiones o acciones" (p. 721).

 

Hay autores, como Swenson (1994), que hablan de verdaderos problemas, en clara referencia a situaciones no rutinarias y que de verdad entrañen dificultad para el resolutor.

Reitman (1965), siguiendo la terminología de los estados del problema y en función del grado de especificación de los estados inicial y final, distingue 4 tipos: 1) estados inicial y final bien definidos; 2) estado inicial bien definido y estado final mal definido; 3) estado inicial mal definido y estado final bien definido; 4) estados inicial y final mal definidos [7].

Por su parte, Greeno (1978) clasifica los problemas en 3 tipos:

"1. Problemas de estructura inductora. Se dan varias instancias y quien resuelva el problema debe descubrir la norma o modelo implícito [completar series o analogía]...

2. Problemas de transformación. Se da un estado inicial y el que resuelva el problema debe hallar una secuencia de operadores que produzca el estado final [jarras de agua o torre de Hanoi]...

3. Problemas de ordenamiento. Se dan todos los elementos y el que resuelva el problema debe ordenarlos de forma tal que resuelva el problema [anagramas o criptoaritméticos]." (Mayer, 1983, p. 20)

 

El mismo Greeno indica la dificultad de clasificar algunos problemas según su tipología, al tiempo que afirma que muchos problemas interesantes poseen características de más de un tipo.

Simon (1973) distingue entre problemas bien estructurados y mal estructurados, siendo los primeros los que habitualmente se plantean en la escuela y los últimos los que se presentan en la vida real. Tal distinción es mejorada por Fredericksen (1984):

"1. Los problemas bien estructurados son claramente formulados, pueden resolverse por la aplicación de un algoritmo conocido, y disponen de criterios para comprobar la corrección de una solución [área de triángulo dadas las longitudes de sus lados]...

2. Los problemas estructurados requiriendo un razonamiento productivo son similares a los problemas bien estructurados, pero el resolutor tiene que diseñar todo o parte del procedimiento de solución [si un cuadrilátero posee dos lados paralelos e iguales, los otros dos también son iguales]...

3. Los problemas mal estructurados carecen de formulación clara, procedimiento que garantice una solución, y criterios para determinar cuándo se ha alcanzado una solución [encontrar todos los caminos desde mi casa a la escuela]." (Kilpatrick, 1987, p. 134)

 

Es así que, de forma global, puede añadirse la DISTINCIÓN DE PROBLEMAS SEGÚN LA INTENCIONALIDAD CON LA QUE ESTÁN ENUNCIADOS (PUNTO DE VISTA EDUCATIVO) O SEGÚN SU PROCEDENCIA (PUNTO DE VISTA GENERAL), lo que no implica imposibilidad de intersección entre ambos tipos.

Butts (1980) considera 5 tipos de problemas (los 3 primeros corresponden a problemas que incluyen una estrategia de resolución en su enunciado, y los otros 2 no): a) ejercicios de reconocimiento (se pide al resolutor que reconozca o emplee un hecho específico, definición o enunciado de un teorema), b) ejercicios algorítmicos (ejercicios que pueden resolverse aplicando un procedimiento paso a paso, con frecuencia un algorítmico numérico), c) problemas de aplicación (requieren formular simbólicamente el problema y manipular los símbolos de acuerdo con varios algoritmos -los problemas verbales tradicionales están en esta categoría), d) problemas de investigación abierta (problemas del tipo "Probar que...", "Encontrar todos...", etc.), e) situaciones problemáticas (no se delimita el problema, sino que se da la situación y se pide pensar sobre ella). Añade ejemplos de cada tipo (p. 24-25).

Borasi (1986) clasifica los problemas en ejercicios, problemas verbales, enigmas, prueba de una conjetura, problemas de la vida real, situaciones problemáticas y situaciones, estableciendo las diferencias en función de la existencia de contexto, el tipo de formulación, las soluciones y los métodos de abordaje (p. 134).

Blanco (1991, p. 62) elabora un cuadro clasificatorio a partir de las dos tipificaciones anteriores y de la de Charles y Lester (1982), donde sitúa al mismo nivel de los ejercicios de repetición de Charles y Lester los ejercicios algorítmicos de Butts y los ejercicios de Borasi, al mismo nivel de los problemas de traducción simple o compleja de Charles y Lester los problemas de aplicación de Butts y los problemas verbales de Borasi, y al mismo nivel de los enigmas de Charles y Lester los enigmas de Borasi. En cuanto a los problemas de procesos de Charles y Lester, se hallan entre los problemas de investigación abierta y las situaciones problemáticas de Butts, y entre las situaciones problemáticas y las situaciones de Borasi. Finalmente, los problemas de aplicación de Charles y Lester se encuentran asociados a las situaciones problemáticas de Butts y entre las situaciones y los problemas de la vida real de Borasi.

A tal respecto, el mismo Blanco (1993) establece

"los siguientes tipos de actividades en relación con la enseñanza de las Matemáticas:

1) Ejercicios de reconocimiento.

2) Ejercicios algorítmicos o de repetición.

3) Problemas de traducción simple o compleja.

4) Problemas de procesos.

5) Problemas sobre situaciones reales.

6) Problemas de investigación matemática.

7) Problemas de puzles.

8) Historias matemáticas." (p. 39-40)

 

Dias (1993), a partir de la clasificación de Borasi y de la de Abrantes (1989), propone el cuadro 15.

Pólya (1986) consideraba dos tipos de problemas: problemas por resolver o problemas de hallar, y problemas por demostrar o problemas de probar, donde el propósito de aquéllos es descubrir la incógnita y el de éstos es mostrar la veracidad o no de alguna afirmación [8].

Para Pehkonen (1991), sin embargo, la diferenciación más importante

"es la división entre problemas abiertos y cerrados. Esta distinción se refiere al grado de exactitud de la descripción de las situaciones de partida y llegada. En un problema cerrado, ambas situaciones están cerradas, o sea, exactamente explicadas en la tarea. Si la situación de partida y/o la de llegada son abiertas (es decir, no cerradas), entonces tenemos un problema abierto." (p. 1)

Junto a los problemas abiertos es preciso citar las investigaciones o los trabajos de investigación, ya que las fronteras entre investigaciones y problemas son muy difusas. En general, se asocia a la resolución de problemas una actividad convergente, encaminada a encontrar una solución a cierto problema, mientras que la investigación es más divergente, tratándose en ella de pensar en estrategias alternativas, indagar sobre lo que sucede si alguna condición cambia, etc.. Sin embargo, Pehkonen (1995) puso de manifiesto la similitud de ambos términos y sugiere

"el uso del concepto de "problema abierto" como clase "paraguas" de los problemas contenidos en las clases mencionadas [planteamiento de problemas, situaciones de la vida real, proyectos, campos de problemas (o secuencias de problemas), problemas sin cuestiones, y variaciones de problemas (método "¿qué ocurre si...?")]." (p. 55)

 

Es obvio, pues, que pueden establecerse muchas clasificaciones de problemas. Más aún, cuando se traten posibles variables o aspectos a considerar en la Resolución de Problemas en el epígrafe III.4., quedará claro que muchas otras clasificaciones podrán aparecer, incluso las que diferencian los problemas según el tópico matemático o el nivel educativo en el que sería apropiado proponerlos. A modo indicativo, PODRÍAN CONSIDERARSE PROBLEMAS EN LOS QUE TUVIERA ESPECIAL RELEVANCIA LA COMPRENSIÓN DEL ENUNCIADO, O LOS CÁLCULOS, O LA REVISIÓN DE LOS RESULTADOS. TAMBIÉN PODRÍAN CONSIDERARSE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS O DEL DE SÍNTESIS PARA SU RESOLUCIÓN, PROBLEMAS DE MARCHA ATRÁS, DE CONJETURA, EN LOS QUE LOS ASPECTOS DEDUCTIVOS SEAN DETERMINANTES, O LOS INDUCTIVOS, PROBLEMAS DE GENERALIZAR O DE EXTENDER LA SITUACIÓN, O DE MODELIZACIÓN, PROBLEMAS DE ENSAYO Y ERROR, ETC.

Finalmente, contextualizada la Resolución de Problemas dentro de la Formación de Profesores,

"existe un proceso de mejora [ver gráfico 3], parte del cual se puede observar en algunos profesionales. Tal proceso, que a continuación describo, debe ser favorecido, con idea de procurar que la mayor parte de los docentes lleguen al último punto.

 

El proceso mencionado consta de puntos inclusivos, de manera que el contenido de cualquier punto está incluido en los siguientes.

 

El esquema trata de reflejar los saltos cualitativos importantes que pueden darse cuando se intenta llevar la resolución de problemas al aula. No basta con abandonar la práctica continua y rutinaria de ejercicios y sustituirlos por problemas, hay que tratar los problemas como se merecen, no como si se tratara de ejercicios, sin tener la paciencia suficiente para permitir que los alumnos formulen sus propuestas de abordaje o dando recetas que los transforman automáticamente en ejercicios. También es preciso efectuar parones de vez en cuando para socializar los aprendizajes que se van produciendo, al mismo tiempo que éstos se ponen en claro.

 

Por otra parte, el profesor puede utilizar algunos recursos para que los alumnos vayan mejorando como resolutores de problemas, para lo que es muy útil disponer de un listado de heurísticos [a los que me referiré posteriormente]. Además es importante que, aparte de hacer, se reflexione sobre lo que se hace, lo que hace que el alumno sea consciente de su actuación y sus características como resolutor. Por último, todo lo dicho resulta más eficaz si el profesor (y el propio alumno) posee algún instrumento que le permita diferenciar, e incluso observar, aspectos relevantes del proceso de resolución de problemas" (Carrillo, 1995, p. 82).

 

 

El gráfico 3 no es una clasificación, sino, como he mencionado, un proceso de mejora, pues, salvo el primer nivel, dedicado a los ejercicios, todos los niveles se refieren a problemas; la diferencia está en el tratamiento metodológico que de ellos se hace.

III.3. ACTUALIDAD Y RELEVANCIA PARA LA EDUCACIÓN DE LOS ESTUDIOS EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para Shufelt y Smart (1983), la Resolución de Problemas es el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas para la década de los 80. Basta ojear la importancia que concede a la Resolución de Problemas el NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, de EE.UU.) a través de los "Standards" (1989). Pero su importancia ha trascendido a esa década.

La ATM (Association of Teachers of Mathematics) (1985) establece que LA HABILIDAD EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ES EL CORAZÓN DE LAS MATEMÁTICAS Y PODRÍA Y DEBERÍA REEMPLAZAR A LA ARITMÉTICA RUTINARIA como el tema principal en la Educación Primaria. De forma análoga se expresa el NCSM (National Council of Supervisors of Mathematics, de EE.UU.) (Carl, 1989), situando LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO LA PRIMERA DE LAS 12 COMPONENTES DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ESENCIALES PARA EL SIGLO XXI. Ya mucho antes había sentenciado el NCSM (1977) que

"Aprender a resolver problemas es la razón principal para estudiar matemáticas" (p. 2),

 

como he reseñado en el epígrafe primero de este capítulo en un texto más amplio.

EN CONFERENCIAS Y CONGRESOS, PUBLICACIONES, PROYECTOS Y CENTROS DE INVESTIGACIÓN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN MATEMÁTICAS APARECE CONTINUAMENTE, como lo confirman las referencias que aparecen en la revista ZDM bajo los descriptores D50 a D59 (donde se incluyen citas de artículos que versan sobre la enseñanza de la Resolución de Problemas en diferentes niveles, diferentes tipos de escuelas, diferentes tópicos matemáticos, además de artículos sobre formación del profesor al respecto) y la formación de grupos de trabajo o de discusión en encuentros de gran significación (PME posee un "Discussion Group" sobre el empleo de problemas abiertos en la clase de matemáticas, conducido por Erkki Pehkonen, y el ICME 8, que se celebrará en Sevilla del 14 al 21 de julio de 1996, tiene La Resolución de Problemas a través del curriculum como nombre de uno de sus grupos temáticos, el TG10).

¿Pero por qué se dirigen los esfuerzos de investigación y pedagógicos hacia la Resolución de Problemas en concreto?; en otras palabras: ¿por qué es tan importante la Resolución de Problemas?

Sin ánimos de ser exhaustivo, pienso, en concordancia con Garret (1988), que la CONCESIÓN DE MÁS PESO A LOS PROCESOS QUE A LA INFORMACIÓN POR PARTE DE LA SOCIEDAD, motivada en parte por el vertiginoso cambio de intereses para ésta, es una de las razones que otorgan importancia a la Resolución de Problemas, unida al enorme crecimiento del conocimiento, que ahogaría un curriculum que se orientara fundamentalmente a la información (Carrillo, 1993a). En este sentido, comentan García y García (1989) que

"podríamos decir que aprendemos en cuanto que resolvemos los problemas que se originan en un entorno siempre diverso y cambiante." (p. 8),

 

añadiendo que

"se trata de no primar el producto del proceso sino el proceso mismo, pues interesa más la dinamización de las ideas referidas a la temática del problema que llegar a una determinada solución." (p. 9),

 

enfatizando la idea del cambio continuo de intereses sociales y de la relevancia del proceso como instrumento que facilita la adaptación a dichos cambios, como herramienta que sirve para procesar tan ingente masa de información.

Por su parte, la revista alemana Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik dio en el año 1.868 una clasificación de las Matemáticas en 12 categorías y 38 subcategorías, mientras que el Mathematical Reviews, en el año 1.979, daba una clasificación en 61 categorías y aproximadamente 3.400 subcategorías (Davis y Hersh, 1982), mostrando de esta forma el reciente CRECIMIENTO EXPONENCIAL DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, que hace impensable un curriculum orientado a adquirir los "conocimientos básicos".

Pero LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS no es sólo una necesidad surgida por el crecimiento del conocimiento, ES TAMBIÉN UNA OPCIÓN METODOLÓGICA. Los mismos García y García (1989) se expresan así:

"Una metodología de carácter investigativo tiene que contemplar, por tanto, como pauta inicial de la secuencia de actividades, el interesar al alumno en el objeto de estudio, es decir, en el problema." (p. 27).

 

Si pretendemos que el aprendizaje de nuestros alumnos sea un aprendizaje significativo, en el sentido de que los esquemas propios se acomoden para hacer posible la asimilación de la nueva información, en lugar de un aprendizaje memorístico, en el que las asociaciones que se adquieren no son relacionables de manera sustancial con la estructura cognitiva (Ausubel et al., 1976), tenemos la posibilidad de optar por un aprendizaje por recepción o por uno por descubrimiento (es interesante el debate entre Bruner (1960), partidario a ultranza del aprendizaje por descubrimiento, y Ausubel (1963), que señalaba que el descubrimiento no era el único modo de aprender y que el aprendizaje por recepción también podía ser significativo). Ahora bien, SI PENSAMOS QUE EL ALUMNO NO SÓLO DEBE APRENDER CONCEPTOS, SINO PROCEDIMIENTOS Y ESTRATEGIAS GENERALES, ACTITUDES Y VALORES, NO TENDREMOS MÁS REMEDIO QUE INCLINARNOS HACIA EL APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO [9], Y ES EN ESTE PUNTO EN EL QUE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESEMPEÑA UN PAPEL ESENCIAL.

Asimismo, LOS AVANCES EN PSICOLOGÍA DE LA EDUCACIÓN, SOBRE LOS PILARES DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO Y LA PSICOLOGÍA CONSTRUCTIVISTA, HAN EMPUJADO A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A SITUARSE COMO UNA DE LAS ESTRATEGIAS RECOMENDABLES PARA PROCURAR LA CONSTRUCCIÓN DE CONOCIMIENTO SIGNIFICATIVO POR PARTE DE LOS ALUMNOS.

En ese sentido, esgrime Piaget (1978) la siguiente idea:

"Pero la verdadera comprensión, aquella que se manifiesta por medio de nuevas aplicaciones espontáneas, o, dicho de otro modo, por una generalización activa, supone mucho más: que el sujeto haya sido capaz de encontrar por sí mismo las razones de la verdad que intenta comprender, y, por tanto, que la haya reinventado él mismo, al menos parcialmente. Como es natural, esto no quiere decir que el maestro ya no sea necesario: su papel no debe consistir en dar "lecciones", sino en organizar situaciones que inciten a investigar, utilizando los dispositivos apropiados." (pp. 225-226). [10]

 

Según los psicólogos de la Gestalt (Wertheimer, 1959), el proceso de Resolución de Problemas es un intento de relacionar un aspecto de una situación problemática con otro (poniendo en práctica lo que él llamaba "pensamiento productivo" o pensamiento basado en una apreciación de la estructura), y eso tiene como resultado una comprensión estructural, en contraposición con la memoria mecánica asociacionista [11].

En tal sentido, en nuestras manos está la decisión de procurar que nuestros alumnos se capaciten en lo que Mayer y Greeno (1972) llaman tareas de transferencia lejana (resolución de problemas marcadamente distintos a los estudiados) o en tareas de transferencia cercana (resolución de problemas parecidos a los estudiados), en función del procedimiento didáctico, transferencias que deben ser interpretadas en consonancia con la meta que, desde el campo de la Pedagogía, proponen Gimeno y Pérez (1993): la consecución de aprendizajes relevantes, más allá, por tanto, de la consecución de aprendizajes encaminados a resolver exclusivamente las demandas escolares.

Abundando en esta idea, el Grupo Investigación en la Escuela (1991) (dentro de su propuesta de marco curricular, inmersa en el Proyecto curricular "Investigación y renovación escolar" (IRES)), propone, a la hora de hablar de las pautas para el desarrollo del proceso investigativo,

"tres momentos en cuanto a la programación de actividades:

- Actividades que se refieren a la búsqueda, reconocimiento, selección y formulación del problema.

- Actividades que posibilitan la resolución del problema...

- Actividades que facilitan la recapitulación del trabajo realizado." (p. 44, tomo II).

 

Incluso desde un terreno más concreto, aunque también externo al específicamente matemático, Barth y Shermis (1990), proponen la indagación como método de enseñanza en Ciencias Sociales, y añaden:

"Como últimamente este término ha adquirido un número diverso de significados, nos gustaría presentar nuestra definición: la investigación requiere la percepción e identificación de problemas significativos y la búsqueda formal y consecutiva de respuestas satisfactorias." (p. 33).

 

Análogamente, Zabala (1992), tras decir que

"Dewey, a finales del siglo pasado, abría un debate sobre la necesidad de introducir en las escuelas propuestas metodológicas que partieran de situaciones reales y que giraran alrededor de los problemas o conflictos que en ellas se plantean." (p. 17),

 

y comentar que DESDE DEWEY HASTA BRUNER MUCHAS SON LAS CORRIENTES PEDAGÓGICAS QUE HAN PROMOVIDO METODOLOGÍAS CERCANAS AL ESQUEMA PROBLEMA-HIPÓTESIS-INDAGACIÓN-VALIDACIÓN, propone los proyectos de investigación (en los que surgen preguntas -problemas- como recurso eficaz para el Conocimiento del Medio).

De forma similar, Savoie y Hughes (1994) proponen el aprendizaje basado en la Resolución de Problemas como solución de muchos de los fracasos en la enseñanza, y, asimismo, Stacey (1991), específicamente en el ámbito matemático, expone las ventajas de una enseñanza basada en la Resolución de Problemas.

Por consiguiente, parece que LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NOS OFRECE UN PROCEDIMIENTO DIDÁCTICO A TRAVÉS DEL CUAL SE PUEDE MEJORAR LA ACTUACIÓN ANTE SITUACIONES DISTINTAS A LAS DE APRENDIZAJE, PERO, PARA QUE LA DEDICACIÓN ASIDUA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SEA EFECTIVA, PARA QUE SUPONGA UNA MEJORA EN LA CALIDAD DE LA ENSEÑANZA, ES PRECISO QUE SU TRATAMIENTO SE HAGA EN PROFUNDIDAD; LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO PUEDE NI DEBE CONSISTIR EN EL HECHO DE PROPONER PROBLEMAS A LOS ALUMNOS Y CORREGIRLOS COMO SI DE EJERCICIOS SE TRATARA.

"De esta forma, la vida ofrece su plenitud a quien quiere afrontarla. No reduzcáis arbitrariamente de antemano la infinidad de tanteos y la multiplicidad de soluciones a los problemas complicados que nos plantea. No agravéis la monotonía de una vida cotidiana en la que el abanico de caminos se ha cerrado sobre la perspectiva gris de la calle que conduce a la fábrica. No desesperéis a vuestros niños haciendo de vuestra clase un desfiladero de vía única, cuidadosamente rodeado de barreras, de bloques oscilantes y de precipicios, sin la esperanza de ver por fin en un recodo abrirse el abanico generoso de senderos que suben hacia la plenitud de la vida." (Freinet, 1975, pp. 80-81)

 

Permítaseme, llegados a este punto, abrir un paréntesis sobre la obligatoriedad de tener en consideración el aprendizaje de conceptos, procedimientos y actitudes, paréntesis que entiendo completamente justificado, toda vez que ESTE TRABAJO SE ENMARCA DENTRO DE LOS ESTUDIOS SOBRE LA FORMACIÓN DEL PROFESORADO. En efecto, opino que los docentes deben tomar en consideración el valor que LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS va adquiriendo, de tal forma que incluso ESTÁ CONTEMPLADA EN LA LEGISLACIÓN COMO UNO DE LOS CRITERIOS PARA SELECCIONAR LOS CONTENIDOS, lo que no es óbice para una eventual crítica constructiva:

"4. La resolución de problemas y la realización de investigaciones son actividades formativas de primer orden. Los problemas que pueden abordarse por distintas vías, que admiten varios niveles de solución razonables, permiten que el alumno adquiera una visión de las matemáticas como ciencia abierta y asequible y que desarrolle una actitud favorable para afrontar problemas matemáticos en su vida cotidiana." (Diseño Curricular Base. Educación Secundaria Obligatoria, AA.VV., 1989, p. 493)

 

 

Más aún, los programas de las asignaturas de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II (B.O.J.A. nº 115, 1994), las Matemáticas I y II de los Bachilleratos de Ciencias de la Naturaleza y la Salud y Tecnológico (B.O.J.A. nº 115, 1994), y las optativas Estadística y Matemáticas de la Forma (B.O.J.A. nº 116, 1995) ensalzan el papel de la resolución de problemas en la formación del alumno, hablando de ella tanto en la introducción de los programas como en los objetivos, contenidos y criterios de evaluación. Entre todos los comentarios destacaría los siguientes:

"la resolución frecuente de problemas proporciona al alumnado actitudes y hábitos de indagación, le facilita técnicas útiles para enfrentarse a situaciones imprevistas, y fomenta su creatividad... Hay contenidos básicamente procedimentales... Éstos sirven para... el desarrollo de capacidades tan importantes como... la resolución de problemas." (B.O.J.A., 1994, p. 8891-8892)

 

"el aprendizaje de los conocimientos matemáticos se hará de tal modo que los alumnos y alumnas... mejoren sus estrategias de resolución de problemas... Hay contenidos básicamente procedimentales y actitudinales que son característicos del modo de hacer matemático y que están presentes en el desarrollo de los restantes contenidos, por tanto tienen un carácter transversal y han de tener un tratamiento continuado a lo largo de todo el Bachillerato." (B.O.J.A., 1994, p. 8823-8824)

 

A las anteriores razones HAY QUE AÑADIR RAZONES DESDE LA PROPIA CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA:

"EL SABER MATEMÁTICO ES MUCHO MÁS UN SABER DE MÉTODO QUE DE CONTENIDO... LA MATEMÁTICA COMO CONOCIMIENTO A ENCONTRAR, NO COMO ENSEÑANZA A IMPARTIR... LA MATEMÁTICA ES UNA VERDADERA CIENCIA EXPERIMENTAL" (DE GUZMÁN, 1985, p. 32, 34 y 35),

 

concepción compartida por la propia ley:

"Las Matemáticas constituyen un conjunto muy amplio de conocimientos que evoluciona... con la necesidad de resolver determinados problemas prácticos. Es importante que el curriculum, y su forma de ser presentado a los alumnos y alumnas, refleje el proceso constructivo del conocimiento matemático, tanto en su progreso histórico como en su apropiación por el individuo." (B.O.J.A., 1994, p. 8891)

 

"Participar en el conocimiento matemático consiste, más que en la posesión de los resultados finales de esta ciencia, en el dominio de su "forma de hacer"..., aunque los aspectos conceptuales están presentes en la actividad matemática, no son los únicos elementos que actúan en su desarrollo. A menudo no son más que pretextos para la puesta en práctica de procesos, estrategias y actitudes y sirven para incitar a la exploración y a la investigación." (B.O.J.A., 1994, p. 8823)

 

Como dice Swenson (1994),

"Una situación problemática rica... puede ser más valiosa que una docena de ejercicios formales o rutinarios problemas verbales. En efecto, puede serlo

1. si motiva a los niños a enfrentarse a una dificultad que realmente necesita ser resuelta;

2. si estimula a los aprendices a indagar en las circunstancias del problema;

3. si los aprendices tienen que seleccionar los datos relevantes;

4. si los aprendices están motivados a desarrollar una variedad de estrategias para resolver el problema; y

5. si los aprendices emiten sus propios juicios sobre la aceptabilidad de varias soluciones." (p. 403)

 

Es así que, siendo la resolución de problemas de vital importancia para la formación matemática (no sólo) del alumno, adquieren especial relevancia las investigaciones sobre la formación del profesor al respecto [12]. Tal relevancia se pone de manifiesto en la ingente cantidad de investigaciones que se vienen desarrollando sobre este tema (algunas de las cuales se reseñan en este trabajo) y también, de forma sutil, en una de las recomendaciones que Davis (1992) menciona sobre hacia dónde deben dirigirse las investigaciones en Didáctica de la Matemática:

"4. Desarrollar procedimientos de evaluación que pongan más énfasis en la creatividad, y menos en la simple repetición de procedimientos memorísticos." (p. 725).

 

 

III.4. ASPECTOS DESTACABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Simon (1978,79), dentro de la Teoría de Procesamiento de la Información, considera tres componentes principales en el estudio del fenómeno de la Resolución de Problemas:

el que resuelve el problema, que llama "sistema de procesamiento de información",

 

el problema, denominado "entorno de la tarea", y

 

la representación del problema, llamada "espacio del problema".

El espacio del problema (Mayer, 1983) se refiere a la representación interna de quien resuelve el problema de:

- el estado inicial, en el que se representan las condiciones iniciales,

- el estado final, en el que se representa la situación final,

- los estados intermedios, generados por la aplicación de un operador a un estado determinado, y

 

- los operadores, movimientos que se hacen para pasar de un estado a otro.

En relación con las tres componentes de Simon, Castro (1991, cap. 2) presenta una CLASIFICACIÓN DE VARIABLES EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, de donde entresaco algunas líneas.

Kilpatrick (1978) y Kulm (1979) distinguen los siguientes tipos de variables en la investigación sobre Resolución de Problemas:

1) VARIABLES INDEPENDIENTES (no están condicionadas por la actuación del sujeto cuando ejecuta la tarea, por lo que pueden medirse al margen de ésta)

1.1) Del sujeto

* Organísmicas (no sujetas a modificaciones)

* De rasgo (abiertas a modificaciones)

- Habilidades

- Actitudes, intereses y valores

- Otras

* De la historia instruccional (lo que se le ha enseñado y el tipo de instrucción recibida)

1.2) De la tarea

* De sintaxis

* De contenido (aspecto matemático que encierra la tarea subyacente en el enunciado)

* De contexto (componente física reflejada)

* De estructura (estructura matemática intrínseca)

* De formato (manera en que es presentado)

* De conducta heurística [13] (referida a la parcela heurística inherente al problema)

1.3) De la situación

* Condiciones físicas

- Tipo de espacio en el que el sujeto resuelve el problema

- Naturaleza del espacio

- Recursos disponibles

* Condiciones psicológicas

- Propósito con que se resuelve el problema

- Tipo de proceder (evaluativo, descriptivo, diagnóstico, etc)

- Naturaleza del entorno de aprendizaje (tipo de retroalimentación e interacción)

* Condiciones sociales

- Tipo de grupo

- Relación entre sujeto y experimentador

- ...

2) VARIABLES DEPENDIENTES (hacen referencia a la conducta y están condicionadas por las actuaciones de los sujetos ante las tareas)

2.1) Concomitantes (miden el efecto inducido en el sujeto por el hecho de resolver problemas)

2.2) Del producto

* Corrección

* Complitud

* Elegancia y economía

* Velocidad

* Diversidad de soluciones

2.3) Del proceso

* Estrategias

* Heurísticos

* Algoritmos

* "Callejones sin salida"

* Errores

* Respuestas a indicaciones

* ...

2.4) De evaluación

* Visión global del problema

* Relación con la información que posee

* Confianza en la solución

* Grado de consciencia de los procesos usados

* Grado de consciencia de los errores cometidos

* ...

ES EN ESTE SEGUNDO GRUPO DE VARIABLES DONDE HEMOS DE SITUAR ESTA INVESTIGACIÓN. Con una visión más global y desde una perspectiva pedagógica (el objetivo meta, al fin y al cabo), Lester (1985) formula 3 preguntas claves:

"1.- ¿Qué hace el individuo, correcta e incorrectamente, durante la Resolución de Problemas?

2.- ¿Qué debería ser capaz de hacer el individuo?

3.- ¿Cómo puede mejorarse la habilidad individual en Resolución de Problemas?" (p. 44)

 

Para poder analizar lo que hace un individuo durante el proceso de resolución de un problema y para poder esbozar una respuesta a las dos últimas preguntas es necesario saber qué se pone en juego a la hora de resolver problemas. Según Kilpatrick (1985), LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMPLEJOS REQUIERE:

"(1) UN RICO COMPENDIO ORGANIZADO DE CONOCIMIENTOS ACERCA DEL CONTENIDO,

(2) UN CONJUNTO DE PROCEDIMIENTOS PARA REPRESENTAR Y TRANSFORMAR EL PROBLEMA, Y

(3) UN SISTEMA DE CONTROL PARA GUIAR LA SELECCIÓN DE CONOCIMIENTOS Y PROCEDIMIENTOS" (p. 7) [14].

 

En otras palabras: un buen resolutor de problemas posee un conocimiento profundo de la materia, domina una serie de técnicas (estrategias) heurísticas y es capaz de regular el proceso de resolución en cuanto a la aplicación de sus conocimientos y estrategias.

Hasta hace poco, las investigaciones sobre la instrucción en Resolución de Problemas (Lester, 1985) se podían clasificar en cuatro categorías, correspondientes a los puntos (1) y (2) de Kilpatrick:

"1.- Instrucción para desarrollar el dominio de estrategias de pensamiento (por ej.: originalidad, creatividad).

2.- Instrucción en el uso de destrezas específicas (por ej.: hacer una tabla, organizar datos, escribir ecuaciones).

3.- Instrucción en el uso de heurísticos específicos (por ej.: búsqueda de regularidades, trabajar hacia atrás).

4.- Instrucción en el uso de heurísticos generales (por ej.: análisis de medios y fines, comprensión)." (p. 45)

 

Pero hoy día cada vez se le concede más atención a las "fuerzas directivas" de la Resolución de Problemas, es decir, a los aspectos metacognitivos. Como afirma Kilpatrick (1985), la Resolución de Problemas se aprende por osmosis, memorización, imitación, cooperación, o reflexión.

En este punto, como en otros muchos, no nos debemos restringir a sacar conclusiones de cara a los alumnos y alumnas (la perspectiva de la instrucción es, en este trabajo, un medio para obtener información sobre aspectos a tener en cuenta en la investigación con profesores). Se ha insistido mucho en que los estudiantes hagan, lo que es muy importante, pero no debe olvidarse la necesidad y la conveniencia de que también reflexionen sobre lo que hacen, y esto es algo que puede obviamente extenderse a cualquier resolutor; si pretendemos mejorar la capacidad de un individuo como resolutor de problemas, hemos de propiciar las ocasiones en las que reflexione sobre su proceder. Al mismo tiempo, A LA HORA DE ANALIZAR EL MODO DE RESOLVER PROBLEMAS ES NECESARIO INCLUIR INDICADORES SOBRE EL EMPLEO DE LA REFLEXIÓN EN EL PROCESO DE RESOLUCIÓN.

ESAS FUERZAS DIRECTIVAS SON NECESARIAS PARA: A) RECONOCER CUÁNDO UNA ESTRATEGIA PUEDE SER ÚTIL, B) SELECCIONAR UNA ESTRATEGIA APROPIADA CUANDO PUEDE EMPLEARSE MÁS DE UNA, Y C) PARA EJECUTAR LA ESTRATEGIA CORRECTAMENTE.

Así, las componentes metacognitivas incluyen el conocimiento del sujeto y el control de sus recursos cognitivos. En otras palabras, LA METACOGNICIÓN POSEE DOS ASPECTOS SEPARADOS, PERO RELACIONADOS: CONOCIMIENTO Y SUPOSICIONES ACERCA DE LOS FENÓMENOS COGNITIVOS, Y REGULACIÓN Y CONTROL DE LAS ACCIONES COGNITIVAS. La descripción de Flavell (1976) abarca las dos facetas:

"La metacognición se refiere al conocimiento personal de los propios procesos y productos cognitivos o cualquier cosa relacionada con ellos, como las características de la información o los datos relevantes para el aprendizaje... La metacognición se refiere, entre otras cosas, a la supervisión activa y consiguiente regulación y orquestación de esos procesos en relación con los objetos cognitivos o datos en los que se apoyan, usualmente al servicio de alguna meta u objetivo concreto" (p. 232)

 

Lester (1985) aplica la clasificación de Flavell y Wellman (1977) para las variables de la metamemoria a la metacognición, dividiendo las componentes metacognitivas en tres tipos de variables:

- personales,

- de la tarea, y

- estratégicas.

Las personales incluyen el sistema de creencias y afectos (motivación, ansiedad, perseverancia, etc.).

Las de tarea se refieren al conocimiento sobre los propósitos y requerimientos de las tareas, así como de los factores y condiciones que hacen que unas tareas sean más difíciles que otras. Se dividen, a su vez, en cinco categorías: de contenido, de contexto, de estructura, de sintaxis y de proceso (corresponden a las variables de contenido, contexto, estructura, sintaxis y conducta heurística de Kulm (1979), anteriormente descritas).

Las variables estratégicas se refieren al conocimiento individual de estrategias que ayudan en la comprensión, organización, planificación, ejecución y evaluación; incluyen el hecho de percatarse de emplear estrategias, saber cuándo usar cierto heurístico y saber cómo y cuándo revisar si se progresa en la solución.

Además, Lester sugiere una relación interactiva entre las tres componentes metacognitivas (1985, fig.2, pág. 65) y presenta una tabla (pág. 63) que da idea de las decisiones metacognitivas correspondientes a cada categoría cognitiva.

Por su parte, Schoenfeld (1987), tras decir que el significado de metacognición no es suficientemente preciso, detalla la definición de Flavell a partir de la descripción de los 3 focos principales que hasta entonces ha tenido la investigación sobre metacognición:

"la investigación sobre metacognición se ha centrado en tres categorías relacionadas, pero distintas, de la conducta intelectual:

1. Tu conocimiento sobre tus propios procesos de pensamiento. ¿Qué seguridad muestras al describir tu propio razonamiento?

2. Control, o autorregulación. ¿En qué medida sigues la idea de lo que estás haciendo (por ejemplo) cuando te hallas resolviendo problemas, y en qué medida usas lo que extraes de esas observaciones para guiar tus acciones en la resolución de problemas?

3. Creencias e intuiciones. ¿Qué ideas sobre la matemática aportas a tu trabajo en matemáticas, y cómo afecta a la forma en que haces matemáticas?" (p. 190)

 

De esta forma, Schoenfeld establece 3 componentes metacognitivas: conocimiento de los propios procesos de pensamiento, control del proceso y creencias, en claro paralelismo con Lester.

Silver (1985a) introduce el tema de la metacognición [15] como uno de los que necesitan ser investigados en el futuro por su relevante papel en la resolución de problemas. Sintetiza la descripción de Flavell en conocimiento de uno mismo sobre los procesos y productos cognitivos propios y conocimiento de la cognición de otros, refiriéndose no sólo a la consciencia de los procesos cognitivos, sino también al autocontrol, regulación y evaluación de la actividad cognitiva. Y opina que la investigación sobre metacognición debe abordar los siguientes puntos:

"(1) toma de conciencia de la naturaleza activa del procesamiento durante la resolución de problemas, (2) consciencia y disponibilidad de estrategias, (3) la influencia de diferir las demandas de las tareas sobre el funcionamiento metacognitivo, (4) mecanismos de selección y empleo de estrategias, (5) control de la actividad en resolución de problemas, (6) los procesos de evaluación y modificación de la conducta en resolución de problemas, y (7) la influencia de las creencias y las concepciones erróneas sobre la matemática o los procesos matemáticos sobre la actuación en resolución de problemas." (p. 261)

 

Para Garofalo y Lester (1985),

"El conocimiento metacognitivo sobre estrategias incluye un conocimiento de las estrategias cognitivas generales y específicas, junto con un conocimiento de su potencial utilidad para aproximar y ejecutar ciertas tareas." (p. 164-165)

 

En cuanto a la regulación y control de las acciones cognitivas, ejemplos de tales actividades incluyen

"la selección de estrategias para ayudar a la comprensión de la naturaleza de la tarea o problema, la planificación de formas de actuar, la selección apropiada de estrategias para ejecutar el plan, la supervisión de las actividades de ejecución mientras se implementan estrategias, la evaluación de los resultados de estrategias y planes y, si es necesario, la revisión o abandono de estrategias y planes no productivos." (p. 166)

Schoenfeld (1983) considera dos tipos diferentes de conducta en la resolución de problemas: táctica y directorial. Por táctica entiende "cosas para realizar", tales como algoritmos y la mayoría de heurísticos; en decisiones directoriales incluye

"selección de perspectivas y esquemas para un problema; decisión, ante posibles opciones, de la dirección a tomar por la solución; decisión, a la luz de nueva información, de abandonar un modelo recién tomado; decisión, si es el caso, de salvar algo de los intentos abandonados o de los modelos no tomados; supervisión de una ejecución táctica con miras a una intervención apropiada; y mucho, mucho más" (p. 20).

 

Por otra parte, Sternberg (1980, 1982) ha estado trabajando en el desarrollo de una subteoría componencial de la inteligencia humana [16]. Identifica cinco tipos de componentes: componentes de ejecución o actuación, componentes de adquisición, componentes de retención, componentes de transferencia y metacomponentes. Las metacomponentes son procesos de control de orden superior usados en la toma de decisiones y planificaciones ejecutivas. Especifica asimismo seis metacomponentes: decisión sobre qué es el problema, selección de componentes de orden inferior, selección de una o más representaciones para la información, selección de una estrategia para combinar las componentes de orden inferior, decisión en relación con la rapidez y seguridad y supervisión de la solución.

Es claro que PARA STERNBERG LA METACOGNICIÓN ES, usando una frase acuñada por Silver (1982), LA FUERZA IMPULSORA DE LA ACTIVIDAD INTELECTUAL.

Shigematsu (1993) declara que la definición de metacognición no está aún firmemente asentada y a continuación dice:

"Grosso modo, podríamos mirar la metacognición como los conocimientos y las destrezas que hacen activos los conocimientos objetivos en las actividades del pensamiento. Hay pocas propuestas de categorización de la metacognición en general, pero aquí seguiremos la sugerencia de Flavell y adoptaremos 4 divisiones del conocimiento metacognitivo:

(Metaconocimiento)

1. el entorno 2. el resolutor

3. la tarea 4. la estrategia

y 3 divisiones de destrezas metacognitivas:

(Metadestreza)

1. el monitor 2. la evaluación

3. el control

...

Como dijo Piaget, los niños son egocéntricos por naturaleza, pero su egocentrismo se despliega en dos egos ya en la edad de la escuela elemental: uno es el que actúa y el otro es el que monitoriza al primero y es considerado como metacognición. Nuestra concepción original es que este segundo ego es realmente un sustituto o una copia del profesor del que el alumno aprende. En este contexto es en el que llamamos "profesor interno" a la metacognición." (p. 114).

 

Sin embargo, para Hart (1991)

"La teoría de la metacognición consiste (al menos) en dos componentes, la actividad metacognitiva y el conocimiento metacognitivo. La primera consiste en la monitorización y consiguiente regulación de lo que sabes y de lo que haces con lo que sabes. En contraste con esta componente activa de la metacognición, el conocimiento metacognitivo -frecuentemente referido como creencias (Flavell, 1979)- existe como información acerca de la naturaleza de la matemática, su enseñanza, uno mismo como matemático, estrategias apropiadas en matemáticas, etc. El conocimiento metacognitivo se toma como un subconjunto de todo el conocimiento que tiene un individuo, diferenciándose primariamente en la sustancia de lo que es conocido." (p. 141),

 

poniéndose de relieve la falta de unidad en lo que se entiende por metacognición. Mientras que para Shigematsu la metacognición es el profesor interno, para Hart tal monitorización es actividad cognitiva, diferente del conocimiento metacognitivo, que podría incluir incluso la concepción de la propia matemática.

EN ESTE TRABAJO METACOGNICIÓN SE ACERCA MÁS A LA DEFINICIÓN DE FLAVELL. En este sentido, dice Humphrey (1987):

"Y la capacidad para ese tipo de observación interna -la capacidad de mirar en sí mismo y considerar lo que hacemos al pensar, tener esperanzas, temores, etc.- es algo de un orden totalmente distinto. A mi parecer, representa el desarrollo más peculiar y refinado en la evolución de la mente humana. Para darle un nombre, digamos que es la capacidad de 'conciencia reflexiva': una conciencia de la conciencia." (p. 16).

 

Así,

"la metacognición sería una capacidad... que permitiría a los seres humanos tomar conciencia de sus procesos y productos cognitivos... desarrollándose en forma de habilidades metacognitivas... que permitirían al estudiante planificar, controlar y evaluar sus procesos mentales al realizar una tarea o al resolver un problema." (Monereo, 1995, p. 75).

 

En cualquier caso, los aspectos metacognitivos se manifiestan de forma simultánea al resto de factores, tal como expresa Davis (1984):

"Postulamos dos grandes procesos [en la resolución de problemas], esencialmente simultáneos. Uno centra su atención en la construcción de representaciones, y es muy específico y detallado... El segundo gran proceso es un meta-análisis, empleando descriptores de meta-lenguaje, etc... Un ingrediente frecuente en este meta-análisis consiste en la evaluación del progreso, o su falta, [al desarrollar el plan]." (p. 305, 307).

 

Como se sabe, hay muchos otros aspectos a considerar en el proceso de resolución de problemas [17]. Se han desarrollado a tal respecto muchos ESQUEMAS DE ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DEL RESOLUTOR. Uno de ellos es el elaborado por Schoenfeld (1983), quien distingue los episodios de lectura, análisis, exploración, planificación, ejecución y verificación. Añade Schoenfeld que donde las decisiones metacognitivas, especialmente las directoriales, pueden tener un mayor efecto es en los puntos de transición entre esos episodios. Más recientemente, Schoenfeld (1984) identifica tres niveles de conocimiento y conducta cualitativamente diferentes que, según él, deben ser considerados siempre que se quiera obtener una buena idea de la actuación de una persona en la resolución de problemas: recursos (conocimiento del que puede disponer una persona en un problema determinado), control (conocimiento que guía en la selección y ejecución de recursos) y conjunto de creencias (percepciones sobre uno mismo, el entorno, el tópico o las matemáticas que pueden influenciar la conducta personal). Posteriormente, Schoenfeld (1985), agrega los heurísticos como cuarto nivel y más recientemente, Schoenfeld (1992) incluye en el nivel de las creencias los afectos.

Enlazando con esa división en episodios, existe gran cantidad de propuestas de división del proceso de resolución de problemas en episodios, partes o fases.

Dewey (1910) da una lista de fases para la solución de cualquier cosa que en la vida cotidiana se llama problema:

Identificación de la situación problemática

Definición precisa del problema

Análisis medios-fines. Plan de solución

Ejecución del plan

Asunción de las consecuencias

Evaluación de la solución. Supervisión. Generalización

Análogamente, Bransford y Stein (1984) aportan su descomposición IDEAL:

Identificación del problema

Definición y representación del problema

Exploración de posibles estrategias

Actuación, fundada en una estrategia

Logros. Observación y evaluación de las consecuencias

De una forma mucho más resumida dividen el proceso Mason, Burton y Stacey (1982):

Abordaje

Ataque

Revisión,

cuyo estilo de descripción no pretende ser un instrumento de análisis, sino una ayuda para la instrucción, como comentan Puig y Cerdán (1988).

Pólya (1986), por su parte, desde el punto de vista del resolutor ideal, divide en 4 fases el proceso de RP:

Comprensión

Elaboración de un plan

Ejecución

Revisión.

Afirma Schoenfeld (1987) que no existen fases perfectas y que etiquetas como Exploración o Análisis describen mejor lo que el resolutor hace que las otras de Comprensión y Elaboración del plan. Además, afirma, los resolutores expertos se caracterizan más por un rápido zizagueo entre episodios que por un recorrido secuencial por ellos:

Análisis y Comprensión

Diseño y Planificación

Exploración

Verificación.

Desde una perspectiva psicológica, más general, la Gestalt considera las siguientes fases en el proceso de resolución de problemas:

Preparación (recogida de información y primeros intentos de solución)

Incubación (se deja el problema mientras se realiza otra actividad)

Iluminación (surge la luz para resolverlo)

Verificación (se comprueba que lo obtenido es verdaderamente la solución) (Wallas, 1926).

 

Garofalo y Lester (1985) presentan un esquema cognitivo-metacognitivo para el estudio de la actuación matemática. Comprende cuatro categorías de actividades involucradas en la actuación en tareas matemáticas:

Orientación

Organización

Ejecución

Verificación.

 

Estoy con Schoenfeld (1987) cuando afirma que no existen fases perfectas y pienso que el núcleo más importante de la cuestión no está tanto en el etiquetaje como en la concepción de la provisionalidad del estado en el que se halla el resolutor con relación a las fases del problema, dicho en otras palabras: CONCIBO LAS FASES COMO ESTADOS POR LOS QUE SE PASA Y A LOS QUE SE PUEDE VOLVER A LO LARGO DEL PROCESO DE RESOLUCIÓN.

Bajo este punto de vista, PROPONGO la consideración de las siguientes fases en el proceso general de resolución de problemas:

0. IDENTIFICACIÓN

1. COMPRENSIÓN

2. PLANIFICACIÓN Y EXPLORACIÓN

3. EJECUCIÓN

4. VERIFICACIÓN

He otorgado el número 0 a la fase de Identificación debido a que, por las características de los problemas presentados en este trabajo, se prescindirá de ella.

El propósito es definir/caracterizar lo más claramente posible las fases citadas.

0. IDENTIFICACIÓN

En esta fase el sujeto detecta un problema. En muchos casos, esta fase no tiene lugar en el contexto escolar, debido a que, si en alguna ocasión es presentado un problema, éste es mostrado como tal. Sin embargo, es esencial en la resolución de problemas, no sólo en los cotidianos.

 

Se requiere una actitud especial ante la vida para ver/detectar algunas situaciones como problemáticas (valga como ejemplo el problema de las salpicaduras de grasa -Bransford y Stein, 1984). Esto no quiere decir que el sujeto en cuestión sea capaz de resolver satisfactoriamente la situación, tan sólo ha codificado una situación como problema, y, por consiguiente, sujeta a posibles abordajes.

 

La actitud de los niños de los primeros cursos de escolarización ante la imposibilidad de repartir en dos partes enteras iguales 5 caramelos, y 7 u 11 caramelos, puede diferir de unos a otros. Mientras que unos se contentan con decir que han tenido mala suerte, otros, con un mayor dominio de la situación, piensan que puede existir una serie de cantidades que no se pueden repartir entre dos. Estamos, pues, ante dos tipos de actitud cualitativamente diferentes: la primera es una actitud conformista, la segunda es una actitud crítica. Los alumnos del primer tipo quedarán igual de sorprendidos cuando tengan que repartir entre dos 15 caramelos; no así los otros, que han sabido identificar la situación como problemática; es posible que no tengan resuelto el problema, pero una nueva situación (15 caramelos entre dos) no será motivo de sorpresa, sino ocasión de confirmación.

 

 

1. COMPRENSIÓN

En la fase de comprensión el resolutor intenta hacerse una idea, una composición mental de la situación; procura entender las partes del problema (condiciones y conclusión).

 

En esta fase el objetivo del resolutor es "hacer suyo" el problema, en el sentido de saber a qué se refiere y buscar una representación propia para el mismo y una formulación que le resulte familiar.

 

La comprensión de un problema o de una situación no tiene porqué darse de manera global; en muchos casos, después de un primer acercamiento al problema, el resolutor atraviesa por otras fases, como planificación y ejecución, e incluso verificación, teniendo posteriormente que volver a profundizar en la comprensión del problema.

 

2. PLANIFICACIÓN Y EXPLORACIÓN

Frecuentemente son presentadas por separado la Planificación y la Exploración; sin embargo, creo que, desde una perspectiva metacognitiva, deberían estar unidas, pues la intención del resolutor mientras transita por cualquiera de ellas es la misma, cual es obtener información con vistas a idear una estrategia que resuelva el problema, en el sentido de aportar una solución coherente.

 

Existe cierto paralelismo entre esta fase y la fase de Comprensión, ya que en ambas puede darse una manipulación con las condiciones del problema, pero, mientras que en la fase de Comprensión el objetivo es "hacerse con el problema" (en el sentido anteriormente expresado), en la de Planificación y Exploración el objetivo es "hacerse con un plan" para resolver el problema. Lo intenta clarificar el siguiente comentario: ejemplificar (dar un valor particular a la incógnita) es útil para entender qué quiere decir el enunciado de manera general; tantear o ensayar aleatoriamente (probar con un valor cualquiera particular de la incógnita) se usa para encontrar pistas que conformen una estrategia de resolución.

 

3. EJECUCIÓN

El resolutor está en la fase de Ejecución cuando se encuentra desarrollando el plan trazado en la fase anterior. No consideraré, pues, perteneciente a esta fase el cálculo que puede suponer la ejemplificación (fase de Comprensión) o el tanteo (fase de Planificación y Exploración), tan sólo el que provenga de llevar a cabo un plan previamente ideado.

 

Es de observar que las fronteras entre fases no son nítidas y que, por consiguiente, a veces es difícil discernir en qué fase se halla el resolutor.

 

Por ejemplo, cuando éste ha formulado una conjetura (quizás a partir de un tanteo) y pasa a someterla a prueba, ¿a qué fase asociamos esta comprobación, a la de Ejecución o a la de Planificación y Exploración? Pienso, en primer lugar, que formular una conjetura pertenece a una fase exploratoria, se trata de una "apuesta" de solución, análogamente a lo que ocurre cuando se esboza una estrategia para resolver el problema. Es por ello que me inclino por incluir su comprobación en la fase de Ejecución.

 

4. VERIFICACIÓN

La fase de Verificación podría asimismo llamarse de Revisión o Evaluación, o incluso Control, ya que todas estas acepciones son esenciales en el proceso de resolución de problemas.

 Es en este estado en el que el resolutor verifica o comprueba si la solución tiene sentido o es correcta, o revisa un razonamiento anterior, o evalúa las consecuencias de haber elegido determinada estrategia; en suma, controla el proceso.

 

Acompañando a la descripción de cada fase, pueden darse unas sugerencias que reciben un nombre especial, nombre que puso Pólya de moda: heurísticos [18].

Para Kilpatrick (1967), un heurístico es cualquier invención, técnica, regla de manejo, etc. que mejora la actuación en RP.

Schoenfeld (1980) considera que un HEURÍSTICO ES UNA

"INSINUACIÓN O SUGERENCIA GENERAL O ESTRATEGIA, INDEPENDIENTE DE CUALQUIER TÓPICO PARTICULAR O MATERIA DE ESTUDIO, QUE AYUDA AL RESOLUTOR A APROXIMARSE Y COMPRENDER UN PROBLEMA Y ORDENAR EFICIENTEMENTE SUS RECURSOS PARA RESOLVERLO." (p. 9).

 

La última frase, "...y ordenar eficientemente sus recursos para resolverlo", es verdaderamente importante, ya que expresa la relación entre heurístico y lo que Schoenfeld denomina control o decisiones ejecutivas (Schoenfeld, 1983, 85, 92), de las que ya he hablado.

Schoenfeld (1980) da una lista de heurísticos por fase:

ANÁLISIS Y COMPRENSIÓN

 

1.- Dibujar un diagrama

2.- Examinar casos especiales

3.- Simplificar usando simetría o "sin pérdida de generalidad"

 

DISEÑO Y PLANIFICACIÓN DE UNA SOLUCIÓN

 

4.- Planificar soluciones jerárquicamente

5.- Explicar qué se está ejecutando y por qué y qué se hará con el resultado de esa operación

 

EXPLORACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DIFÍCILES

 

6.- Considerar una variedad de problemas equivalentes:

a) Reemplazar condiciones por otras equivalentes

b) Combinar elementos del problema de diferentes formas

c) Introducir elementos auxiliares

d) Reformular el problema:

- cambiando de notación

- arguyendo por contradicción o contraposición

- asumiendo una solución y determinando las propiedades que debe tener

7.- Considerar leves modificaciones del problema original: a) Elegir submetas

b) Eliminar o relajar una condición e intentar después imponerla

c) Descomponer el problema y trabajar caso a caso

8.- Considerar amplias modificaciones del problema original:

a) Examinar problemas análogos con menos complejidad (menos variables)

b) Explorar el papel de una sola variable o condición dejando el resto fijo

c) Explotar algún problema similar (forma, datos o conclusiones), intentando sacar partido tanto del resultado como del método de resolución

 

VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN

 

9.- Usar tests o criterios específicos:

a) ¿Se usan todos los datos pertinentes?

b) ¿Es razonable?

c) ¿Resiste ensayos de simetría, análisis dimensional o cambios de escala?

10.- Usar tests o criterios generales:

a) ¿Se puede llegar al resultado de otra manera?

b) ¿Puede quedar concretada en casos particulares?

c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?

d) ¿Se puede utilizar para generar algo conocido? (Schoenfeld, 1980, p. 9-10)

 

Análogamente, Pólya (1986) da la siguiente lista de heurísticos a modo de guía para la instrucción:

Primero: COMPRENSIÓN. Comprender el problema.

 

¿Cuál es la incógnita? ¿Y los datos? ¿Y la condición? ¿Es posible satisfacer la condición? ¿Es ésta suficiente para determinar la incógnita? ¿O es insuficiente? ¿O redundante? ¿O contradictoria?

Dibuja una figura.

Introduce notación adecuada.

Separa las diferentes partes de la condición. Escríbelas abajo.

 

Segundo: PLANTEAMIENTO. Encontrar la conexión entre los datos y la incógnita. Considerar problemas auxiliares si falla lo anterior. Obtener un plan de solución.

 

¿Lo has visto antes? ¿O lo has visto en una forma ligeramente diferente?

¿Conoces un problema relacionado? ¿Conoces alguna propiedad que pueda ser útil?

¡Observa la incógnita! Piensa en un problema que te resulte familiar y que tenga la misma incógnita.

¿Puedes utilizar un problema relacionado con el tuyo y resuelto anteriormente? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Su método? ¿Introducirías algún elemento auxiliar para hacer posible su uso?

¿Puedes volver a formular el problema? ¿Puedes hacerlo en una forma algo diferente? Vuelve a las definiciones

 

Si no puedes resolver el problema, prueba a resolver primero uno relacionado. ¿Puedes imaginar uno más accesible? ¿Uno más general? ¿Uno más específico? ¿Uno análogo? ¿Puedes resolver una parte del problema? Mantén sólo una parte de la condición, abandonando la otra; ¿en qué medida se determina entonces la incógnita y cómo puede variar? ¿Puedes deducir algo útil de los datos? ¿Puedes pensar en otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes modificar la incógnita o los datos de manera que se acerquen más?

¿Usas todos los datos? ¿Utilizas la condición completamente? ¿Has tenido en cuenta todas las nociones esenciales que aparecen en el problema?

 

Tercero: EJECUCIÓN. Ejecuta el plan.

 

Ejecuta el plan de solución, verificando cada paso. ¿Puedes ver claramente que el paso dado es correcto? ¿Puedes probar que lo es?

 

Cuarto: REVISIÓN. Examina la solución.

 

¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes verificar el argumento? ¿Puedes llegar al resultado de otra manera? ¿Puedes saberlo de un vistazo? ¿Puedes utilizar el resultado o el método para otros problemas? (p. 19 [19])

 

Por mi parte, ENTIENDO HEURÍSTICO SEGÚN LA CONCEPCIÓN DE SCHOENFELD, Y APORTO A CONTINUACIÓN UNA LISTA DE HEURÍSTICOS [20].

Heurísticos para la fase de Identificación

En la fase de Identificación, la sugerencia básica es de tipo actitudinal: adoptar una actitud crítica ante la vida, fomentar la percepción y ser capaz de actuar como protagonista en su entorno. En la clase de matemáticas, especialmente durante la realización de actividades de investigación, la identificación de problemas puede provenir de la mirada interrogante de los alumnos ante la información mostrada y ante los resultados parciales. Asimismo, a lo largo de la resolución de un problema, indagar sobre aspectos que van quedando relegados o que pueden extenderse a consideraciones más amplias permite identificar nuevos problemas.

 

Heurísticos para la fase de Comprensión

- C1 Organizar la información

 

Imaginar mentalmente la situación es un primer proceso por el que muchas personas prefieren pasar, incluso en casos complicados, antes de ir al papel, pues éste les restringe el campo imaginativo.

 

A veces, es preciso releer el enunciado para profundizar en él, cuidando tener en cuenta todos los detalles.

 

En un problema de Geometría, por ejemplo, tras seleccionar el material adecuado (como regla, compás, transportador, ...), su empleo puede dar pistas para determinar la estrategia solucionadora.

 

Asimismo, disponer de un modelo manipulativo de la situación a la que se refiere el enunciado puede ayudar a hacerse una idea tanto de las condiciones como de la conclusión que se pretende, caso de que ésta sea explícita. En esta fase, el empleo del modelo manipulativo se restringe a la plasmación del enunciado.

 

Utilizar algún tipo de esquema gráfico (dibujar un diagrama), algo que no es exclusivo de los problemas de Geometría, es útil para visualizar la situación descrita en el enunciado.

 

En suma, el resolutor debe tener constancia de lo que sabe (condiciones del problema), lo que quiere (tesis del problema, incógnita) y lo que puede usar (estado de su conocimiento relativo a la tarea), factores metacognitivos asociados a este heurístico de comprensión.

 

- C2 Ejemplificar

 

En el acercamiento al problema, es conveniente a veces ponerse algún ejemplo e imponer a él las condiciones del enunciado.

 

Un caso particular es examinar casos especiales, donde ya hay una intencionalidad clara: se estudia un determinado caso por la relevancia que pueda tener.

 

Asimismo, hay cierta relación entre C1 y este heurístico. Cuando en un problema sobre polígonos dibujamos un pentágono regular, estamos ejemplificando el enunciado. La decisión de considerar este recurso como C1 ó C2 dependerá del contexto y de la pretensión del resolutor. Si el diagrama se hace buscando una representación propia de la situación, lo etiquetaremos con C1, pero si su objetivo es plasmar el enunciado en un caso particular, su etiqueta será C2.

 

- C3 Expresar en otros términos

 

Supone hacer un esfuerzo para formular con otras palabras la situación descrita en el enunciado, e incluso puede referirse a introducir notación adecuada. Sobre todo cuando la información es abundante, conviene expresar los datos, condiciones e incógnita del problema de forma abreviada y clara (notación matemática); esta representación, que conlleva la traducción del lenguaje usual al matemático, hace más manejable la situación.

 

Heurísticos para la fase de Planificación y Exploración

- PE1 Simplificar

 

Usando simetría o "sin perder generalidad".

 

Descartando casos: en ocasiones el enunciado del problema imposibilita algunos casos que, si se eliminan, hacen que se pueda ver el argumento o plan con mayor claridad.

 

Eliminando una condición: eliminar o relajar una condición facilita el camino, ya que amplía el campo de movimiento, aunque luego habrá que intentar imponerla.

 

Para obtener la representación gráfica de la función cuadrática real de variable real

f(x) = a x² + b x + c

puede procederse inicialmente considerando el caso menos general de funciones de expresión

g(x) = a x²

e ir imponiendo posteriormente las demás condiciones.

 

Explotando el papel de una sola variable o condición, dejando fijo el resto.

 

Si queremos investigar en el geoplano cómo varía el tamaño (área) al cambiar la forma y el perímetro de los pentágonos, puede sernos útil, en principio (para estudiar la proveniencia de las alteraciones), fijar el perímetro.

 

Imponiendo condiciones a las variables.

 

- PE2 Estimar

 

Tener una idea de cuánto debe valer la solución.

 

- PE3 Buscar regularidades con intención de generalizar

 

La detección de regularidades o la obtención de un modelo es un buen punto de partida para conformar una estrategia.

 

- PE3a Tantear

 

El tanteo, que puede ser aleatorio (se trata de probar con unos cuantos casos cualesquiera con la intención de buscar alguna indicación útil para la conformación de una estrategia solucionadora) o sistemático (coincide con el aleatorio, salvo en que ahora los casos están seleccionados), suele ser de gran utilidad cuando queremos obtener modelos.

 

- PE4 Considerar problemas equivalentes

 

Reformulando el problema, cambiando de notación: la elección de una buena notación juega también un papel a tener en cuenta en el proceso de resolución de problemas.

 

Para algunos casos la notación "abc" = 100 a + 10 b + c puede ser cómoda, pero si tenemos que abordar el caso general, deberemos utilizar la notación

 

"a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀"=a_n10ⁿ+a_n-110^n-1+...+a₃10³+a₂10²+a₁10+a₀

 

Reformulando el problema, cambiando de perspectiva: para demostrar el teorema de Pitágoras es útil considerar los cuadrados de las longitudes de los lados, en lugar de como simples números, como las medidas de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados.

 

Reemplazando condiciones por equivalentes: puede ser más clarificador trabajar con la condición

a < -2 ó a > 2

que con la otra de

a² > 4 .

Combinando los elementos de diferentes formas: ver qué se puede extraer de las diferentes asociaciones de los elementos del problema con vistas a la configuración de una estrategia.

 

Introduciendo elementos auxiliares: puede haber elementos, no explícitos en el enunciado, que, sin añadir condiciones al problema, sean de gran ayuda.

 

Por ejemplo, para deducir la medida del ángulo interior de un polígono regular, es muy útil considerar la circunferencia circunscrita.

 

...

- PE5 Argüir por contradicción

 

En ocasiones es bastante fructífero suponer que no se cumple la tesis en cuestión y deducir las consecuencias.

 

Dentro de este heurístico se halla la búsqueda de contraejemplos, analizando sus características.

 

- PE6 Asumir la solución

 

Suponer que se dispone de la solución y determinar las propiedades que ésta debe tener puede ser una excelente fuente de inspiración en la búsqueda de una estrategia que resuelva el problema.

 

- PE7 Partir de lo que se sabe

 

A veces da resultado profundizar en las condiciones del problema.

 

- PE8 Planificar jerárquicamente la solución

 

Establecer una serie de pasos para llegar a la solución, es decir, elegir submetas y sus respectivos enlaces.

 

- PE9 Descomponer el problema

 

Se trata de trabajar caso a caso (abordar de una vez todos los casos concernientes al problema puede no ser operativo).

 

La visualización de que el área de un triángulo cualquiera es base x altura / 2 , a partir de la formación del paralelogramo correspondiente, ha de realizarse caso a caso (triángulos acutángulos, rectángulos y oblicuángulos).

 

En el estudio de la representación de la función anteriormente descrita pueden considerarse dos casos: a>0 y a<0.

 

La diferencia entre PE1 (Eliminando una condición) y PE9 es que al aplicar PE1 se amplía el campo en el que puede estar la solución, mientras que al aplicar PE9, intentamos llegar a la solución para varios subconjuntos que, entre todos, constituyen la totalidad inicial.

 

Un caso extremo de este heurístico es aquél en que uno de los subconjuntos es finito (en ocasiones compuesto por un solo elemento), en cuyo caso podemos hablar de particularización (aleatoria o sistemática)...

 

- PE10 Explorar problemas similares

 

La exploración de problemas similares en la forma, los datos o las conclusiones tiene por objeto sacar partido tanto del resultado como del método de resolución.

 

Examinar problemas parecidos con menos variables puede ser un punto de partida para la elaboración de una estrategia en la que ya intervengan todas las variables del problema.

 

- PE11 Conjeturar

 

Conjeturar es hacer una "apuesta", una suposición en función de los indicios o datos que se poseen, acerca de la solución del problema o de parte de ella.

 

El tanteo con varios triángulos, midiendo sus ángulos con el transportador y calculando su suma, nos puede llevar a establecer la conjetura de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180.

 

Tras dividir 99, 999 y 9999 por 19 podemos conjeturar que los números de la forma 10ⁿ-1 no son divisibles por 19.

 

Heurísticos para la fase de Ejecución

Es conveniente registrar todos los cálculos para cuando después se proceda a la revisión, así como resaltar los logros intermedios, para obtener una idea rápida de los pasos dados. Asimismo, es esencial actuar con orden, para no perder el hilo del plan, y con precisión, para evitar deducciones que a la hora de detallar resulten infructuosas. También es importante explicar el estado de la ejecución: qué se está ejecutando y por qué y qué se hará con el resultado de esa operación (factores metacognitivos asociados a la fase de ejecución).

 

Heurísticos para la fase de Verificación

- V1 Analizar la consistencia de la solución

 

Incluye:

 

Comprobar si se usan todos los datos pertinentes

 

Ver si la solución es razonable:

 

Situar el resultado, interpretándolo, en el contexto del problema.

 

Ver si la solución resiste ensayos de simetría, análisis dimensional, condiciones equivalentes o cambio de escala

 

Concretar en casos particulares

 

Analizar la posibilidad de reducir la solución a resultados conocidos

 

- V2 Expresar de otra forma la solución

 

Un ejemplo de este heurístico es la simplificación del resultado.

 

- V3 Analizar la consistencia del proceso

 

Incluye:

 

Evaluar la adecuación de la representación del problema

 

Describir esquemáticamente el trabajo

 

Puede ayudar a hacerse una idea global del proceso, con objeto de evaluarlo.

 

Analizar la corrección de cada paso

 

Justificar el procedimiento empleado.

Evaluar la conveniencia de cada estrategia

 

Analizar la consistencia de los resultados intermedios con los planes existentes y las condiciones del problema

 

- V4 Analizar si se puede llegar al resultado de otra manera

 

- V5 Generalizar

 

Incluye:

 

Ver si se puede utilizar la solución para generar algo conocido

 

Proponer generalización (método o resultado) informalmente

 

Proponer generalización (método o resultado) con ejemplos

 

Proponer generalización (método o resultado) formalmente

 

* Estos tres últimos son útiles cuando pretendemos ampliar el problema, lo que no suele ocurrir cuando hay limitaciones de tiempo. No se refieren a la posible generalización que se solicite en el enunciado.

 

Mi primera idea fue la de examinar los modos de resolver problemas como si de estilos heurísticos se tratara, es decir, tratando de diferenciarlos en función de los heurísticos empleados, pero esta idea cambió al percibir que, aunque importante, la diferenciación de heurísticos podía ser menos relevante que una diferenciación a tenor de aspectos de índole más general. A esto hay que añadir que el anterior listado de heurísticos no ha sido entendido a lo largo de este trabajo (ni creo deba en ningún caso entenderse) como una lista de comprobación, para ver si han sido empleados todos los heurísticos y puntuar en función de ello. No obstante, LA CONCEPCIÓN DE LAS FASES Y HEURÍSTICOS INMERSOS en el proceso de resolución de problemas me permitió llegar con profundidad a cada uno de los intrincados protocolos: EL ESTUDIO DE LOS HEURÍSTICOS EMPLEADOS POR CADA RESOLUTOR EN CADA PROBLEMA, EL GRADO DE CORRECCIÓN DE SU EMPLEO, ASÍ COMO SU PROPÓSITO, HAN SIDO EL PASO PREVIO AL ANÁLISIS DEFINITIVO DE CADA PROTOCOLO. De esta forma, fases y heurísticos han constituido etapas del camino hacia el instrumento de análisis que propiciaría posteriormente los MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS.

III.5. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE SEGUNDO ORDEN PARA EL ANÁLISIS DE LOS MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS

Aunque tras la eliminación de algunos factores por falta de información, EL INSTRUMENTO FINAL HA PARTIDO DE UN MACROCUADRO EN EL QUE CONSTATÉ 9 COLUMNAS.

1. La primera columna correspondió a mi listado de heurísticos y fases.

La concurrencia de esta columna fue del todo necesaria, toda vez que inicialmente, como acabo de mencionar, la investigación se centró bastante en el estudio de los heurísticos. También he tratado de aclarar su papel hasta el final de la misma.

 

2. La segunda columna fue la de los niveles SOLO [Structure of Observed Learning Outcomes] (Collis y Biggs, 1980):

- Preestructural: respuesta basada en detalles irrelevantes.

- Uniestructural: respuesta basada en un hecho concreto.

- Multiestructural: respuesta basada en unos cuantos detalles aislados.

- Relacional: se usa concepto integrador para relacionar detalles, quedando la conclusión ligada al contexto.

- Abstracto generalizado: se usan principios abstractos para interpretar la información concreta, generándose interrelaciones más allá del contexto e hipótesis que pueden generalizarse y comprobarse.

Estos niveles permitieron etiquetar globalmente los protocolos de resolución en función de la relevancia otorgada a cada una de las condiciones y de los datos de cada problema, sirviendo, por consiguiente, para la elaboración de una primera valoración de la resolución.

 

3. La tercera columna se refería al tipo de razonamiento (Hadamard, 1945):

- Lógico: paso a paso, justificando todo.

- Intuitivo: rápido, a veces precipitado.

Hadamard cita además (p. 108) la distinción que establece Poincaré entre las mentes matemáticas:

- Geométrica: enfoque visual o gráfico.

- Analítica: pensamiento verbal o lógico.

Es obvio que en ambas clasificaciones hay que considerar un tercer tipo, el armónico, que conjuga características de los otros dos.

A pesar de que en algunos protocolos fue posible esbozar alguna idea respecto a esta variable, su aplicación en esta investigación ha quedado reducida al modo de empleo de la intuición, y ello tan sólo de forma tangencial, como información adicional que, de pretender ser determinante, debería ser analizada con bastantes más problemas elegidos para tal fin.

 

4. La cuarta columna era concerniente al esquema que emplea Schoenfeld (1985) para el análisis de los protocolos:

-Lectura: anotar condiciones, anotar objetivos, evaluación del conocimiento real.

- Análisis: perspectiva elegida, relación condiciones-objetivos, coherencia.

- Exploración: dirigida por condiciones u objetivos, enfocada o no, control de progreso, coherencia.

- Plan-ejecución: relevancia del plan, pertinencia del plan, estructuración del plan, ejecución consecuente, consecuencias para la solución de la evaluación o no de la ejecución.

- Verificación: revisión de la solución, contraste de la solución, evaluación del proceso y del resultado.

- Transición: evaluación del estado actual de la resolución, salvación de lo valioso, evaluación de los efectos del nuevo camino.

- Información nueva y evaluación local: evaluación del estado actual de su conocimiento, evaluación relevante de la información nueva y consecuencias para la solución.

Este formato de análisis de Schoenfeld fue de gran importancia para la elaboración de la escala de valoración (que presentaré a continuación), ya que aporta metas específicas y detalladas.

 

5. La quinta columna pertenecía al tipo de decisiones de control (DeFranco, 1987):

- A. Se centra en recursos inútiles.

- B. Los recursos no son suficientemente explotados.

- C. Los recursos son cuidadosamente elegidos.

- D. No hay necesidad. Los recursos, hechos y procedimientos son accesibles.

- E. No hay necesidad. No son disponibles hechos y procedimientos y abandona.

Guardando gran paralelismo con los niveles SOLO, esta variable fue dando cuerpo a lo que luego sería el indicador referente a la coherencia y control del proceso (con una visión algo más amplia).

 

6. En la sexta columna situé las variables de tarea corrección, gusto, dificultad y rapidez.

La variable gusto se transformó en actitud usual ante la resolución de problemas, que posee más contenido que aquélla. Por su parte, la corrección es algo tan ambiguo que esta variable, de hecho, se transformó en muchas otras; puede decirse que las categorías Eficacia de la acción y Control de la acción (que se desarrollarán más adelante) no son más que una visión detallada de lo que puede entenderse por corrección. Por su parte, la dificultad aparece difuminada en indicadores como nivel de acabado de la solución y organización del conocimiento. En cuanto a la rapidez, se ha transformado en el indicador organización temporal, que incluye, más allá de la rapidez de la resolución, el control del tiempo y la actitud ante los límites de tiempo concedidos.

 

7. En la séptima puse las características personales conocimiento (organizado o no), experiencia, confianza, memoria, perseverancia, motivación y organización temporal.

Esta columna tuvo su plasmación en la categoría Características personales, agrupando confianza, perseverancia y motivación en actitud usual en la resolución de problemas, transformando experiencia en hábito de enfrentarse a problemas matemáticos y dejando los demás tal cual, con la salvedad de que organización temporal se pasó a la categoría Control de la acción.

 

8. La octava columna estuvo dedicada a las habilidades cognitivas (Monereo et al., 1993):

- Observar y comparar.

- Ordenar y clasificar.

- Representar.

- Retener y recuperar.

- Interpretar e inferir.

- Transferir.

- Evaluar.

Estas habilidades actuaron de complemento a la lista de heurísticos y a la hora de diseñar los indicadores de la categoría Eficacia de la acción.

 

9. Y, finalmente, la novena columna fue para las habilidades matemáticas (Krutetskii, 1976):

- Obtención de información matemática: capturar la estructura del problema.

- Procesamiento de información matemática: razonar con símbolos matemáticos y relaciones espaciales; generalizar objetos, relaciones y operaciones; reducir el proceso de razonamiento; tener flexibilidad de procesos mentales; procurar claridad, simplicidad, economía y racionalidad de las soluciones; poseer capacidad para la reversibilidad del proceso mental.

- Memoria matemática: retener información matemática.

Para poder aportar conclusiones medianamente significativas respecto de estas habilidades es preciso disponer de protocolos de problemas muy diversos y en gran cantidad, lo que no encajaba en el diseño de este trabajo. No obstante, han servido como subindicadores o información adicional, habitualmente inexistente, de los indicadores organización del conocimiento, obtención de una representación significativa, eficacia y adecuación de la ejecución y nivel de acabado de la solución.

 

 

Asimismo, tanto para la elaboración de la escala de valoración como para el diseño de la entrevista posterior a cada problema (ver III.6.), me fue útil el trabajo que sobre metacognición y resolución de problemas desarrollaron Fortunato et al. (1991), quienes llevan a cabo un ESTUDIO CUANTITATIVO SOBRE LA ACTIVIDAD COGNITIVA de alumnos de Secundaria en base al posicionamiento de éstos en relación con 21 enunciados (llamados por ellos enunciados metacognitivos), divididos según fases del proceso de resolución, entre los que cabe citar:

"1. Leí el problema más de una vez...

10. Lo comprobé paso a paso...

16. Pensé en una forma diferente de resolver el problema...

20. Me sentí confuso y no pude decidir qué hacer..." (p. 39).

 

Por otra parte, aunque tampoco directamente aplicable y con un grado menor de influencia (debido a la falta de coincidencia de objetivos), el ESTUDIO (CUANTITATIVO) DE FOXMAN Y JOFFE (1989) SOBRE EVALUACIÓN DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GRUPO (de alumnos de final de Primaria) fue considerado inicialmente. Ellos valoran la interacción social, la estrategia general empleada, los argumentos matemáticos, las extensiones del problema, la comunicación en el grupo, la comunicación con el evaluador y las actitudes. EMPLEAN PARA ELLO UNA ESCALA DESCRIPTIVA, como la que se utiliza en este trabajo, de 4 valores y además algunos de los aspectos acabados de reseñar poseen subescalas.

A continuación presento el ESQUEMA COGNITIVO-METACOGNITIVO PARA EL ESTUDIO DE LA ACTUACIÓN MATEMÁTICA DE GAROFALO Y LESTER (1985, p. 171). Comprende cuatro categorías de actividades involucradas en la actuación en tareas matemáticas: orientación, organización, ejecución y verificación. Es de ESPECIAL RELEVANCIA, porque en este estudio presento también un esquema cognitivo-metacognitivo y porque contribuyó a la formulación de los niveles de cada indicador.

ORIENTACIÓN: Conducta estratégica para determinar y comprender un problema

 

A. Estrategias de comprensión

B. Análisis de la información y las condiciones

C. Valoración del grado de familiaridad con la tarea

D. Representaciones inicial y subsiguientes

E. Valoración del nivel de dificultad y posibilidad de éxito

 

ORGANIZACIÓN: Planificación de la conducta y elección de acciones

A. Identificación de metas y submetas

B. Planificación global

C. Planificación local (para llevar a cabo planes globales)

 

EJECUCIÓN: Regulación de la conducta para ajustarla a los planes

A. Ejecución de las acciones locales

B. Supervisión del progreso de los planes locales y globales

C. Decisiones "contorno" (p.ej. rapidez contra seguridad, grado de elegancia)

 

VERIFICACIÓN: Evaluación de las decisiones tomadas y de los resultados de los planes ejecutados

A. Evaluación de la orientación y la organización

1. Adecuación de la representación

2. Adecuación de las decisiones organizativas

3. Consistencia de las planificaciones locales con las globales

4. Consistencia de las planificaiones globales con las metas

B. Evaluación de la ejecución 1. Adecuación de la ejecución de las acciones

2. Consistencia de las acciones con los planes

3. Consistencia de los resultados locales con planes y condiciones del problema

4. Consistencia de los resultados finales con las condiciones del problema

 

Asimismo, para la elaboración de la ya mencionada escala de valoración, me fue de utilidad lo que llamo Perfil del buen resolutor, algo que también diseñé a lo largo de este trabajo (resultado de estudios teóricos y de incorporaciones provenientes de análisis de protocolos de profesores y alumnos, así como de un proceso de introspección) como imprescindible meta explícita a la que se debería dirigir la instrucción en resolución de problemas (no sólo para alumnos, sino para resolutores en general):

Perfil del buen resolutor

Si bien es cierto que hay una amplia gama de modos de resolución de problemas, no es menos cierto que existen determinadas características que son, por lo general, comunes a aquéllos que se enfrentan de una forma más eficaz a problemas.

 

Poseen:

a) un conocimiento organizado,

b) procedimientos para representar y transformar el problema y

c) un buen sistema de control para guiar la selección de conocimientos y procedimientos.

 

Así, pues, el buen resolutor:

- emplea estrategias de comprensión u orientación, como:

organizar la información,

ejemplificar,

expresar en otros términos,

 

- con idea de desarrollar representaciones significativas (no basadas en la información sintáctica y en los detalles de contexto) del problema,

 

- procura tener constancia de lo que sabe (condiciones del problema), lo que quiere (tesis del problema) y lo que puede usar (estado de su conocimiento relativo a la tarea),

 

- efectuando una evaluación del nivel de dificultad del problema y de las posibilidades de éxito.

 

- Para todo ello,

profundiza en el sentido de palabras o frases del enunciado,

se interroga sobre la dimensión, el tamaño o la cantidad de datos,

mira a ver si es un problema tipo,

es consciente de si sabe qué hacer para resolverlo,

compara con los problemas resueltos con anterioridad.

 

- Emplea estrategias de planificación u organización, como:

simplificar,

estimar,

buscar regularidades con intención de generalizar (probablemente a través del tanteo, aleatorio o sistemático),

considerar problemas equivalentes,

argüir por contradicción,

asumir la solución,

partir de lo que se sabe,

planificar jerárquicamente la solución,

descomponer el problema,

explorar problemas similares,

conjeturar,

 

- con idea de

identificar las metas,

conseguir un plan global y

obtener la correspondiente planificación local para aplicar el plan global.

 

- Para ello,

se hace una idea de lo que pretende el problema,

se hace una idea de lo que puede ser útil para resolver el problema,

prueba antes de introducirse en la ejecución,

 

- en suma: gestiona sus recursos antes de ejecutar acciones específicas y su decisión, aun pudiendo ser incorrecta, es coherente.

 

- Regula la ejecución

registrando todos los cálculos,

resaltando los logros intermedios,

actuando con orden y precisión,

 

- con idea de

poder hacer una valoración de las acciones locales,

controlar el progreso y la consistencia de los planes locales,

imponer seguridad, elegancia, etc.

 

- Para ello,

es cuidadoso con la ejecución,

es consciente de la complicación, yendo paso a paso,

se percata de cuándo el método no funciona,

explicita los pasos,

explica el estado de la ejecución (qué se está ejecutando, por qué y qué se hará con el resultado de esa operación),

no pierde la perspectiva del problema cuando se dedica a los cálculos.

 

- Utiliza estrategias de verificación, regulación, monitorización, evaluación o control, como:

analizar la consistencia de la solución,

expresar de otra forma la solución,

analizar la consistencia del proceso,

analizar si se puede llegar al resultado de otra manera,

generalizar,

 

- todas ellas encaminadas a controlar y mejorar la resolución del problema, no centradas exclusivamente en el análisis o comprobación de la solución, por lo que suponen de evaluación de:

la comprensión y la planificación y

de la ejecución,

 

- con idea de

obtener una adecuada representación del problema,

disponer de unas decisiones organizativas adecuadas,

ser consistentes los planes locales con los globales,

ser consistente los planes globales con las metas,

comprobar los resultados de las acciones locales,

ser consistentes los resultados intermedios con los planes existentes y las condiciones del problema,

ser consistentes los resultados finales con las condiciones del problema.

 

- Para ello,

analiza si ha sido cuidadoso,

comprueba sus pasos,

supervisa el plan cuando no está seguro de que sea el apropiado,

profundiza en la comprensión del problema, sobre todo si no está seguro de haberlo entendido completamente,

evalúa la dimensión o el tamaño de la solución.

 

- En los momentos de transición, abandonado un camino, procura salvar lo valioso de él.

 

*En definitiva, el buen resolutor

es conocedor (aspecto metacognitivo) de las estrategias que ayudan en la comprensión, planificación, ejecución, verificación y transición,

tiene una buena organización temporal,

está motivado,

es perseverante,

tiene confianza en sus posibilidades,

retiene información matemática, disponiendo de un conocimiento organizado,

es capaz de razonar con símbolos matemáticos y relaciones espaciales,

posee flexibilidad en sus procesos mentales,

procura claridad, simplicidad, economía y racionalidad en sus razonamientos y soluciones,

dispone de capacidad para la reversibilidad de los procesos mentales y

elige cuidadosamente los recursos, empleando un concepto integrador para relacionar detalles o principios abstractos para interpretar la información concreta.

 

 

La necesaria acotación y viabilidad de este estudio condujo, tras un proceso que se explicará al final del capítulo, a la elaboración del instrumento definitivo. Dicho instrumento, que a continuación se incluye, consta de 3 categorías, cada una de las cuales posee sus propios indicadores. Ahora bien, lo que hace más operativo el instrumento es la escala de valoración que sigue a las categorías, consistente en 5 niveles de consecución (creciente) de cada indicador, lo que permite detallar en profundidad el análisis. La escala aporta asimismo, tomando los niveles 5, el perfil que considero deseable (en función de los indicadores tenidos en cuenta) para un resolutor de problemas (sería el Perfil del buen resolutor adaptado a cada indicador).

ESQUEMA COGNITIVO-METACOGNITIVO DE EVALUACIÓN EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS [21]

* CATEGORÍAS E INDICADORES PARA LA OBTENCIÓN DE PERFILES DE RESOLUTORES [22]

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos. (Incluye la comparación con el enfrentamiento a ejercicios y las circunstancias en que se enfrenta a los problemas)

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

1.4.2. Confianza en sí mismo. (Incluye el efecto sobre la RP del hecho de que un problema corresponda o no a una parte de la matemática que le dé confianza)

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas. (Incluye la retención de información matemática)

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

 

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa. (Incluye la captura de la estructura del problema)

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación. (Puede aportar datos el empleo de la intuición)

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución. (Puede aportar datos el empleo de la generalización de objetos, relaciones y operaciones y razonamiento con símbolos matemáticos y relaciones espaciales)

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2.5. Nivel de acabado de la solución. (Incluye la claridad, simplicidad, economía y racionalidad de las soluciones -fundamentación del proceso-)

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa. (Incluye el contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento)

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

3.4. Coherencia y control del proceso. (Incluye el control de progreso hacia las metas establecidas, el tipo de decisiones de control y la importancia otorgada al control del proceso)

3.5. Organización temporal.

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general. (Incluye el conocimiento de estrategias de resolución de problemas y las características que se le supone a un experto en la misma)

 

* ESCALA DE VALORACIÓN

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

 

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

 

1) El enfrentamiento a situaciones problemáticas en las que se está siendo observado supone un bloqueo insalvable.

2) Provoca nerviosismo y desconfianza, repercutiendo negativamente en su comportamiento.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

4) Supone un elemento de distorsión que supera con facilidad.

5) No afecta a su comportamiento.

 

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

 

1) Trata de olvidarlos.

2) Los afronta en solitario. Si necesita ayuda, puede incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución).

3) Los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

4) Recaba ayuda e información para afrontarlos preferentemente en solitario.

5) Recaba ayuda e información y tiene una buena predisposición para afrontarlos en equipo.

 

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

1) Existen pocos motivos que le impulsen al abordaje de algún problema, que, si acaso, sería en solitario, aunque prefiere los ejercicios.

2) El abordaje de problemas, casi siempre en solitario, suele estar motivado por causas ajenas a la docencia o la investigación. Aunque, de hecho, no suele enfrentarse a problemas, le atraen más que los ejercicios.

3) El abordaje de problemas es esporádico y está motivado por la necesidad docente y/o investigadora y, en su caso, el divertimiento, normalmente en solitario. Alterna el enfrentamiento a problemas con ejercicios, atrayéndole más aquéllos.

4) El abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimiento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso.

5) El enfrentamiento a problemas es habitual en su quehacer docente y/o investigador, o como divertimiento, alternando el abordaje individual con el grupal. El enfrentamiento a ejercicios proviene casi exclusivamente de la necesidad que emana del abordaje de los problemas.

  

 

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

 

1.4.1. Predisposición.

 

1) Su predisposición usual ante la resolución de problemas es de total indiferencia, por lo que no muestra interés ni por el resultado ni por el proceso de resolución.

2) Cuando se enfrenta a problemas, suelen aparecer miedos, complejos, desánimo y ganas de abandonarlos, lo que en ocasiones provoca grandes lagunas de concentración y de efectividad en el abordaje de los mismos.

3) Al enfrentarse a situaciones problemáticas, aparecen miedos y ganas de abandonarlas, pero se van superando progresivamente, lo que supone una paulatina concentración en la resolución de las mismas.

4) La predisposición usual ante un problema es de curiosidad, mostrando interés tanto en el resultado como en su posible abordaje, abandonando en contados casos.

5) La predisposición habitual ante un problema es de entusiasmo, produciéndole satisfacción el simple hecho de enfrentarse a él, incluso aunque no logre una solución.

 

1.4.2. Confianza en sí mismo.

 

1) No posee ni la más mínima confianza en sus posibilidades cuando se enfrenta a verdaderos problemas, suponiendo ya de entrada que está imposibilitado para su resolución, lo que en ocasiones le lleva a abandonarlos precipitadamente.

2) Posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver el problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

3) Tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

4) Confía bastante en sus posibilidades y en que el problema no se le resista. La inseguridad que a veces muestra cuando se enfrenta a problemas que caen en áreas que no domina le lleva a intentar abordarlos usando otros procedimientos.

5) Tiene gran confianza en sus posibilidades, abordando el problema casi con la certeza de que será capaz de aportar conclusiones importantes. Cuando un problema cae en un área que no domina, pone en marcha un programa de atención al uso de procedimientos alternativos.

 

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

 

1) Muestra una falta de conocimiento a nivel elemental, a veces comparable al que pueden mostrar sus alumnos.

2) Muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

3) Alterna conocimiento organizado con desorganizado, por lo que la aplicabilidad de sus conocimientos es variable.

4) Suele mostrar un conocimiento organizado y accesible, capaz de relacionar diferentes aspectos. Dispone de una considerable retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos.

5) Su conocimiento es organizado y accesible, pudiendo abordar una situación con soltura y desde varios enfoques. Es muy completa su retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos, teniendo una memoria generalizada para relaciones, características de tipo, esquemas de argumentos y pruebas, métodos de resolución de problemas y principios de aproximación.

 

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

 

1) La memoria desempeña un papel imprescindible, produciéndose un bloqueo total si falta.

2) El papel de la memoria es imprescindible, provocando su ausencia inseguridad y falta de motivación.

3) La memoria es necesaria, efectuándose en su ausencia la búsqueda de un procedimiento alternativo de forma insegura.

4) La memoria es útil; su falta se tratará de solventar con procedimientos alternativos.

5) La memoria es útil; los procedimientos alternativos serán origen de posibles conexiones y/o profundización en algunos conocimientos.

 

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

 

2.1. Obtención de una representación significativa.

 

1) En absoluto se suele hacer con el problema, no comprendiendo para nada la situación planteada, la cual le resulta totalmente ajena o extraña. Al no captar la estructura del problema, es incapaz de separar su razonamiento de la forma en que el problema es presentado (a veces, incluso, ni se lo plantea).

2) La estructura del problema es captada ocasionalmente, normalmente de forma parcial, es decir, es capaz de formular algo de la situación planteada con sus propias palabras, pero carece de comprensión de la mayor parte, y su razonamiento no es, ni mucho menos, abstracto.

3) La comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

4) Obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

5) Obtiene una representación altamente significativa de la situación, permitiéndole entrar con esperanza de éxito en la planificación, tras formular el problema en sus propios términos. Por consiguiente, suele capturar perfectamente la estructura del problema, obteniendo normalmente la información matemática subyacente en el enunciado. Abstrae, pues, a partir de las relaciones concretas, hacia estructuras formales.

 

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

 

1) La planificación es prácticamente inexistente.

2) Existe un atisbo de planificación, aunque irrelevante para la resolución.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

4) La planificación está bien estructurada, teniendo sólo alguna falta de relevancia o pertinencia para la situación sin demasiada importancia para la resolución.

5) La planificación está bien estructurada, es relevante y pertinente para la situación.

 

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

 

1) La ejecución no es en absoluto eficaz, bien por su inexistencia, bien por su falta de coherencia con la planificación.

2) La ejecución es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

3) La ejecución es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

4) La ejecución es consecuente con la planificación, centrando su eficacia en la aportación de resultados aprovechables para la obtención de logros intermedios o permitiendo resolver parcialmente el problema. Es posible asimismo que facilite la solución global de la situación, aunque a partir de un buen número de errores de cálculo.

5) La ejecución es consecuente con la planificación, mostrando su eficacia en la aportación de resultados de importancia y trascendencia para la resolución de la situación planteada, pudiendo tener sólo algún pequeño fallo de cálculo que apenas le resta eficacia.

 

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

 

1) No utiliza la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

3) Revisa cálculos y proceso, pero falta profundidad al menos en uno de ellos.

4) Revisa cálculos y proceso de forma adecuada, teniendo presente la coherencia de la ejecución con la planificación. No obstante, pueden existir lagunas en la revisión de los cálculos, pues no les otorga demasiada importancia.

5) La revisión es profunda y aparece continuamente a lo largo del proceso, indagando incluso en posibles hipótesis implícitas.

 

2.5. Nivel de acabado de la solución.

 

1) Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

2) Obtenida una solución, tan sólo intenta simplificarla (lo que supone una manipulación exclusivamente con la parte final de la ejecución) o expresarla de otra forma. En raras ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

3) Cuando obtiene una solución, intenta simplificarla y expresarla en otros términos. Puede plantearse otras formas de solución, pero no suele pasar de la intención. Alterna las ocasiones en las que se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso) con otras en las que no.

4) Tras obtener una solución, trata de llegar al resultado de otra manera y se plantea si la solución es razonable. En gran parte de las ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

5) Tras obtener, simplificar y, quizás, expresar en otros términos una solución, trata de llegar al resultado de otra manera, efectuando un planteamiento continuo sobre la razonabilidad de los resultados que va obteniendo. Se observa constantemente claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

 

 3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

 

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

 

1) Nula, lo importante es saber aproximadamente de qué va y pasar rápidamente a la ejecución. No hay contraste inicial entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento, el abordaje es inmediato y a ciegas.

2) Escasa, le cuesta trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

3) Alguna, aunque se impacienta si le supone mucho tiempo y se introduce en otra fase. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento existe, pero repartido a lo largo del proceso, aunque con más intensidad al comienzo de la resolución.

4) Bastante, aunque no lo lleve a cabo de una sola vez al principio, pudiendo quedar algo suelto. Hay un contraste detallado en el momento adecuado entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento.

5) Es consciente de que la inversión en la obtención de una representación significativa es rentable y no pasa a otra fase hasta que la haya conseguido. Hay un contraste pormenorizado, entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento, y búsqueda de información pertinente.

 

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

 

1) El resolutor no concede ninguna importancia a la planificación, pensando que probablemente incluso una ejecución desorganizada puede aportar la solución.

2) La importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

3) El resolutor concede importancia a la planificación. No obstante, a veces se ve impulsado a no profundizar en ella, precipitándose en la elección de un plan.

4) Para el resolutor la fase de planificación es importante y debe quedar cerrada al comienzo de la resolución, pensando que no debe pasarse a la ejecución sin tenerla clara. En ocasiones se observa cierto anquilosamiento en la planificación obtenida, centrando la búsqueda de posibles errores en la fase ejecutiva.

5) El resolutor piensa que la resolución de un problema puede depender en gran medida de una buena planificación, por lo que le otorga gran importancia y piensa que debe volverse a ella siempre que lo requiera el proceso, siendo, por tanto, consciente de que los posibles errores en el proceso, además de hallarse en la ejecución, pueden estar también en el plan diseñado.

 

 

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

 

1) No aclara en todo el proceso el estado de la ejecución.

2) La explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

3) La explicitación del estado de la ejecución tiene una frecuencia moderada, pero suele predominar lo narrativo sobre lo explicativo.

4) Explicita frecuentemente el estado de la ejecución, alternando lo narrativo con lo explicativo.

5) La explicitación del estado de la ejecución es muy frecuente y natural dentro de la propia ejecución, aclarando las razones por las que está llevando algo determinado a cabo, qué hará con ese resultado en ciernes y qué está haciendo exactamente.

 

3.4. Coherencia y control del proceso.

 

1) El proceso carece de toda coherencia, dando la impresión de estar compuesto por piezas de distintos rompecabezas. La resolución carece de cualquier intento de organización. No explota en absoluto los recursos. No concede importancia alguna o concede muy poca al control del proceso; le resulta algo totalmente ajeno a sus tareas previsibles dentro del proceso de resolución de un problema.

2) La coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

3) La coherencia y la organización se pierden y se vuelven a recuperar a lo largo del proceso, teniendo éste, por tanto, partes que corresponden a la idea general en distintas fases del proceso de resolución. En raras ocasiones existe un planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. En general, los malos planteamientos son cortados antes de enfrascarse en ellos, pero los recursos no son suficientemente explotados. Le concede cierta importancia al control del proceso, pensando que puede tener algo de influencia en la correcta resolución de un problema.

4) El proceso es bastante coherente y la organización es bastante frecuente, existiendo sólo algún momento sin demasiada importancia en que se note incoherencia y pérdida del control del proceso. El planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas tiene una frecuencia moderada. Los recursos son, por lo general, cuidadosamente elegidos y explotados. Le concede bastante importancia al control del proceso, pensando que puede influir bastante en la resolución del problema.

5) El proceso es totalmente coherente y está completamente organizado, manteniéndose una misma guía a lo largo de todo él. Hay un planteamiento adecuado de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. Las decisiones de control son una fuerza positiva en la resolución. Los recursos son cuidadosamente elegidos y explotados o abandonados apropiadamente como resultado de un control cuidadoso. Le concede una importancia vital al control del proceso, pensando que puede ser determinante de una correcta resolución del problema.

 

3.5. Organización temporal.

 

1) La limitación temporal le supone un bloqueo insalvable o bien, por el contrario, no es en absoluto un factor que tenga en cuenta a lo largo de la resolución de un problema, abordando el mismo sin hacer valoración alguna de la inversión de tiempo que le pueda suponer llevar a cabo una estrategia determinada. Esto puede suponer que el plazo dado para la resolución le sobrevenga repentinamente, sin haberle sacado partido a algunos enfoques del problema.

2) Tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

3) Tener un plazo definido de tiempo le supone nerviosismo. Aunque es capaz de ejecutar un plan determinado, puede perder la noción del tiempo en algunos momentos.

4) Procura dominar el factor tiempo, interrogándose con una frecuencia moderada sobre la relación entre los resultados que va obteniendo y el tiempo invertido. Su aspecto negativo puede estar en la falta de visión global, contentándose con resultados parciales.

5) La existencia de un plazo determinado de tiempo no le produce agobios, pues es consciente de que cada fase de la resolución precisa de cierta inversión de tiempo. Por otra parte, procura obtener resultados importantes dentro de dicho plazo, aunque esto suponga dejar alguna justificación sin importancia para el final. En fin, se planifica la resolución para lograr conclusiones relevantes dentro del tiempo dado.

 

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

 

1) No tiene constancia de estrategias de RP o conoce muy pocas. Tampoco tiene constancia de su utilidad en la resolución ni de ningún otro aspecto relevante.

2) Conoce algunas estrategias de RP. La constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

3) Su conocimiento de estrategias de RP, así como la constancia de su utilidad, son aceptables, pudiendo tener alguna idea de la existencia de otras variables que influyen en la resolución de problemas.

4) Conoce bastantes estrategias de RP, siendo consciente de su utilidad, así como del papel que pueden desempeñar las estrategias de control. Es asimismo consciente de la existencia de otras variables.

5) Tiene constancia de un completo repertorio de estrategias de RP y es consciente del papel que desempeñan en una buena resolución. Considera importante disponer de estrategias de control de la acción y de un conocimiento organizado e incluso piensa que en toda resolución pueden influir variables externas (afectivas, sociales, etc.).

 

Asimismo, DESCARTÉ APLICAR EN ESTE TRABAJO INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN BASADOS FUNDAMENTALMENTE EN EL DETALLE EXHAUSTIVO DE HABILIDADES COGNITIVAS ESPECÍFICAS DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, claramente apropiados para evaluar la capacidad de resolver problemas de los alumnos. Entre ellos destacaría Mathematics. General reference y Mathematics. Putting it into practice (OCEA, 1987a,b), donde es posible encontrar un modelo de evaluación adaptado a lo que los autores consideran que es necesario adquirir en la Etapa 12-16 en lo que concierne a resolución de problemas. Las ideas más relevantes del mencionado modelo, en el que se especifican, por poner un ejemplo, algunas relativas al cálculo o a la medida, junto a otras de índole más general, concernientes a cada una de las fases de resolución de problemas, se presentan en las páginas 19-23 de Putting it into practice y 9-23 de General reference (Introducción al Modelo de Evaluación), y en las páginas 153-164 de Putting it into practice (Materiales para evaluar).

No obstante, esto no quiere decir que las habilidades deseables en los alumnos no sean trasladables en cierta medida a los profesores, o a un resolutor en general [23]. De hecho, ya he citado la obra de Krutetskii (1976), junto a la cual es de reseñar la de Suydam (1980), como fuentes del instrumento aplicado en este trabajo.

SUYDAM SEÑALA

- el alto coeficiente intelectual,

- la habilidad a la hora de razonar,

- la buena comprensión,

- la habilidad en el cálculo y

- la aptitud espacial

 

como características comunes entre los buenos resolutores. A éstas, añade la siguiente lista, confeccionada a partir de Dodson (1971), Hollander (1974), Krutetskii (1976), Robinson (1973), Suydam y Weaver (1977) y Talton (1973):

"1. Habilidad para comprender conceptos y términos matemáticos

2. Habilidad para detectar parecidos, diferencias y analogías

3. Habilidad para identificar elementos críticos y seleccionar procedimientos y datos correctos

4. Habilidad para detectar detalles irrelevantes

5. Habilidad para estimar y analizar

6. Habilidad para visualizar e interpretar hechos y relaciones cuantitativas o espaciales

7. Habilidad para generalizar a partir de unos cuantos ejemplos

8. Habilidad para cambiar de método sobre la marcha

9. Alta autoestima y confianza, con buenas relaciones con otros niños

10. Baja ansiedad" (p. 36) [24].

 

Es fácil apreciar que, sobre todo, los elementos 3, 4, 9 y 10 han sido tenidos en cuenta a la hora de confeccionar el instrumento de segundo orden para el análisis de los modos de resolver problemas.

EN CUANTO A LA ESCALA DE VALORACIÓN EMPLEADA EN ESTE TRABAJO, PUEDE VERSE UNA PARECIDA EN MALONE ET AL. (1980), AUNQUE REFERIDA A LA RESOLUCIÓN EN SU TOTALIDAD. En concreto, la escala (pensada para alumnos) es la que figura en el cuadro 16.

Parecida a esta escala, aunque diferenciando 3 fases en el proceso de resolución, es la que presentan CHARLES ET AL. (1987), los cuales CONSIDERAN 3 NIVELES (DE HECHO: NADA, ALGO, TODO) PARA LA COMPRENSIÓN Y LA PLANIFICACIÓN, Y 4 NIVELES PARA LA CONSECUCIÓN DE UNA RESPUESTA, niveles que se corresponden con puntos que obtendría el alumno, como es aplicado por Lambdin et al. (1992) para calificar resolución de problemas en grupos.

En la misma línea, ES MUCHO MÁS DETALLADO EL TRABAJO DE SCHOEN Y OEHMKE (1980). Hacen referencia a la codificación empleada para valorar la capacidad de resolver problemas de alumnos de Primaria. Consideran las 4 fases de Pólya (1934) y confiesan

"no haber sido capaces de encontrar una forma adecuada de comprobar la habilidad del estudiante a la hora de elegir una estrategia de resolución de problemas, paso 2 del modelo de 4 fases." (p. 218).

 

AÑADEN 4 NIVELES DE CONSECUCIÓN PARA EL PASO 3 (EJECUCIÓN), CADA UNO DE ELLOS DESCRITO AMPLIAMENTE DE FORMA CUALITATIVA (cuadro 2, p. 222).

El cuadro 17 condensa de forma esquemática los instrumentos que han concurrido en la elaboración del instrumento de 2º orden para el análisis de los modos de resolver problemas.

III.6. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE PRIMER ORDEN PARA LA OBTENCIÓN DE DATOS RELATIVOS A LOS MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS

Este instrumento consta a su vez de varios instrumentos, cuales son los propios problemas, el guión de la entrevista posterior a cada problema y el cuestionario sobre las estrategias personales.

El primer instrumento desarrollado fue un banco de problemas (compuesto por 106 problemas), del que surgieron 5 baterías iniciales, compuesta cada una de ellas por 3 problemas. Los problemas de estas baterías fueron resueltos por individuos ajenos a la tesis, lo que ayudó a seleccionar 3 con el objetivo de servir de entrenamiento a los 9 resolutores de la tesis. A esos 106 problemas iniciales hay que añadir 18 problemas a la hora de seleccionar los nº 1 y nº 2, y 14 problemas a la hora de elegir el tercer problema.

Objetivo primordial de presentar una batería previa, cuyo análisis no formaría parte del cuerpo de este estudio, era que no se enfrentaran por primera vez a un problema con instrucciones parecidas cuando les presentara el problema nº 1 de esta investigación. No quería instruirlos en resolución de problemas, pero sí quería que fueran lo más explícito posible en sus protocolos, por lo que insistí en las instrucciones, pero no les comenté sus procesos de resolución. Es más, algunos me pidieron más tiempo y lo tuvieron, y otros no controlaron el tiempo, pues no los resolvieron de corrido, sino intercalando incluso momentos de reflexión relajada durante un paseo o durante la realización de alguna tarea manual. Todo ese margen concedí con el único propósito de que se volvieran a encontrar con la resolución de problemas. Los 3 problemas fueron los que siguen:

Batería previa de problemas

1.- Tengo en la cabeza un número tal que si cambias de posición el dígito de las unidades y lo colocas al principio, da el mismo resultado que si multiplicas el número original por 2. ¿Te estoy diciendo la verdad?

 

2.- Desde un punto exterior a un círculo, P, traza las tangentes a éste, que tocarán la circunferencia en dos puntos, Q y R. ¿Qué relación existe entre el área de la parte del triángulo PQR que queda fuera del círculo y la que queda dentro?

 

3.- Por fin ha llegado el día del gran golpe. En sus pensamientos domina la ilusión de conseguir unos preciosos lingotes de oro. Cada componente ha estudiado y aprendido perfectamente su papel. Suben ya todos a la furgoneta que, con suma precaución, se dirige al Gran Banco. El conductor aparca cerca de la puerta. En pocos minutos el blanco del mármol hace juego con los rostros de clientes y empleados. La fuga comienza y suena, cada vez más tenue, la alarma del banco. No hay que lamentar daños personales físicos, pero el botín robado es bastante elevado. La indignación surge en la población y todo el mundo se pregunta: "¿Serán alcanzados por la policía antes de llegar a la frontera?"

 

Intenta resolver la cuestión planteada.

 

Esta batería iba precedida de las siguientes

INSTRUCCIONES

A la hora de intentar resolver los problemas de la batería, debes tener en cuenta las indicaciones siguientes:

 

1) Una vez que hayas abierto el sobre con los tres problemas de la batería, dispones a lo sumo de 3 horas para la resolución.

2) Has de intentar resolver los tres problemas de la batería.

3) Tienes que grabar en la cinta magnetofónica tus razonamientos y argumentaciones en voz alta, así como tu estado anímico y el sentimiento hacia el problema en cada fase significativa de su resolución (aversión/inclinación, nerviosismo/tranquilidad, ...).

4) Lo primero que debes registrar en la cinta es tu nombre, fecha y hora de comienzo, así como una breve descripción del lugar de trabajo.

5) No tienes que grabar la ejecución de tus planteamientos, aunque sí registrarla en el papel, apuntando al margen la hora de comienzo y de finalización. Durante este período la grabadora debe estar parada, funcionando inmediatamente después de la finalización de los cálculos hasta la siguiente fase ejecutiva.

6) Debes o bien grabar o bien apuntar en el papel las lecturas iniciales del enunciado.

7) No has de olvidar nunca que la idea es que todo lo que pase por tu mente y todo lo que te afecte mientras estás resolviendo los problemas tiene que quedar registrado, ya sea en la cinta, ya sea en el papel.

8) No dispones de papel borrador, interesa todo lo que escribas y pienses.

9) Infórmame si algún problema has oído enunciar o resolviste algún día, pero intenta resolverlo de nuevo, a menos que conozcas su resolución.

 

 

Ahora bien, ¿qué tipo de problemas debían ser planteados a los sujetos en este estudio? Pues bien, siendo consciente del habitual alejamiento de la resolución de problemas por parte de los profesores, no me pareció oportuno proponer problemas mal estructurados (en el sentido de Fredericksen, 1984 -ver epígrafe III.2.), pues podían provocar rechazo y ausencia de resolución. Siguiendo de nuevo a Fredericksen, tampoco estimé conveniente proponer problemas de aplicación de algún algoritmo, pues este trabajo no se centra en constatar la disponibilidad del conocimiento mecánico; por consiguiente, LOS PROBLEMAS DEBÍAN SER ESTRUCTURADOS REQUIRIENDO UN RAZONAMIENTO PRODUCTIVO.

Es evidente que los dos primeros problemas se ajustan a estos criterios, mientras que el tercero no. En esos momentos no quise descartar la posibilidad de que situaciones problemáticas como la tercera ofrecieran la posibilidad de obtener información significativa, pero los 9 resolutores aportaron poca o escasa información respecto a este problema, lo que me determinó a excluir este tipo.

Mientras que la batería previa fue entregada y recogida al cabo de unos días, cada uno de los 3 problemas definitivos fue abordado por cada resolutor en el momento de entregarse, y recogido en ese mismo momento. A continuación vienen los 3 problemas tal como fueron entregados a cada individuo:

PROBLEMA Nº1

 Nota: A partir de este momento dispones de 40 minutos, a lo sumo. Cada 5 minutos, el avisador emitirá un sonido, oído el cual debes hacer inmediatamente una señal en el margen derecho, reservado a tal efecto.

 PROBLEMA Nº2 

2.- Un maniático entrenador de fútbol decidió cambiar los números de las camisetas de los 11 jugadores de campo, pues no podía soportar que dos grupos de dorsales sumaran lo mismo.   (Por ejemplo, numerados del 1 al 11 los dorsales, los grupos {1,2} y {3} suman lo mismo, o los grupos {2,10} y {3,9})   Así, pues, dijo a sus jugadores que cada uno escogiera un número, diferente a los de los demás, del 1 al 1000 (sólo naturales).   Al principio todo fue muy bien, pero, de repente, se dio cuenta de que se podían formar dos grupos distintos de dorsales de manera que sumaran lo mismo. Pálido por el descubrimiento de tal hecatombe, solicitó a sus jugadores que eligieran nuevos números del 1 al 1000, pensando que todo había sido una mala jugada del destino, pero ¡cuál fue su sorpresa! cuando, en el transcurso del siguiente partido, observó que ocurría lo mismo.   ¿Puedes dar alguna explicación al aprensivo entrenador?

 PROBLEMA Nº3 

3.- ¿Qué números son tales que, si le colocas cualquier número entero delante, el número resultante es divisible por el original?   (Se entiende que un número a es divisible por otro b si a/b es un número entero.   Por ejemplo: 5 es uno de los números buscados:   83415 es divisible por 5, 1525 es divisible por 5.   En general, "w5" es divisible por 5 cualquiera que sea el entero w)

(Obviamente, cada problema iba precedido de la nota incluida antes del enunciado del problema nº1, y se entregaba asimismo a cada resolutor un reloj-avisador y 4 folios con el margen derecho marcado por una línea vertical, donde, como indica la nota, debían hacer los trazos temporales.)

Como puede observarse, LOS PROBLEMAS PROPUESTOS ESTÁN INMERSOS EN EL UNIVERSO MATEMÁTICO; aunque el segundo de ellos se plantea en un contexto "real", dicho contexto no es relevante en su resolución. Por otra parte, DOS DE ELLOS SON NUMÉRICOS Y EL OTRO GEOMÉTRICO.

El primer problema es de hallar (siguiendo a Pólya, 1986). No obstante, en su primera parte, enseguida se convierte en un problema de probar una conjetura.

El segundo problema también es de hallar, aunque puede convertirse a lo largo de su resolución en un problema de una conjetura.

Asimismo, el tercer problema es de hallar, pudiendo igualmente dar lugar a la formulación de una conjetura y su posterior intento de prueba.

De esta forma, los tres problemas serían lo que Butts (1980) llama PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN ABIERTA.

 Independientemente de clasificaciones más acordes con los problemas que se plantean en el contexto escolar (ver epígrafe III.2.), creo que LOS PROBLEMAS DE HALLAR responden con más fidelidad al proceso habitual de construcción del conocimiento matemático, pues lo usual ha sido y es plantearse unos interrogantes en función de fenómenos o hechos observados, ver si se cumplen de manera más general, o sea, indagar sobre la extensión de su aplicabilidad, y probar o refutar las conjeturas formuladas. Es así que, siguiendo a Lakatos (1963), entiendo que el planteamiento de una prueba sin más prolegómenos no es, ni mucho menos, natural. Por tanto, cuando me refiero a modos de resolución de problemas, no puedo hacerlo extensible a todo tipo de problemas [25]. Hay aún otra razón: los profesores están habituados a problemas de demostrar, mientras que rara vez se enfrentan a problemas de encontrar o hallar, y a mí me interesaba que su reacción ante los problemas fuera de inicial perplejidad, que no recurrieran de forma automática a patrones de comportamiento externos que pudieran distorsionar las conclusiones relativas a cada individuo. Finalmente, debido a que, desde mi punto de vista, estos problemas SE ACERCAN FIELMENTE AL MODO DE HACER DE LA MATEMÁTICA, ESTIMO QUE SE ADECÚAN MUY BIEN PARA VISLUMBRAR POSIBLES VÍNCULOS ENTRE LOS MODOS DE RESOLUCIÓN Y LA CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA.

En cuanto al proceso que llevaba a la obtención de datos relativos a cada problema, era el siguiente: el resolutor se situaba en una habitación a solas, pudiendo disponer de calculadora y utensilios de dibujo; yo le entregaba el enunciado del problema y las 4 hojas de papel; a continuación le rogaba encarecidamente que procurara ser explícito y detallista en sus aclaraciones; luego le colocaba la grabadora por si quería usarla en algún momento de la resolución; finalmente, le dejaba el reloj-avisador encima de la mesa y abandonaba la habitación, volviendo a los 40 minutos, a menos que el individuo decidiera dar por acabada su resolución antes de tiempo. En ese momento le recogía el protocolo escrito y efectuaba un primer análisis encaminado a detectar posibles lagunas que pudieran dificultar posteriormente el análisis en profundidad (las razones no explícitas de algunas decisiones, los cálculos mentales no constatados,...). Tras este somero análisis, procedía a realizarle una entrevista para aclarar esas lagunas (los intervalos de tiempo marcados eran buenos indicadores de algunas de ellas), con lo que daba por concluida la sesión.

Dicha entrevista era semiestructurada, con un amplio guión que me permitiera recordar los aspectos que posteriormente iba a analizar. No preguntaba las cuestiones una tras otra, pues evitaba formular cuestiones sobre aspectos suficientemente claros en el protocolo escrito. Para el diseño del guión de esta entrevista fue de gran importancia el esquema, ya mencionado, de Schoenfeld (1985), del que presento una adaptación (Carrillo, 1993a, p. 144-146) (esquema que no debe confundirse con la propia entrevista, ya que el propósito de aquél es evaluar el proceso de resolución, mientras que el de ésta es aclarar la información confusa o inexistente para el investigador; no obstante, el mencionado esquema sirvió de sugerencia sobre los aspectos que pueden quedar ocultos y sobre qué preguntar al resolutor una vez presentado el protocolo):

 Esquema de observación

C(comprensión).1. ¿Han sido anotadas todas las condiciones del problema? ¿Explícita o implícitamente?

 

Es decir, ¿es consciente el resolutor de toda la información que proporciona el enunciado?

 

C.2. ¿Han sido marcados correctamente los objetivos del problema? ¿Explícita o implícitamente?

 

Es decir, ¿es consciente el resolutor de lo que solicita el enunciado?

 

C.3. ¿Contrasta la previsible tarea del problema con la disponibilidad de sus conocimientos?

 

Es decir, ¿hay una evaluación previa en términos de capacidad?

 

 

PE (planificación-exploración).1. ¿Tienen un claro propósito las acciones?

 

Es decir, ¿se observan o el resolutor es capaz de dar razones que fundamenten las acciones efectuadas?

 

PE.2. ¿Qué elección de perspectiva se ha hecho? ¿Explícitamente o por omisión de otras?

 

¿Es consciente el resolutor de la existencia de otras perspectivas? ¿Qué ha motivado la elección de esa determinada?

 

PE.3. ¿Están las acciones dirigidas por las condiciones del problema? (Trabajar hacia adelante)

 

Es decir, ¿profundiza en las características de las condiciones?

 

PE.4. ¿Están las acciones dirigidas por los objetivos del problema? (Trabajar hacia atrás)

 

Es decir, ¿profundiza en las características de los objetivos?

 

PE.5. ¿Busca alguna relación entre las condiciones y los objetivos?

 

Por ejemplo, considerando condiciones u objetivos equivalentes, con idea de aproximar unos a otros.

 

PE.6. ¿Efectúa algún control de progreso?

 

Es decir, ¿controla si los resultados parciales se ajustan a lo previsto?

¿Cuáles son las consecuencias para la solución de la presencia o ausencia de tal control?

 

PE.7. ¿Es coherente, en su conjunto, el episodio?

 

Es decir, independientemente de posibles errores iniciales o ejecutivos.

 

PE.8. ¿Hay evidencia de algún planteamiento?

 

Es decir, ¿la planificación es explícita o la presencia de un plan debe inferirse del carácter evidentemente intencionado de la conducta del resolutor?

 

PE.9. ¿Es relevante el plan para la solución?

 

Es decir, ¿la planificación es apropiada para la consecución de los objetivos?, ¿está bien estructurada?

 

PE.10. ¿Evalúa el resolutor los aspectos reseñados en PE.9.?

 

 

E (ejecución).1. ¿Sigue la ejecución el plan de forma estructurada?

 

Es decir, hay orden en la ejecución o abandona la estructuración al introducirse de lleno en la ejecución , perdiendo el rumbo?

 

E.2. ¿Evalúa la ejecución a nivel local o global, sobre todo si las cosas van mal?

 

Es decir, ¿revisa la ejecución, abandona o comienza una nueva ejecución?

 

 

V (verificación).1. ¿Revisa la solución?

 

Es decir, ¿comprueba si ha usado todos los datos y analiza la corrección de cada paso?

 

V.2. ¿Contrasta la solución? ¿Cómo?

 

Por ejemplo, concretándola en casos particulares.

 

V.3. ¿Evalúa la solución, ya sea del proceso o del resultado?

 

Es decir, ¿se plantea si la solución es razonable?, ¿se hace una idea global del proceso?

 

 Se añaden cuestiones relativas a los momentos de transición, debido a su relevancia en las decisiones metacognitivas.

 "Es en los momentos de transición entre episodios donde las decisiones metacognitivas, especialmente las directoriales, pueden tener poderosos efectos en los intentos de solución" (Garofalo y Lester, 1985)

 

T (transición).1. ¿Hay evaluación del estado actual de la resolución?

 

Es decir, abandonado un camino, ¿hay un intento de salvar lo que puede ser valioso?

 

T.2. ¿Cuáles son los efectos locales y globales sobre la solución de la presencia o ausencia de evaluación al abandonar el trabajo previo? La acción emprendida por el resolutor, o su ausencia, ¿es apropiada o necesaria?

 

T.3. ¿Hay evaluación de los efectos a corto y/o largo plazo sobre la solución de tomar la nueva dirección o salta el resolutor simplemente a la nueva aproximación?

 

T.4. ¿Cuáles son los efectos locales y globales sobre la solución de la presencia o ausencia de tal evaluación? ¿Es apropiada o necesaria la acción?

 

 

Todas estas cuestiones, junto con los propósitos de mi trabajo, condujeron a la siguiente

ENTREVISTA-GUÍA SOBRE EL PROTOCOLO DE RESOLUCIÓN

C1 Organizar la información

 

1.- Cuando te enfrentaste inicialmente al problema, ¿qué ideas te surgieron (qué se te pasó por la cabeza)?

 

2.- ¿Has necesitado releer el enunciado?

Si es así, ¿qué razón das a dichas relecturas?

3.- ¿Con qué idea llevas a cabo la manipulación inicial? ¿Qué la ha motivado?

 

C2 Ejemplificar

 

1.- ¿Por qué utilizaste ese ejemplo?¿Te recordaba alguno parecido?

 

C3 Expresar en otros términos

 

1.- ¿Disponías de otra forma de expresar el problema?

En caso afirmativo, ¿cuál y qué motivó la elección de una determinada?

Generales Fase Comprensión

 

1.- ¿En qué momento fuiste consciente de toda la información que te proporcionaba el enunciado?

 

2.- ¿En qué momento supiste lo que te solicitaba el enunciado?

 

3.- ¿Contrastas la previsible tarea del problema con el estado de tu conocimiento?

 

4.- ¿En qué momento te diste cuenta de que disponías de un camino o conocimiento que podías aplicar?

 

PE1 Simplificar

 

1.- ¿Crees que admite una simplificación el problema, o un argumento de "sin pérdida de generalidad"?

Si es así y no lo ha aplicado, ¿por qué?

 

2.- ¿Por qué has/no has descartado casos?

 

3.- ¿Por qué has eliminado/relajado en concreto esa condición?

 

4.- ¿Qué te hace decidirte por fijar esas variables y no otras?

 

5.- ¿Por qué impones esas condiciones a las variables?

 

 

PE2 Estimar

 

1.- ¿Qué te hace estimar en ese valor la solución?

 

PE3 Buscar regularidades con intención de generalizar

 

1.- ¿Crees que la solución cumple una serie de regularidades o se ajusta a algún modelo?

Si es así, ¿respecto a qué aspectos buscas regularidades?

 

PE3a Tantear

 

1.- ¿Qué crees que puedes obtener del tanteo?

 

2.- ¿Qué te ha llevado a tantear con esos casos determinados? ¿Cuál es tu objetivo con ello?

 

PE4 Considerar problemas equivalentes

 

1.- ¿Pensaste en cambiar de notación?

Si es así, ¿qué te decidió por la elegida?

 

2.- ¿Viste otras posibles perspectivas para abordar o considerar el problema?

En caso afirmativo, ¿qué motivó tu decisión?

 

3.- (Si ha lugar)¿Qué ventajas has obtenido al reemplazar esa condición por una equivalente?

 

4.- ¿Qué te ha motivado a combinar los elementos de esa forma?

 

5.- ¿Para qué has introducido esos elementos auxiliares? ¿Por qué ésos?

 

PE5 Argüir por contradicción

 

1.- ¿Qué ventajas has obtenido al argumentar por contradicción?

 

2.- ¿Por qué has usado esos contraejemplos?

 

PE6 Asumir la solución

 

1.- ¿Qué te ha llevado a partir de las propiedades de la solución? ¿Qué provecho le has sacado?

 

PE7 Partir de lo que se sabe

 

1.- ¿Crees que has profundizado lo suficiente en las condiciones del problema?

 

PE8 Planificar jerárquicamente la solución

 

1.- ¿Por qué has establecido esas submetas?

 

PE9 Descomponer el problema

 

1.- ¿Crees que podrías haber aplicado una estrategia caso a caso?

 

PE10 Explorar problemas similares

 

1.- ¿Se te ha ocurrido explorar problemas similares: en la forma, los datos o las conclusiones, o problemas parecidos con menos variables?

Si es así y no lo ha hecho, ¿por qué?

 

PE11 Conjeturar

 

1.- ¿Has poseído en algún momento una conjetura?

En caso afirmativo, ¿en base a qué?, ¿se ha confirmado?

 

Generales Fase Planificación-Exploración

 

1.- ¿Has efectuado algún control de progreso?

 

2.- ¿Te has planteado la pertinencia y estructuración del plan?

 

Generales Fase Ejecución

 

1.- ¿Has pensado si la ejecución sigue el plan de forma estructurada?

 

2.- ¿Has revisado la ejecución?

Si es así, ¿en qué momento?

 

V1 Analizar la consistencia de la solución

 

1.- ¿Has revisado si usas todos los datos?

 

2.- ¿Te has planteado si la solución es razonable?

 

3.- ¿Has visto si la solución resiste ensayos de simetría, análisis dimensional, condiciones equivalentes o cambio de escala?

 

4.- ¿Has concretado la solución en casos particulares?

 

5.- ¿Has analizado la posibilidad de reducir la solución a resultados conocidos?

 

V2 Expresar de otra forma la solución

 

1.- ¿Te has planteado expresar de otra forma la solución?

 

V3 Analizar la consistencia del proceso

 

1.- ¿Te has hecho, a posteriori, una idea global del proceso?

 

2.- ¿Has analizado la corrección de cada paso?

 

3.- ¿Has evaluado la conveniencia de cada estrategia?

En caso afirmativo, ¿qué te ha inclinado por una concreta?

 

V4 Analizar si se puede llegar al resultado de otra manera

 

1.- ¿Te has planteado llegar al resultado de otra manera?

 

V5 Generalizar

 

1.- ¿Te has planteado si se puede utilizar la solución para generar algo conocido?

 

2.- ¿Crees que el método o el resultado son generalizables?

 

Generales Transición

 

1.- Abandonado un camino, ¿has procurado salvar lo valioso?

 

2.- ¿Has evaluado los efectos a corto y largo plazo de tomar una nueva dirección?

 

 

Finalmente, en lo que a estos instrumentos concierne, sólo resta el cuestionario sobre estrategias personales, cuyo objetivo fue el de obtener alguna idea sobre la categoría de características personales (aunque superficial) y enmarcar y constrastar datos procedentes de los protocolos y entrevistas. Me surgió esta idea a raíz de la lectura de DeFranco (1987), que, en su estudio sobre el papel de la metacognición, incluye un cuestionario de estas características, del que tomé asimismo algunas cuestiones. Quiero también mencionar a Callahan y Garofalo (1987), quienes formulan una serie de interrogantes (como, por ejemplo, ¿qué haces cuando te enfrentas a un problema que no te es familiar?, ¿por qué?) que sugieren a los profesores para procurar que sus estudiantes desarrollen una consciencia metacognitiva, interrogantes que fueron también tenidos en consideración para realizar el cuestionario definitivo.

Tal cuestionario sufrió varias cribas en función de criterios teóricos y empíricos, pues fueron analizadas las respuestas aportadas por algunos profesores ajenos a la investigación antes de pasarse a los individuos de la tesis; en otras palabras, estuvo sujeto a un doble proceso de revisión, derivado de su aplicación preliminar, por un lado, y desde la perspectiva teórica, por otro. Se entregó, de una sola vez, dividido en dos partes (colocadas en sobres diferentes), con la intención de que las respuestas a las últimas cuestiones no fueran producto de la fatiga. Lo distribuí al final de la sesión correspondiente al segundo problema, para recogerlo en la siguiente sesión, por lo que una de las cuestiones solicitaba la revisión tras el abordaje del tercer problema.

CUESTIONARIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS PERSONALES

Primera parte

Observación: Es deseable que te expreses con la máxima precisión y que procures detallar tus respuestas. Asimismo, si alguna cuestión te sugiere varias interpretaciones, es conveniente que respondas a cada una de ellas. Por otra parte, procura ser sincero contigo mismo/a, contestando según la realidad y no según lo deseable.

 

Entre la respuesta a la primera parte y a la segunda debe transcurrir un mínimo de 12 horas.

 

Nota: Cuando se use la palabra problema se entenderá como situación o enunciado para los que no se posee de forma inmediata ningún algoritmo, regla o fórmula apropiados. Se trata, por tanto, de situaciones no rutinarias.

 

Cuestión 1

 

a) ¿Cómo te sientes en situaciones donde estás siendo observado/a (clases, resolución de problemas, etc.)?

 

b)¿Cómo se manifiesta en tu comportamiento, actuación y estado de ánimo?

 

Cuestión 2

(Esta cuestión deberás revisarla tras la resolución del Problema nº3)

¿Cómo ha sido tu rendimiento en la resolución de los problemas que has abordado dentro de esta investigación (superior/inferior/correspondiente a tus conocimientos)? ¿Por qué?

 

Cuestión 3

 

Los problemas que se te presentan en la vida real, ¿sueles afrontarlos en solitario, solicitas ayuda, los olvidas,...? Comenta tu actitud usual.

 

Cuestión 4

 

a) ¿Estás acostumbrado/a a enfrentarte a situaciones problemáticas no rutinarias dentro de la matemática, es decir, a problemas?

 

b) ¿Te atraen o prefieres resolver ejercicios de aplicación de alguna fórmula, algoritmo o regla?

 

Cuestión 5

 

a) ¿Te has enfrentado en grupo alguna vez a problemas? ¿Cuándo fue la última vez?

 

b) ¿Qué te agrada más, enfrentarte en solitario a los problemas o hacerlo en grupo, donde es necesario aceptar decisiones democráticas que pueden implicar no seguir con tu estrategia por muy clara que la veas? ¿Por qué?

 

Cuestión 6

 

a) ¿Cuál suele ser tu impresión inmediatamente tras la primera lectura del enunciado de un problema (de interés, de desánimo, de indiferencia, de entusiasmo, de expectativa, ...)?

 

b) ¿Por qué? ¿De qué depende?

 

Cuestión 7

 

¿Crees que tienes suficiente formación matemática para abordar problemas? Da alguna explicación.

 

Cuestión 8

 

a) Cuando te estás enfrentando a un problema, ¿alguna vez tienes ganas de abandonarlo?

 

b) ¿Por qué? ¿En qué circunstancias?

 

c) ¿Qué haces cuando esto ocurre?

 

Cuestión 9

 

¿Suelen aparecer miedos, trabas o complejos cuando estás resolviendo un problema? Explícalos.

 

Cuestión 10

 

Cita todas las estrategias de resolución de problemas que conozcas (Si no conoces su nombre, da alguna explicación o pon algún ejemplo).

 

Cuestión 11

 

a) ¿Haces un uso personal de la resolución de problemas para tus investigaciones (si es tu caso) y para entender contenidos matemáticos?

 

b) ¿Por qué y cómo?

 

Segunda parte

Observación: Es deseable que te expreses con la máxima precisión y que procures detallar tus respuestas. Asimismo, si alguna cuestión te sugiere varias interpretaciones, es conveniente que respondas a cada una de ellas. Por otra parte, procura ser sincero contigo mismo/a, contestando según la realidad y no según lo deseable.

 

Nota: Cuando se use la palabra problema se entenderá como situación o enunciado para los que no se posee de forma inmediata ningún algoritmo, regla o fórmula apropiados. Se trata, por tanto, de situaciones no rutinarias.

 

Cuestión 12

 

Cuando lees el enunciado de un problema, ¿sueles plantearte si dispones de conocimiento suficiente para abordarlo? ¿Por qué?

 

Cuestión 13

 

¿Sueles invertir bastante tiempo en comprender el enunciado y planificar una estrategia de resolución o, por el contrario, te introduces rápidamente en la ejecución? ¿Por qué?

 

Cuestión 14

 

a) Cuando obtienes una solución de un problema, ¿sueles revisar el planteamiento o das el problema por terminado? Da una explicación.

 

b) ¿Y los cálculos, sueles revisarlos cuando has obtenido una solución? Da una explicación.

 

Cuestión 15

 

a) Cuando obtienes una solución de un problema, ¿sueles buscar otras formas de resolverlo? Da una explicación.

b) ¿Buscas variantes o generalizaciones de la situación? Da una explicación.

 

c) ¿Cuándo, inmediatamente o dejas transcurrir unas horas, días, ...? Da una explicación.

 

Cuestión 16

 

Cuando no resuelves un problema en tu primer intento, ¿sueles abordarlo en otro momento o lo olvidas? ¿Por qué?

 

Cuestión 17

 

¿Te sientes seguro/a en los cálculos?¿Por qué?

 

Cuestión 18

 

Describe algunas cualidades, características o factores que tú creas que son propias de una persona que sea experta resolutora de problemas.

 

Cuestión 19

 

a) ¿Qué papel juega en la resolución de problemas tu memoria de hechos, información, teoremas, etc.?

 

b) Supón que te pones a resolver un problema y piensas, en un momento dado, que no posees suficiente conocimiento para resolverlo. ¿Qué efecto crees que podría tener sobre tu habilidad para resolver ese problema? ¿Por qué?

 

Cuestión 20

 

¿Te consideras experto/a resolutor/a de problemas? ¿Por qué?

 

Cuestión 21

 

a) ¿Qué tipos de problemas matemáticos te gustan? ¿Por qué?

 

b) ¿Trabajas usualmente en ellos? ¿Por qué y cómo?

 

c) Si no trabajas usualmente en ellos, ¿sueles abordar otro tipo de problemas, aunque no sean de tu mayor agrado? ¿Por qué y cuáles?

 

Cuestión 22

 

a) ¿Qué tipos de problemas matemáticos no te gustan? ¿Por qué?

 

b) ¿Trabajas usualmente en ellos? ¿Por qué y cómo?

 

Cuestión 23

 

a) ¿Existe algún área o rama de la matemática en la que trabajes con más confianza? ¿Cuál?

 

b) Si un problema cae en ese área, ¿qué efectos puede tener sobre tu habilidad para resolverlo? ¿Por qué?

 

Cuestión 24

 

a) ¿En qué áreas o ramas de la matemática trabajas con menos confianza?

 

b) Si un problema cae en una de esas áreas, ¿qué efectos puede tener sobre tu habilidad para resolverlo? ¿Por qué?

 

 

III.7. INSTRUMENTOS DE TERCER Y CUARTO ORDEN (INTERPRETACIÓN DE DATOS RELATIVOS A LOS MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS E INFORMES). PROCESO DE ELABORACIÓN Y REVISIÓN

La interpretación de los datos comienza con la delimitación de las unidades de información en entrevistas y cuestionario, en concordancia con las categorías e indicadores del instrumento de segundo orden (análisis). Asimismo, cada protocolo es dividido en episodios tras analizar los heurísticos empleados. Las unidades de la entrevista correspondiente a un protocolo y el propio protocolo dan pie a efectuar un primer paso, cual es la elaboración de la descripción y valoración general del proceso de resolución de ese problema. Estas descripciones y valoraciones suponen un acercamiento inicial a la información que emana del proceso de resolución de cada problema. Una vez se dispone de las valoraciones de los 3 protocolos, se procede a asignar a cada individuo un nivel (de la escala de valoración) por indicador, en base a esas valoraciones y a las unidades de información del cuestionario. Lo que de ahí resulta es una secuencia de niveles (me refiero fundamentalmente a las correspondientes descripciones, no al valor numérico, que es sólo "resumen" de las mencionadas descripciones), siguiendo a cada uno de ellos una justificación fundada en fragmentos de protocolo (episodios o partes de ellos) y unidades de información de entrevistas y cuestionario. Dicha secuencia se plasma en un gráfico que informa del perfil del resolutor (gráfico 4).

De todas formas, los niveles podrían también representarse en una tabla de valores o con algún otro instrumento. Lo que aporta la representación cartesiana es una fácil visualización de los niveles de cada categoría al completo, como grupo.

Todo este proceso acaba con la redacción de un informe global del modo de resolver problemas de cada individuo. Y, por supuesto, este proceso, para erradicar en lo posible los peligros de la subjetividad, es consensuado por investigador y co-investigador; ambos llevan en cada paso sus propuestas, llegándose a un acuerdo en la mayoría de los casos y rechazándose algunas unidades o comentarios cuando no es posible el consenso. Además, tal proceso no es lo lineal que puede parecer en una descripción a posteriori. Ha sufrido varias revisiones, las cuales han producido modificaciones en el instrumento de análisis y, consiguientemente, se ha visto la necesidad de volver a revisar para unificar los criterios de

dicho análisis. Al igual que con las concepciones, se ha efectuado, además, una revisión vertical y otra horizontal. En la vertical se han comparado todas las unidades y episodios bajo un mismo indicador dentro de cada individuo, al mismo tiempo que todos los indicadores del mismo individuo, siendo el propósito evitar posibles errores de apreciación de los investigadores y en ningún momento eliminar la coexistencia de niveles de indicadores que podrían ser considerados como extraños. En la revisión horizontal se comparan las justificaciones dadas a los indicadores semejantes de diferentes individuos, siendo el objetivo limar las naturales diferencias de apreciación debidas a la imposible simultaneidad de todos los análisis e informes. Este proceso de elaboración y revisión se visualiza en el gráfico 5.

A esto hay que añadir la consideración de diferentes bandas de estilo de resolución de problemas, útiles a la hora de comparar unos individuos con otros. He considerado fundamentalmente 3 bandas: la banda 1-3, asociada a los niveles 1, 2 y, como máximo, 3 (relativa a resolutores con bastantes deficiencias en su modo de resolver problemas); la banda 3-5, asociada a los niveles 3, como mínimo, 4 y 5 (relativa a profesores expertos en su modo de resolver problemas); y la banda 2-4, de transición (relativa a profesores que compaginan características deseables en un resolutor con otros aspectos en los que muestran carencias). Dentro de estas bandas son claramente distinguibles algunas subbandas (a excepción, quizás, de la banda de transición), pues obviamente no presenta los mismos rasgos un resolutor con niveles 1 y 2, que con 2 y 3, o un resolutor con niveles 4 y 5 que con 3 y 4, aunque pertenezcan a la misma banda. No obstante, estimo que la diferenciación de estas subbandas es menos relevante que el carácter de novato o experto. Esta distinción de bandas se ha hecho efectiva en las categorías Eficacia de la acción y Control de la acción, declinando su aplicación a la categoría Características personales, tanto por la gran dependencia de muchos indicadores de esta categoría del cuestionario sobre estrategias personales como por la necesidad de más información al respecto. Por otra parte, la consideración de estas bandas no pretende sintetizar definitivamente en un par de números el modo de resolver problemas de un sujeto, sino, por el contrario, aportar características de grupo (novato, experto, transición) al análisis de un individuo, para ser confirmadas o rechazadas, aportación que es de gran importancia, sobre todo, en programas de formación de profesores basados en la Resolución de Problemas, ya que en tales programas no es siempre posible obtener datos de tantos indicadores.

(principio del capítulo) (índice general)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Nota 1] No es mi propósito indagar sobre la resolución de problemas en el aula, ya se refiera a las concepciones de los profesores al respecto, a su modo de plantear y conducir las clases de resolución de problemas o a las propias actitudes o creencias de los alumnos sobre lo que significa resolver problemas de matemáticas. Por ello, las referencias de algunos autores que conciernen a los problemas escolares están empleadas con el objetivo de obtener una caracterización de la resolución de problemas como actividad humana.

[Nota 2] Newell y Simon (1972) consideran esencial el papel de la memoria externa en la resolución de problemas. Entienden por memoria externa los recursos disponibles (papel, material de simulación, calculadora, etc.). Para recalcar la influencia de la memoria externa aluden a la comparación entre el tiempo que puede tardar una persona en multiplicar 2 números de 4 cifras con y sin lápiz y papel.

[Nota 3] Un amplio repertorio de definiciones de problema puede consultarse en Puig (1993).

[Nota 4] Asimismo, el libro de Mayer está impregnado de la idea que se vislumbra en la cita anterior y que el propio título expresa: pensamiento y resolución de problemas están íntimamente ligados. Esta idea ya la expresó Humphrey (1951), para el que, según Garret (1988), pensar es:

"lo que ocurre cuando un organismo... encuentra, reconoce y soluciona un problema" (p. 225).

 

[Nota 5] De forma extremadamente resumida, Hayes (1981) dice que

"resolver un problema significa encontrar un camino apropiado para cruzar un hueco" (p. i).

 

[Nota 6] Para profundizar en estos aspectos puede consultarse Keitel et al. (1989), una amplia compilación de artículos que, bajo el título de Matemáticas, Educación y Sociedad, aborda la diversidad cultural en Educación Matemática, la Matemática como un proyecto cultural, el papel de la Matemática en la sociedad, las influencias culturales en el aprendizaje y la construcción social del significado, entre otros.

 Asimismo, respecto a la influencia de la sociedad en el aprendizaje de las matemáticas, Bishop (1993) afirma:

"Este capítulo ha demostrado no sólo el rango de influencias que la sociedad ejerce sobre los que aprenden matemáticas, sino también cómo estos aprendices se enfrentan a éstas y cómo los diferentes agentes educativos responden a demandas sociales." (p. 25).

 

El propio Bishop (1994), consciente de la relevancia de los aspectos culturales y sociales en la construcción de conocimiento, propone algunas líneas de investigación:

 "Varias cuestiones motivadoras surgen ahora de este tipo de análisis, y aquí me referiré exclusivamente a los tres niveles del curriculum: planificado, aplicado y alcanzado. Ha sido elegida esta estructura para exponer los tres niveles significativos de reconocimiento de conflicto cultural, y su potencial resolución." (p. 17).

En la misma línea, aunque sin extenderse en esta cuestión, Jaworski (1994) viene a confirmar las ideas anteriormente expresadas:

 "La construcción de conocimiento en el aula va más allá de la interacción entre profesor y estudiantes, hacia la más amplia interacción entre los estudiantes mismos en el entorno social y cultural de la clase y más allá. Parece crucial para los profesores de matemáticas que sean conscientes de cómo el aprendizaje de las matemáticas puede estar ligado al lenguaje, la interacción social y el contexto cultural." (p. 28).

[Nota 7] Téngase en cuenta que, como otras definiciones y clasificaciones desde la Psicología, esta clasificación no se ciñe a los problemas matemáticos, que son los que nos ocupan, pero, evidentemente, también es aplicable a éstos.

[Nota 8] Esta distinción era ya considerada por Pappus (sobre 300 a.C.), según cuenta el mismo Pólya (1986) en su breve diccionario de heurística.

[Nota 9] Entendido como construcción propia asistida por el profesor, no como aprendizaje aleatorio y espontáneo.

[Nota 10] Coincidiendo en parte con esta visión del papel del profesor, y en consonancia con la perspectiva social del constructivismo (referida en III.1.), Vygotski (1991) afirma:

"Apenas se tiene en cuenta el peso social en la educación... En los antiguos liceos... no eran los maestros... quienes en último término educaban, sino el medio social establecido... En consecuencia, va desapareciendo la idea tradicional del maestro como el motor principal y casi único del proceso educativo... Desde un punto de vista científico, el maestro es sólo el organizador del medio educativo social, el regulador y controlador de la interacción de ese medio con cada alumno." (pp. 147, 159).

 

[Nota 11] La filosofía asociacionista se basa en las 3 leyes del aprendizaje y la memoria formuladas por Aristóteles: Doctrina de la asociación por contigüidad, Doctrina de la asociación por similitud y Doctrina de la asociación por contraste. Thorndike (1898) incluye dos leyes del aprendizaje para explicar el proceso de solución de problemas: la ley de ejercitación y la ley del efecto (el binomio llamado estímulo-respuesta), describiendo el pensamiento como la aplicación del ensayo y error en familia jerarquizada de hábitos.

 Por su parte, Kohler (1925) no observó ensayo y error en experimentos similares a los de Thorndike, sino intuición, estableciendo así el distintivo de la Psicología de la Gestalt (el insight). Mientras que el asociacionismo habla de un pensamiento reproductivo (memoria mecánica), la Gestalt habla de un pensamiento productivo (comprensión estructural) (Wertheimer, 1959). Así, pues, para la Gestalt resolver un problema consiste en reorganizar los elementos de una situación de forma que se adquiera una comprensión estructural de sus componentes y las relaciones entre ellos, lo que conduce a la solución. Este proceso contiene un período de incubación, seguido del insight.

 Finalmente, para la Teoría del Significado, la Resolución de Problemas implica descubrir de qué forma el problema actual se relaciona con los conceptos e ideas que ya existen en la memoria del resolutor, ocupando un lugar destacado la idea de la actividad, según la cual el sujeto que realiza un trabajo activo en Resolución de Problemas tiene más probabilidad de obtener un aprendizaje más amplio (integrado en más parcelas de su conocimiento) que aquél que adopta un papel de receptor de las reglas de solución. La Teoría del Significado añade a la Gestalt la idea de los esquemas lógicos y la asimilación. (Mayer, 1983)

 Emanando de esta Teoría del Significado podemos situar la Teoría Piagetiana, la Teoría del Procesamiento de la Información y, en suma la Teoría constructivista del aprendizaje.

[Not 12] Dado que no se trata de sugerir la introducción de un tópico matemático asimilado durante la formación inicial, sino de llevar a la práctica una metodología con remarcables implicaciones sobre los objetivos, contenidos, papel del alumno, papel del profesor, metodología, organización de la clase y evaluación, aparte de la eventual acomodación de las concepciones de profesores y alumnos sobre la matemática y su enseñanza.

[Nota 13] En este mismo apartado se aporta una caracterización de heurística y heurístico.

[Nota 14] En absoluto es esta distinción exclusiva de las tareas de resolución de problemas o incluso del conocimiento matemático. Paris et al. (1983), refiriéndose a la lectura, distinguen 3 tipos de conocimiento: declarativo, procedimental y condicional.

"El conocimiento declarativo incluye proposiciones sobre la estructura y las metas de la tarea... El conocimiento procedimental incluye información acerca de la ejecución de varias acciones... hay una distinción entre procedimientos y conocimiento procedimental...los conocimientos declarativo y procedimental por sí solos no aseguran suficientemente que los niños lean estratégicamente... El conocimiento condicional incluye conocer cuándo y por qué aplicar varias acciones." (p. 302).

 

[Nota 15] También llama metaprocesos a los aspectos metacognitivos (Silver, 1987).

[Nota 16] "Una componente es un proceso elemental de información que opera sobre representaciones internas de objetos o símbolos" (Sternberg, 1980, p. 6)

[Nota 17] Por ejemplo, hay investigaciones que tratan el tema de la habilidad en resolución de problemas en comparación con la clase social a la que pertenece el resolutor, o con el sexo, o con la zona o país de pertenencia. Asimismo, es de destacar la obra encabezada por McLeod (1988) sobre la influencia de los factores afectivos en la resolución de problemas.

[Nota 18] La heurística, o "ars inveniendi", dice Pólya (1986) que

"era el nombre de una ciencia bastante mal definida y que se relacionaba tan pronto a la lógica, como a la filosofía o a la psicología. Se exponían con frecuencia las líneas generales, pero rara vez sus detalles. En nuestros días está prácticamente olvidada. Tenía por objeto el estudio de las reglas y de los métodos del descubrimiento y de la invención." (p. 101).

 A esto añade que, empleada como adjetivo, heurística significa "servicio al investigador" (p. 102), y que la heurística en nuestros días

 "trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en este proceso." (p. 102).

 En definitiva, una acepción bastante relacionada con su significado etimológico: "servir para descubrir", del griego heuriskin.

 También Lakatos (1963) da su versión de la heurística del descubrimiento matemático, partiendo de la conjetura, tras la cual se pasa a una demostración o a un ensayo ingenuo, lo que conduce a una demostración o a una refutación; a continuación, una reformulación puede llevar de nuevo, por un contraejemplo local o uno global, a una demostración o a una conjetura, respectivamente.

[Nota 19] También puede verse este listado en la contraportada de Krulik y Reys (1980).

[Nota 20] Es interesante la distinción que propone Puig (1993), dentro de los heurísticos, de sugerencia heurística, herramienta heurística y destreza con potencial heurístico. Tal distinción permite indagar con precisión en el papel desempeñado por la heurística en la resolución de problemas (en estudios más centrados en la heurística que éste).

[Nota 21] No debe entenderse el esquema como un espejo en el que cada resolutor refleje su modo de resolver problemas rellenando personalmente sus indicadores. Está pensado para ser usado por el investigador.

[Nota 22] Empleo los términos perfil de resolutor y modo de resolver problemas indistintamente. No obstante, el título del epígrafe corresponde a este último término, pues parece más asociable a un estudio cualitativo, mientras que perfil puede verse asociado a números o gráficas en un estudio cuantitativo. Por contra, en este trabajo, aunque el perfil se corresponda con una imagen gráfica, lo verdaderamente relevante es la descripción que subyace (indicador por indicador), y es a esto a lo que realmente me refiero a lo largo de esta investigación.

[Nota 23] Me refiero a habilidades deseables. Otra cosa es su forma de evaluarlas y promoverlas, para lo cual la posible traslación es bastante dudosa, por las evidentes diferentes circunstancias que rodean a profesores y alumnos.

[Nota 24] Esta misma lista es la que, con un orden diferente y uniendo las dos últimas, puede verse en Suydam y Weaver (1977, p. 42).

[Nota 25] No obstante, pienso que, al convertirse asiduamente los problemas de hallar en problemas de demostrar, el estudio es bastante completo en lo que atañe a esta clasificación.