ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE CG 

 IV.2.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.2.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

 

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	METODOLOGÍA
11.(En Media) tenían mucho (peso), todo era algoritmo. 2'.Yo doy clases magistrales, luego mi papel es fundamental. No estoy seguro de si este papel debe ser distinto. 9.Es una actitud (la manera en la que procuro que aprendan mis alumnos)...intentar ponerme en situación y...eso es quizás la única técnica que...; no sé si es técnica. 6".Me parece positivo no camuflar en mis clases los errores...hacer la Matemática más humana. 17.Lo fundamental es que dominen una serie de técnicas. 21.(Doy un tema por acabado) cuando la gente te pide una y otra vez que hagas tal problema, el mismo problema y el mismo problema...; entonces...tienes...dos opciones... borrón de todo y te pones en algo, no sé, algo más básico, algo distinto, o continúas con...a tu marcha y que te coja quien te coja. 28.Han comentado...las dificultades que tenían al operar o con las décimas, con la gente de Física o la gente de Química...no he variado mi clase por resolver ese problema.	TR1:Ejercit. repetitiva TR2:Exposición magistral (libro de texto)   TE2:Simulación puntual de investigaciones (medios técnicos)   TE2   TE3:Obj. termin. operat. TR o TE4:Programación oficial prescriptiva rígida (unidades aisladas) o Progr. secuencial, estructurada y cerrada TR o TE4
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	SENTIDO ASIGNAT.
27.Eso debería hacerse (tener en cuenta lo que hacen los compañeros de otras asignaturas), pero que tiene un coste...los físicos lo dan como regla solamente, sin explicar el concepto; para eso no tiene sentido, pero yo no sé si habría otra forma. 31.Si yo tengo que dar algo que quizás les enseñe a pensar, pues algo que también les pueda ser...útil.	TR5+TE7:Énfasis conceptual. Finalidad informativa utilitaria     TE7:Finalidad informativa utilitaria

 

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	CONC.APRENDIZ.
10.(Yo he enseñado) el algoritmo de resolución de segundo grado de manera algebraica, como yo lo he aprendido y como yo la sé. 12.En mis clases explico algo de teoría y ahí va un tipo de demostración...¿razonar?, algún problema que se ponga un poco extraño. 38.Se lo explicaría (la irracionalidad de raíz de 2) con la demostración clásica de p/q, que no se entera el chaval, por cierto. 5'.La mejor forma de aprender es descubrir o participar de alguna forma en el descubrimiento. 1'.El profesor ha de presentar el contenido sin mentir, pero dando más importancia a la intuición que al rigor. 37.(Para abordar el T. de Thales) pintaría las rectas paralelas de forma que se viera la cosa un poco eviden-te...para que pudieran ellos deducir eso, ¿no? y pregunta-ría qué relación hay entre los segmentos que los corta, si es que hay alguna; si ellos no responden, yo se lo diría, si ellos lo responden, luego se lo explicaría... 3.Algunos son genios desde el principio. 39.Si alguien es lógico y pone atención, lo comprenderá, pero hay veces que no se enteran porque no le prestan interés a eso. 6.La matemática, yo no creo que tenga porqué gustar a todo el mundo, como a todo el mundo nos gusta dibujar, o nos gusta el deporte. 7.Cada persona desarrolla su personalidad y su gusto de una determinada manera.	TR9:Procesos deductivos   TR9     TR9     TE9:Procesos inductivos simulados y deductivos TE9   TE9           T13:Apt. predeterm. T13     TR o TE14:Actitud predeterminada o Actitud parcialm. transformable TR o TE14
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	PAPEL ALUMNO (I)
26.(Los alumnos) no (participan en el diseño didáctico). 39.Si alguien es lógico y pone atención, lo comprenderá, pero hay veces que no se enteran porque no le prestan interés a eso.	T15:No partic. en el DD TR o TE16+T18:Único resp. transf.E-A. Sumis. o Resp. pral.transf.E-A (motiv.contexto).Atiende

 

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	PAPEL ALUMNO (II)
4.Poco a poco, algunas cosas sí las he ido asociando con ideas, leyendo libros por mi cuenta; yo creo que nace un poco más de la voluntad de conocer. 42.¿Comunicador?...Verbalizar lo que tú sabes es importante, pero...también hay otra cualidad...atraerte la atención, el interés. 3'.Por lo general siempre hay cambios, ¿en qué circunstancias lo realizo?...Depende del alumnado, de que pueda tener poca base o estar poco motivado. 25.Copiar (suelen hacer mis alumnos durante mis clases). En Media no sólo copian, también hablan, juegan...pero eso se da más en Media que en la...(Universidad). 4'.En general, el papel del alumno es de simple receptor.	TE16:Resp. pral. transf. E-A(motiv. por contexto) TE16     TE16     TR17:Escucha y copia     TR17+19:Escucha y copia. Acepta
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)	PAPEL PROFES. (I)
2.Aprendemos matemática como se aprende cualquier... Aprendemos a base de explicarlo...pero...no es como deberíamos aprender matemáticas. 12.En mis clases explico algo de teoría y ahí va un tipo de demostración...¿razonar?, algún problema que se ponga un poco extraño. 39.Si alguien es lógico y pone atención, lo comprenderá, pero hay veces que no se enteran porque no le prestan interés a eso. 1'.El profesor ha de presentar el contenido sin mentir, pero dando más importancia a la intuición que al rigor. 30.Creo que se deberían introducir los conceptos no a sopetón, sino justificando un poco el porqué,con un ejemplo, con un ejercicio, justificando un poco la necesidad de un concepto...Tampoco me pongo en el extremo, o sea, soy un poco remiso a ponerme en el extremo de justificarlo todo. 5.El profesor es un comunicador...no solamente tiene que dominar la materia. 42.¿Comunicador?...Verbalizar lo que tú sabes es importante, pero...también hay otra cualidad...atraerte la atención, el interés. 37.(Para abordar el T. de Thales) pintaría las rectas paralelas de forma que se viera la cosa un poco evidente...para que pudieran ellos deducir eso, ¿no? y preguntaría qué relación hay entre los segmentos que los corta, si es que hay alguna; si ellos no responden, yo se lo diría, si ellos lo responden, luego se lo explicaría...	TR20:Transmite verbalmente   TR20     TR20     TE20:Transmite por procesos tecnológicos TE20+23:Transmite por procesos tecnológicos. Técnico del contenido y del diseño didáctico   TE21:Expone   TE21     TE21

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)

PAPEL PROFES. (II)

10.(Yo he enseñado) el algoritmo de resolución de segundo grado de manera algebraica, como yo lo he aprendido y como yo la sé. 18.(A la hora de programar) estoy siguiendo un progreso...En principio era el típico programa...es más lógico el hecho de introducir la necesidad del concepto y luego meter el concepto...hacer un proceso...más cerca al proceso histórico. 6'.Debe contar con los demás profesores para conocer mejor la identidad del grupo y para conocer las herramientas matemáticas que necesita el resto de asignaturas.

TR22:Reproduce     TE23:Técnico del contenido y del diseño didáctico     TE24:Coordinación, en su caso, de selección (utilidad) y/u organizac. de contenidos

  

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CEM)

EVALUACIÓN

24.Yo no tengo de principio un número (para sentirme satisfecho), sino que yo veo, más o menos, que a mí me han ido aprobando el 30%, el 40, 25, 50, entorno a eso y...ésos son números que los veo naturales. (El) 10% (de aprobados lo veo)...muy poco, 80% lo veo mucho. 19.Sí (reviso mis planteamientos iniciales durante el curso), pero no lo hago por escrito. 20.Cómo obtengo la información para la revisión...el programa tú lo vas conociendo a medida que tú lo vas desarrollando... y tú mismo te vas encontrando dónde está mejor, dónde está peor. 22.Si alguien sabe descomponer en cuadrados perfectos una ecuación normal y corriente, con números, le podría dar, quizás, el 50%...Le pondría una cuarta parte del problema (si aplicara directamente la fórmula), porque en realidad un trabajo tiene el hecho de aprenderse de memoria eso, ¿no?; eso no es lo fundamental...Lo fundamental...es convertir esa ecuación y expresarla en forma de cuadrado perfecto. 14.Yo no se (lo que valoro) lo digo. Quizás en Media hay más posibilidades de que lo sepan, porque se hacían muchos más exámenes. 16. Yo no pongo objetivos de asignatura. 41.Los alumnos...han empezado...a calcular datos...y a partir de ahí han sacado la solución, yo no los he puesto mal, eso lo he valorado, pongámosle la mitad o pongámosle la 3/4 partes, no, la 1/3 parte o una cosa así. 23. Para calificarlos, el examen..., pero yo...en Media tenía un conocimiento mayor del alumno...y, aunque a mí me cuesta...alterar una nota de un examen..., cambiaba los puntos,...de manera que el que yo creía...que era una tontería suspender...de alguna forma lo recuperaba. 21.(Doy un tema por acabado) cuando la gente te pide una y otra vez que hagas tal problema, el mismo problema y el mismo problema...; entonces...tienes...dos opciones...borrón de todo y te pones en algo, no sé, algo más básico, algo distinto, o continúas con...a tu marcha y que te coja quien te coja. 15.(Para valorar algo a los alumnos) espero al examen.

TR o TE25:Sumativa (producto final). O Sumativa (proceso en función del producto).   TR o TE25   TR o TE25       T26+TE27:CuantitativaCriterios explícitos. Taxonómica (conductas observables).         TR27:No explicita criterios. Subjetiva.   TR27 TE27:Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables).   TR27+35: No explicita criterios. Subjetiva. Calificación mediante controles del producto   TR30:Mínimos rígidos.           TR35:Calificación mediante controles del producto

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE CG

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLO- GÍA	1	*
	2		*
	3	*
	4		*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5	*
	6	*
	7	*
CONCEPCIÓN DEL   APRENDIZAJE	8		*
	9		*
	10		*
	11	**
	12		*
	13	**
	14	*
PAPEL   DEL   ALUMNO	15	**
	16		*
	17	*
	18	**
	19	*
PAPEL   DEL   PROFESOR	20	*
	21		*
	22	*
	23		*
	24		*
EVALUACIÓN	25	*
	26	**
	27	*
	28	*
	29	*
	30	*
	31	**
	32		*
	33	**
	34	*
	35	*

 Aunque existe un reparto casi equitativo de las unidades de información entre las tendencias tradicional y tecnológica, hay un predominio de indicadores tradicionales. Además, de las seis categorías, una es claramente tecnológica, tres en una zona intermedia y las otras dos son claramente tradicionales, por lo que simbolizaré su perfil con TR*-TE.

IV.2.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE CG

METODOLOGÍA

La actividad del aula se caracteriza por la repetición iterada de ejercicios tipo.

Aunque emplea la exposición magistral, no suele exponer los contenidos de aprendizaje en su fase final, sino que simula su proceso de construcción.

Identifica los contenidos con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal.

En cuanto a la programación, la información obtenida no permitía dilucidar entre las tendencias tradicional y tecnológica. La fase de consenso dio como resultado un acercamiento mayor a la tecnológica, aunque sin abandonar características de la tradicional. Así, toma de ésta el hecho de estar prescrita de antemano y la rigidez, pero no la ausencia de relaciones entre las unidades, mientras que de la tendencia tecnológica toma el hecho de ser un documento cerrado, con una secuencia que emana de los aspectos estructurales de la disciplina (según se decantó durante el consenso).

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

En esta categoría, CG se encuentra plenamente dentro de la tendencia tradicional, a tenor de lo obtenido en cuestionarios y entrevista y también a raíz de la fase de consenso, la cual ha confirmado lo anterior y dado luz sobre la concepción de la matemática escolar. Así, la asignatura está orientada, exclusivamente, hacia la adquisición de conceptos y reglas. Considera que el contenido matemático a movilizar en el aula no se debe diferenciar en estructura, aunque sí en nivel de abstracción, del conocimiento matemático formal. Y por otra parte, la asignatura tiene una finalidad exclusivamente informativa, es decir, poner en conocimiento de los alumnos un cierto "panorama matemático" que se espera que aprendan.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

Al no haberse obtenido información sobre algunos aspectos del modelo de aprendizaje, el consenso ha acabado de determinar la posición de CG.

Concibe el aprendizaje como memorístico, organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina.

A veces, se inclina a pensar que el único aprendizaje efectivo y correcto es el que proviene de un proceso deductivo. Sin embargo, es más frecuente un planteamiento ligeramente diferente, según el cual piensa que, aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación de un proceso inductivo, el verdadero aprendizaje ha de apoyarse en un proceso deductivo.

Asimismo, cree que, para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior. Para ello, la única forma de agrupamiento que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual y el dinamizador ideal del aprendizaje es la lógica de construcción de la propia matemática.

En cuanto a aptitudes y actitudes de los alumnos, piensa que la capacitación del alumno es inalterable y justifica en gran medida los resultados del aprendizaje. Respecto a la actitud, la información inicial hacía pensar en que consideraba que la actitud del alumno hacia el aprendizaje es raramente transformable. Sin embargo, el consenso introdujo un pequeño matiz, pensando que en la actitud del alumno hacia el aprendizaje hay aspectos que pueden sufrir cambios.

PAPEL DEL ALUMNO

El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc. y opina que, cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno.

Respecto a lo que hace el alumno en el aula, hay una sobrevaloración implícita de los apuntes. El alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles todo aquello que proviene del profesor.

Como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia. Además, el alumno no se plantea procesar la información que recibe del profesor, ni en forma ni en fondo; sin embargo, asegura CG en la fase de consenso, él se equivoca en clase con cierta frecuencia, lo cual podría provocar otra actitud entre los alumnos, pero este cambio de actitud no se da, ya que CG no propicia momentos de reflexión y crítica sobre lo que se va aprendiendo.

PAPEL DEL PROFESOR

A pesar de ser un técnico del contenido y del diseño didáctico, no organiza los contenidos de aprendizaje, sino que los reproduce literalmente y, en unos casos, transmite verbalmente, y en otros transmite, mediante exposición, utilizando estrategias organizativas/expositivas que procuran ser atractivas.

En relación a la coordinación con otros profesores, ésta se refiere a la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su organización.

A esto hay que añadir el comentario realizado en la unidad 8 sobre una cuestión actitudinal del profesor que, aunque no se corresponde exactamente con ninguno de los indicadores estudiados, merece la pena destacar:

"...al profesor, la culpa se la echaría únicamente si no fuera sincero,...que no fuera coherente consigo mismo... la matemática...da pie...a que, como estás enfrentado a uno que sabe menos que tú, pues alguna cosa que te ha salido mal...intentas escabullirla, que no mienta...".

 

EVALUACIÓN

En la determinación de esta categoría ha sido importante la fase de consenso, debido a que se carecía de información respecto a algunos de sus indicadores. No obstante, hay que decir que no ha resultado determinante en cuanto a la tendencia.

La información obtenida inicialmente y la fase de consenso han puesto de relieve que CG compagina una concepción de la evaluación como una actividad que se debe realizar al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de medirlo, con una concepción según la cual el profesor cuestiona (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, dando asimismo dichos resultados una medida del aprendizaje individual.

Reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto y trata de medir la capacidad del alumno de retener información a corto plazo, valorando la aplicación mecánica de la misma. En cuanto a la subjetividad de sus valoraciones, predomina el hecho de no disponer de criterios explícitos, lo que hace que la valoración de los alumnos sea subjetiva. Las unidades de información impulsaban a suponer que lo anterior se combinara con otros casos en los que el grado de aprendizaje del alumno se catalogara en base a una taxonomía previa que se hubiera hecho explícita, pero la fase de consenso ha determinado el predominio comentado.

Para CG, sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, los contenidos de aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos inicialmente.

Respecto a la diferenciación individual, no había información y en la fase de consenso sólo dejó patente que su deseo es obtener información personalizada de los alumnos, de manera organizada, a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora. Ahora bien, él mismo era consciente de no llevarlo a cabo en la práctica con asiduidad. Además, es precisamente la ausencia de diferenciación individual lo que concuerda con el hecho de que, cuando al final de un período del proceso toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir aquellos aspectos que considera estructuralmente más relevantes, sin personalizar la recuperación.

Para CG el examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos está basado exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han sido impartidos con anterioridad.

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

 IV.2.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.2.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CM)	TIPO DE CTO.
13.Valoro, los problemas bien pensados y bien razonados y si hay algo que está mal o que...lleva a un resultado final que, sin embargo es coherente, eso también lo valoro 29.El criterio...iba a ser un poco el lógico, ¿no?, del desarrollo de la matemática. 33.Con el proceso de siempre (ha evolucionado la matemática a lo largo de la historia) ...de todas las Ciencias, de descubrimiento...meterse en una zona y colonizarla. 17.Lo fundamental es que dominen una serie de técnicas. 31.Si yo tengo que dar algo que quizás les enseñe a pensar, pues algo que también les pueda ser...útil.	P2:Conocimiento estructurado lógicamente   P2   P2       IN3:Útil IN3
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CM)	FIN
1.Tuve una formación demasiado pura, y ahora estoy...arrepentido un poco de eso...Me gusta más la matemática aplicada. 35.Es el mismo proceso (el que hace evolucionar hoy en día el conocimiento matemático)...ahora el problema...es la conexión entre unas cosas y otras, gente que está investigando sobre lo mismo, otros que están todos perdidos con una cosa que no tiene ningún interés o sabe Dios si llegará un día a tener interés. 1".El proceso que a mi juicio caracteriza la matemática es aquél que resume las propiedades de un objeto matemático particular y con ellas construye otro objeto más general.	IN4:Externo     P4:Interno           P4

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE CG (CM)

MODO EVOLUCIÓN

33.Con el proceso de siempre (ha evolucionado la matemática a lo largo de la historia) ...de todas las Ciencias, de descubrimiento...meterse en una zona y colonizarla. 36.Lo lógico es que se coja (el investigador) un tema, reducido, y se ponga a echarle horas y horas y... 7".Yo soy platoniano, creo que las Matemáticas se descubren, no se inventan, y en el descubrimiento hay mucho tesón, voluntad y esfuerzo. 34.Siempre un proceso de descubrimiento se basa en una concepción anterior...se da porque hay un desarrollo anterior que da pie a que se descubra una serie de cosas, luego ya depende un poco de las circunstancias. 3".Las Ciencias utilizan herramienta matemática. Las Matemáticas utilizan a las Ciencias como fuente de creación de nuevos problemas. 40.Si yo veo que funciona, sí (puedo aceptar un resultado que no esté apoyado en un proceso deductivo), claro. 32.A la investigación le aporta muchísimo (la matemática), al mundo profesional...hasta un ingeniero técnico tiene tablas para calcular todo tipo de cosas...¿a los profesionales de ese tipo?, pues es como el que aprende inglés o como el que hace deporte, sirve para desarrollar sus capacidades, pero práctica, no sé, no creo que demasiada. 37.(Para abordar el T. de Thales) pintaría las rectas paralelas de forma que se viera la cosa un poco evidente ...para que pudieran ellos deducir eso, ¿no? y preguntaría qué relación hay entre los segmentos que los corta, si es que hay alguna; si ellos no responden, yo se lo diría, si ellos lo responden, luego se lo explicaría... 2".La matemática es la expresión más pura de esa ansia de conocer a través del razonamiento. 4".Pienso que saber Matemáticas es saber resolver problemas... Las Matemáticas te enseñan a pensar. 5".Sí se puede hablar de prueba matemática...Esencial-mente es el enunciado lógico pÞ q... En las restantes ciencias algo es cierto mientras no se pruebe lo contrario.

P5:No se crea, se descubre. Punto de vista dogmático   P5   P5     P6:Cto. construido en base a resultados anter. y problemas provenientes de otras ciencias P6     IN7:Énfasis en la argumentación empírica P7:Razonamiento lógico             P7           P7   P7   P7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE CG

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUM.	PLATÓNICO	RES.PROBL.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1			*
	2		*
	3	*
FIN	4		*
MODO DE EVOLUCIÓN	5		*
	6		*
	7		*

 A pesar de la irregularidad de la primera categoría, puede hablarse de un dominio del modelo platónico, tanto en cuanto las otras dos categorías son claramente platónicas, por lo que quedará simbolizado por P.

IV.2.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE CG

TIPO DE CONOCIMIENTO

En cuanto al modelo mental sobre la matemática, sólo carecía información sobre el primer indicador, respecto al cual CG se situó en la fase de consenso próximo al indicador del modelo de Resolución de Problemas: los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

Concibe la matemática como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, de marcado carácter utilitario. En el consenso se ha sostenido que la matemática está impregnada de una serie de valores, pero las unidades de información son tan claras que se confirma el carácter predominantemente utilitario.

FIN

Considera que el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas.

MODO DE EVOLUCIÓN

Desde una perspectiva dogmática, el conocimiento matemático es concebido por CG como preexistente al individuo, estando, por tanto, tan sólo sujeto a su posible descubrimiento, pero no a creación. Asimismo, piensa que el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos.

Respecto al tipo de razonamiento, la información obtenida se inclina de forma patente por el modelo platónico; sin embargo, en la fase de consenso CG ha mostrado cierta inclinación por el modelo instrumentalista. Ello se debe a que CG parece ser platónico como matemático, aunque fuera de la matemática o incluso en sus clases permita algunos "devaneos" (argumentación empírica). En resumen, se confirma el modelo platónico, por lo que el instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática).

IV.2.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.2.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

DESCRIPCIÓN

Tras varias lecturas del enunciado para conseguir una buena imagen del problema, CG estudia unos cuantos cuadriláteros con la intención de obtener alguna propiedad en común que le permita encauzar el problema.

Aunque resuelve correctamente los casos del cuadrado, rectángulo, rombo y trapecio rectángulo, no le sugiere nada y trata de enfocar el problema desde otra perspectiva. Interpreta Dxd/2 como el área de un triángulo de base D y altura d, afirmando que los cuadriláteros solución serán los convertibles "al recomponerlos en un triángulo de base y altura las diagonales".

Abandona este camino para explotar la idea de que las diagonales deben cortarse perpendicularmente. Demuestra inmediatamente que eso es condición suficiente. Para demostrar que es también una condición necesaria, parte del triángulo de base D y altura d, mencionado anteriormente, y va moviendo d hasta dibujar un cuadrilátero genérico. La demostración con este cuadrilátero es correcta, salvo la conclusión de que α debe ser 0 o π, pero sólo se trata de un error de cálculo.

La resolución de la segunda parte, la descompone en dos casos, según sea par o impar el número de lados del polígono.

Para abordar el caso de número par de lados, representa un exágono regular, aunque sólo le sirve de visualización, pues trabaja siempre con n. Al hallar la longitud del lado en función del radio, comete inicialmente un error que después subsana (divide 2π por n, en lugar de por 2n). Consigue una fórmula para el área en función de la longitud de la diagonal máxima y de n, fórmula que no desarrolla por completo.

En el caso de n impar, emplea la relación entre ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente. Comete dos errores: utiliza el radio como altura y despeja mal r en función de l (debería poner r=l/(2 sen π/n)).

Tras obtener la fórmula del área, para n impar, en función de la diagonal máxima y de n, descarta, por "pereza", considerar otras diagonales. Asimismo se interroga sobre la posibilidad de obtener la fórmula sin que aparezca ninguna función trigonométrica y lo da por concluido.

VALORACIÓN

Conoce bien qué puede obtener del tanteo; sin embargo no le conduce a nada el tanteo inicial con cuadrado, rectángulo, rombo y trapecio rectángulo. Se precipita en el estudio de estos casos, con la intención aparente de encontrar alguna regularidad sin necesidad de pararse demasiado. En concreto, el tratamiento del rectángulo es incompleto, no parándose a ver qué condiciones deben darse para que axb sea igual a dxd/2, lo que le imposibilita ir estableciendo conjeturas.

Es positiva la decisión de abandonar el estudio del trapecio rectángulo tras suponer que no se cumple en él la fórmula, antes de introducirse en cálculos engorrosos.

El cambio de perspectiva siguiente es esencial a lo largo de la resolución, aunque de momento no le saque mucho partido. Da a entender que ha captado perfectamente la estructura del problema, formulando un enunciado equivalente con la intención de hacerse de una representación significativa del problema.

Es razonable la conjetura de la perpendicularidad de las diagonales en base a lo visto hasta ese momento. Muestra capacidad para racionalizar las soluciones en su demostración de las condiciones necesaria y suficiente. En concreto, en la prueba de la condición necesaria, hace uso de la idea del triángulo, lo que da idea de que, a pesar de los cambios de perspectiva, tiene confianza en sí mismo, en el manejo de sus recursos, desde el principio de la resolución y además da idea de su control del proceso, empleando en cada momento lo que más útil pueda ser, aunque haya pertenecido a una estrategia abandonada.

En la segunda parte del problema, se percibe un apresuramiento, un desprecio a los cálculos.

La descomposición en dos casos hace que le resulte más cómoda la resolución. Se echa en falta una revisión de la ejecución. También falta un intento de unificar las dos fórmulas, cambiando la elección de la diagonal. De todas formas, ya esto se puede entender como mejora de una resolución que, en líneas generales, es correcta.

Lo que no es razonable es que haya dado como solución una fórmula sin comprobar si generaliza el caso del cuadrado. Esto le hubiera llevado a revisar la ejecución.

Es positivo el hecho de plantear la posibilidad de simplificar la solución, aunque no lo aborde por falta de tiempo.

En resumen, ha elegido cuidadosamente los recursos, ha mostrado retener información matemática, ha tenido confianza en sí mismo y ha controlado el proceso, aunque, por otra parte, también ha dado a entender cierto malestar con las ejecuciones.

IV.2.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Dedica 5 minutos a leer detenidamente el enunciado hasta hacerse con el problema, hasta que lo expresa con sus propias palabras. Para ello visualiza la situación, haciéndose una imagen mental de los jugadores y el entrenador.

A continuación elige 11 números de forma que no estén próximos unos a otros. No obstante, no los utiliza en adelante, pues piensa que sería una pérdida de tiempo sumar todos los grupos. Asimismo, descarta estudiar un ejemplo con menos números, ya que "no estaba seguro de que la propiedad se cumpliera, en vez de con 11, con 4 ó con 3 o con...". Incluso tuvo en mente que "era posible una relación entre el 1000, que era múltiplo de 10, y el 11, y se me pasó por la mente hacer múltiplos de 3 y el 2 o algo de eso, pero lo vi demasiado poco probable...".

Seguidamente considera 11 números ordenados crecientemente y plantea una posible igualdad entre dos sumas, decidiendo dejar todas las x_i en un miembro, igualando a 0, para después sumar y restar varios x_j con la intención de establecer la igualdad a 0 en función de diferencias entre los x_i. Su propósito es obtener una sucesión de orden inferior, con la que, por consiguiente, sería más fácil trabajar y deducir relaciones que después intentaría extender a la sucesión original. Tras efectuar un primer planteamiento, le parece que no va a encontrar ninguna relación entre los 10 números x_i-x_i-1.

Luego cambia de estrategia, intentando aplicar conocimientos de espacios vectoriales, pero en seguida se da cuenta de que no puede hacerlo, pues (N,+) no es un grupo.

A continuación, recuerda dos problemas de Puig Adam alusivos al obstáculo que puede suponer dejarse llevar a ciegas por la intuición. También piensa que se podría resolver por reducción al absurdo, pero no llega a profundizar en ello, tras lo cual se introduce en el último planteamiento de resolución, por combinaciones.

Calcula el número de posibles sumas, descartando C_11,11 y C_11,1, éste por considerar imposible que dos de los 11 números coincidan. Luego establece el caso máximo, cuya suma sería menor que 11000, argumentando la existencia de, al menos, dos sumas coincidentes en base a que el número total de sumas distintas, antes calculado, 2¹⁰-1, es mayor que 11000, pero pronto se percata de que 2¹⁰=1024, por lo que concluye que tampoco es correcto el razonamiento, terminando así el protocolo.

VALORACIÓN

Tiene claro que es importante hacerse con una buena representación del problema antes de sumergirse en la resolución propiamente dicha.

Es correcta su decisión de no calcular las sumas correspondientes al ejemplo inicial, sin embargo, la decisión de descartar el estudio con menos números es desafortunada, basada en una hipotética relación entre el 1000 y el 11.

Se trata de un hecho que se repite a lo largo de la resolución: busca varios métodos, en pos de un procedimiento que le permita obtener directamente la solución, pero no profundiza en las condiciones del problema, no tantea con unos cuantos números a ver qué implican las condiciones del enunciado.

Además, da casi por hecho que cualquier conjunto de 11 números del 1 al 1000 posee, al menos, dos subconjuntos disjuntos con la misma suma de elementos, conjetura que en ningún momento se cuestiona. Haber intentado imponer las condiciones a unos cuantos números le podría haber conducido a un planteamiento en profundidad de dicha conjetura.

No concuerda el comentario relativo a los problemas de Puig Adam, en el que dice que no se debe dejar llevar uno por la intuición, con la falta de cuestionamiento de la mencionada conjetura. Parece, pues, que hay un rechazo al cálculo, lo cual, en principio, no es ni bueno ni malo; lo que sí resulta determinante en la resolución es el rechazo a buscar posibles regularidades a partir del estudio de casos más simples.

El proceso, en lo referente al estudio de las diferencias entre los 11 números y en lo referente a la aplicación de conocimientos de espacios vectoriales, es correcto, con sus correspondientes planteamiento y revisión. Sin embargo, la aplicación del cálculo combinatorio es confusa, descartando casos que deben ser considerados, como el de la suma de todos los números y el de cada uno de ellos por separado, pareciendo haber perdido el norte del problema. De nuevo en esta parte del protocolo, se nota la obsesión por encontrar un procedimiento contundente que aboque en la solución (caso extremo menor que 11000-sumas distintas mayor que 11000).

En suma, una resolución caracterizada por una muestra de información matemática, así como por una inversión adecuada de tiempo en adquirir una idea de lo que se solicita, una búsqueda agobiante de métodos generales y una ausencia de tanteo en pos de regularidades, descartando el estudio con menos números, lo que le hace, al final, incluso perder un poco la línea de la resolución.

Por otra parte, le ha faltado confianza en sí mismo ("No siempre se pueden hacer las cosas bien") y no ha profundizado lo suficiente en las condiciones del problema.

La organización temporal es buena y su conocimiento específico parece accesible, fallando en la aplicación de su conocimiento estratégico, pues, a pesar de emplear correctamente algunas estrategias de revisión, otras decisiones de control han sido erróneas, condicionando el éxito de la resolución.

IV.2.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº 3

DESCRIPCIÓN

La lectura del enunciado le lleva a considerarlo un problema típico de divisibilidad, "que siempre se resuelven por congruencias módulo", aunque seguidamente aborda unos cuantos ejemplos, no retomando explícitamente más lo de las congruencias.

A continuación, formula la conjetura de que los posibles números solución no deben acabar en 3,4,6,7,8,9, lo que pasa a demostrar por reducción al absurdo. Inicia la demostración considerando posibles valores para b (cifra de las unidades)y escribe 5 en lugar de 6, aunque, por lo que desarrolla a continuación, parece ser tan sólo un despiste. Seguidamente expresa el número completo en la forma s=10k+b y considera el número 100k+b como el obtenido a partir de s añadiendo una unidad de orden mayor, percatándose inmediatamente de la incorrección. De lo que no se percata es del error cometido al despejar b, tras plantear que 100k+b=n(10k+b), error que no influye en el desarrollo del protocolo, ya que abandona esa notación y se inclina por la expresión polinómica de los números.

Llama t al número que se obtiene al añadir un 1 por la izquierda a s y escribe que s no divide a t, basándose en que 10^k+1/s no es entero por no ser s múltiplo de 10, ya que b no es 0. Puede volver a ser un despiste haber escrito "múltiplo" en vez de "divisor", pero de todas formas el argumento es erróneo, ya que, por ejemplo, 25 no es divisor de 10 y sí lo es de 100, por lo que la clave no está en que b no sea 0, sino en que los divisores de 10^k+1 no terminan en 3,4,6,7,8 o 9.

Así, pues, a partir de s y t ha demostrado su conjetura, expresando que los posibles números solución deben acabar en 2 o en 5, lo que pasa a demostrar de forma general. Impone las condiciones del enunciado y restricciones que no justifica hasta llegar a la conclusión de que los únicos números son el 2 y el 5. Para ello se basa finalmente en que 10^k+1/(a+a₁10+...+a_k10^k) es entero si y sólo si a₁=...=a_k=0 y a|10, lo cual es, evidentemente, falso (por ejemplo, 100/10, 100/20, 100/25, ... son enteros y no cumplen esas condiciones).

Finalmente, indica que la solución son los números 10^k, 2x10^k y 5x10^k, aunque no lo justifica.

VALORACIÓN

Todo el protocolo destila la impresión de que tiene prisa por acabar, faltando justificaciones necesarias y profundización en la comprensión.

A pesar de que inicialmente piensa que un determinado método le puede ser útil, no lo emplea después, sin hacer comentario alguno sobre la viabilidad o no de tal método.

Es positivo el comienzo, estableciendo una conjetura en base a unos cuantos ejemplos.

También es correcto el planteamiento formal posterior, encaminado a ver qué números, de los acabados en 2 o en 5, son solución. No obstante, su desarrollo está exento de justificación alguna, imponiendo unas condiciones que no justifica en absoluto.

Al final, incluso añade soluciones que ve, pero que no le han salido en el estudio formal; sin embargo, este hecho no le lleva a revisar el razonamiento empleado, debido a las prisas y a sus ganas de acabar el problema, como expresa en la entrevista (da el problema por acabado 14 minutos antes del límite de tiempo).

No se trata, como cree, de justificar que son también solución, sino de revisar una ejecución que las había descartado implícitamente. Por ello, esta falta de justificación es grave, ya que podría ocurrir que todo el desarrollo anterior fuera incorrecto, lo que no parece preocuparle.

No ha profundizado en las condiciones del enunciado, leyéndolo una sola vez, lo que le impide pensar en números que no sean enteros.

Es negativo el hecho de que, habiéndosele pasado por la cabeza la posibilidad de considerar el 25, no lo hiciera realmente.

No estudia en profundidad las soluciones que va obteniendo, lo que le conduce, por ejemplo, a no sacar partido de la expresión 10^k+1/s, cometiendo además un error de tipo lógico (si s no divide a 10, no divide a 10^k+1).

En ningún momento busca la coherencia del proceso, que parece una sucesión de hechos aislados. No busca, en la misma línea, una idea o estrategia que englobe todo el protocolo, a pesar de tener clara la estructura del problema.

Se conforma con el hallazgo de una regla, sin entrar en más detalle y en el análisis de la medida en que dicha regla puede ser útil.

Efectúa una mala combinación entre la parte mecánica del proceso y la parte intuitiva, faltando rigor en ambas.

IV.2.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

En su respuesta a C1 evidencia su temor al ridículo, su sentido de la responsabilidad y, por encima de esto, su ansia de superación:

"...Cuando la responsabilidad y el miedo al ridículo me dominan, suelen salir las cosas mal...en mi caso puede más el ansia de superación que el "miedo"...de forma que a pesar de todo veo positivo que esa actitud sea pública...".

 

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

2) Los afronta en solitario. Si necesita ayuda, puede incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución).

En C3 afirma afrontar los problemas en solitario y la necesidad de ser consciente de las propias capacidades:

"...Suelo pedir poca ayuda...si veo que es superior a las posibilidades,...intento convivir con él...".

 

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.5) El enfrentamiento a problemas es habitual en su quehacer docente y/o investigador, o como divertimento, alternando el abordaje individual con el grupal.El enfrentamiento a ejercicios proviene casi exclusivamente de la necesidad que emana del abordaje de los problemas.

En C4 el resolutor estima hallarse algo acostumbrado a enfrentarse a problemas y dice:

"...he pertenecido a un seminario de Matemáticas en el que nos planteábamos darle un giro a la enseñanza de matemáticas basado en la resolución de problemas...".

Añade que en todo proceso hay

"...cambios cuantitativos [acumulación de conocimientos]...y...cualitativos (cambios de actitud o de punto de vista)..." y

dice encontrarse en un período de acumulación, aunque

"...Hace años veía como único camino de evolución el cambiar mi enseñanza incorporando nuevos métodos...".

 

En C5 afirma haber trabajado y seguir trabajando en grupo intentando resolver problemas de investigación. Además

"...Me gusta compartir y a cambio suelo ceder...Pero esto no es puro,...toda persona intercala trabajo en grupo e individual...".

 

Finalmente, en C17 aclara su actitud hacia los ejercicios:

"...los calculotes no me gustan demasiado y más de una vez me he estancado debido a un error tonto en los cálculos ...".

 

 

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

4) La predisposición usual ante un problema es de curiosidad, mostrando interés tanto en el resultado como en su posible abordaje, abandonando en contados casos.

Aunque en C3 es preguntado por su actitud ante los problemas cotidianos, al final de su respuesta hace referencia a los problemas matemáticos:

"...Intentar resolver un problema es un reto que de hecho tiene más importancia que el hecho de resolverlo, es una aventura, pero hay que obtener algún beneficio...",

lo que corrobora en C2:

"...lo importante no es el fin sino el medio...".

 

En C6 dice que su primera impresión ante un problema es de expectativa y que

"...Ahora suelo ser selectivo con los problemas..."

por problemas de disponibilidad de tiempo.

Por su parte, en C8 pone de relieve su perseverancia ante los problemas, abandonando si acaso cuando no es de su interés. Si el problema le interesa, el abandono sólo se produce después de un intento concienzudo de resolución, y dicho abandono en realidad no es tal, sino una conservación en su memoria. Y añade:

"...conservo en la memoria los retos que supusieron y también el entorno emotivo al que estaban asociados...",

destacando así la importancia que concede al rasgo de reto que supone un problema.

Dice encontrarse a gusto cuando está resolviendo un problema; sin embargo, le desagrada el problema como prueba de competencia:

"...la vertiente pública del problema no me gusta,...para demostrar que sé más que otro..." (C9).

 

En general, su actitud ante los problemas planteados es buena, salvo en el tercero:

"...Tenía ganas de acabar lo antes posible el problema..." (3U2).

 

1.4.2. Confianza en sí mismo.

4) Confía bastante en sus posibilidades y en que el problema no se le resista. La inseguridad que a veces muestra cuando se enfrenta a problemas que caen en áreas que no domina le lleva a intentar abordarlos usando otros procedimientos.

Cuando un problema cae en un área de poca confianza, su atención la hace depender del tiempo y del gusto, y añade:

"...si cumple estas dos condiciones y no lo sé resolver puede que me motive para conocer más sobre el tema..." (C24),

lo que confirma en C21:

"...me gustan los problemas que me motivan a estudiar otras teorías matemáticas que desconozco...".

 

Lo expuesto anteriormente da muestras de tener confianza en sus posibilidades, al mismo tiempo que es consciente de las mismas:

"...se podría decir que tengo o no tengo formación para abordar tal o cual problema..." (C7).

 

En el primer protocolo, cuando en la prueba de la condición necesaria (E5) hace uso de la idea del triángulo, pone de relieve que, a pesar de los cambios de perspectiva, posee confianza en sí mismo, consciente de que domina la situación. También dice:

"...cuando...he recordado esa fórmula [ángulo inscrito, E7],...he tenido cierta seguridad de que yo iba a saber hacer el problema..." (1U6),

pero esta frase puede interpretarse como consciencia de la utilidad del conocimiento o como falta de confianza en sus posibilidades, caso de no disponer de una fórmula, por lo que debe eludirse su utilización categórica, si bien, a tenor del resto de la información, más parece informar de aquello.

También hay una frase en la entrevista correspondiente al segundo problema que no se sabe bien hasta qué punto debe interpretarse como falta de confianza en sí mismo:

"...No siempre se pueden hacer las cosas bien..." (2U3).

Dicha frase es la que da como justificación de su actitud al enfrentarse al problema, donde considera que será bastante probable que no lo resuelva, ya que el primero sí lo resolvió:

"...estaba más predispuesto a fracasar que en el otro..." (2U1).

 

Cuando en la entrevista posterior al tercer problema expresa

"...los datos estaban claros y, únicamente, lo que había es que expresarlos en condiciones..." (3U5),

denota confianza en sí mismo, en su capacidad de dominar la situación sin necesidad de profundizar más en los datos del enunciado. Quizás en este caso deberíamos hablar de exceso de confianza (unido al deseo de terminar pronto), como reconoce en la misma entrevista:

"...en el momento que encuentras...un camino, una técnica, el problema siempre...suele ser sencillo, aunque luego...no seas capaz de resolverlo...y eso fue lo que ocurrió..." (3U4).

 

Como colofón, puede tomarse parte de su respuesta a C13:

"...confío en mis recursos...".

 

  

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

4) Suele mostrar un conocimiento organizado y accesible, capaz de relacionar diferentes aspectos. Dispone de una considerable retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos.

En el primer problema pone de manifiesto que retiene suficiente información matemática para resolverlo, empleando fórmulas sin miedo, a pesar de sus errores de cálculo (E5, E6, E7).

Su conocimiento matemático también parece accesible en el segundo protocolo, coincidiendo con su apreciación:

"...siempre se requieren unas técnicas,...pero...supongo que estos problemas que están puestos aquí no son de unas técnicas muy particulares...y eso lo que hay que aplicar son formas de razonamiento o esquemas anteriores...y eso yo creo que sí,...que dispongo de..." (2U5).

Dispone de un repertorio, del que conoce sus aplicaciones y condiciones de aplicación (técnica de Newton (E3):

"...cuando una sucesión es recurrente y tiene una fórmula complicada,...la sucesión formada por las [diferencias entre] cada término y el anterior es una sucesión que sigue siendo recurrente, pero es...de un orden menor..." (2U7),

espacios vectoriales (E4):

"...en la carrera, muchas veces,...se aplican técnicas...de espacio vectorial...para estudiar problemas numéricos...También...un problema que había...relacionado...con la paridad..., esas cosas están relacionadas con grupos y con subgrupos y me pareció que por ahí iba bien la cosa..." (2U9),

tipo de problemas que suelen resolverse por reducción al absurdo:

"...los problemas...en los que hay una propiedad...bonita...que no hay manera de atacarlo suelen salir bien por reducción al absurdo..." (2U13)).

 

En el tercer protocolo vuelve a mostrar conocimientos accesibles, entendiendo no sólo de conceptos sino de métodos (congruencias módulo para problemas de divisibilidad, E1) y persisten, por otra parte, algunos errores de cálculo y de tipo lógico (E2, E3, E4).

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

5) La memoria es útil; los procedimientos alternativos serán origen de posibles conexiones y/o profundización en algunos conocimientos.

CG se dedica a la investigación en Matemáticas y, consecuentemente, se halla centrado

"...en los [problemas] que me proponen en el curso de doctorado y todo lo que esté relacionado con esto..." (C6).

Con esta información, y sabiendo que, si un problema le interesa, no suele dejarlo (C8), hay que interpretar su respuesta a C19, que se transcribe íntegra:

"...[La memoria desempeña] Un papel importante, es uno de los tres factores que he descrito como importantes para resolver un problema. Si el problema no sé modelarlo, o sea, no sé enmarcarlo en cierta teoría matemática y el problema me interesa, lo aparco hasta nueva orden, en caso contrario lo olvido. Si sé enmarcarlo en una teoría matemática, o sea, si sé que expresando en términos de dicha teoría podría resolverlo y el problema me interesa, seguro que me motiva a estudiar ese campo matemático...".

 

Todo esto se pone especialmente de relieve en su abordaje del segundo problema, en el que, desprovisto de un plan viable al comienzo de la resolución, intenta conectar (aunque no tenga éxito) con conocimientos en principio alejados en busca de procedimientos alternativos.

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

4) Obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

El cambio de perspectiva efectuado al pasar de E2 a E3 es esencial a lo largo de la resolución del primer problema, aunque de momento no le saque mucho partido. Da a entender que ha captado perfectamente la estructura del problema, formulando un enunciado equivalente (E3) con la intención de hacerse de una representación significativa del problema, la cual consigue perfectamente.

Muestra de la comprensión de la situación planteada en el segundo problema es su análisis de ejemplos adecuados:

"...en el ejemplo más sencillo ya rompes...la situación...estás intentando probar algo que es más general que lo que te pide el problema..."(E2).

Aunque logra expresar la situación con sus propias palabras, muestra dificultades a la hora de formalizar la situación, como puede observarse sobre todo en el desorden reinante en el abordaje definitivo (E6).

También capta la estructura del tercer problema e incluso formaliza correctamente la situación (comienzo de E4). No obstante, quizás con menos prisas podría haber profundizado en las condiciones del enunciado y haber tenido en consideración números no enteros.

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

Inicialmente tantea sin obtener regularidades en el primer protocolo (E2), a pesar de su propósito:

"...[Manipulo inicialmente] Buscando algún tipo de información..., algo que tenga en común de lo que pueda sacar yo alguna conclusión..." (1U3),

No obstante, la planificación es relevante para la solución. En efecto, su planificación, tras evaluar (intuitivamente) la conveniencia de cada estrategia, es eficaz, pues obtiene resultados plausibles.

La decisión de descartar el estudio con menos números en el segundo problema (E2) es desafortunada, basada en una hipotética relación entre el 1000 y el 11. Por otra parte, no profundiza en las condiciones del problema, no tantea con unos cuantos números a ver qué implican las condiciones del enunciado. En definitiva, no ha obtenido una planificación eficaz. A la inexistencia de un plan relevante para la solución ha podido ayudar su preconcepción sobre el tipo de problema a presentar en esta clase de trabajos:

"...me parece un problema muy pobre que tú me vengas aquí con una cuestión para que yo te pusiera un ejemplo con calculote en el que no se probara..." (2U10).

Da casi por hecho que cualquier conjunto de 11 números del 1 al 1000 posee, al menos, dos subconjuntos disjuntos con la misma suma de elementos:

"...[Has conjeturado] que cualquier conjunto de 11 elementos [tenía subconjuntos de igual suma]..." (2U11,

conjetura que en ningún momento se cuestiona. En concreto, el último plan (E6) no está suficientemente estructurado, se pormenoriza a lo largo de la ejecución.

Es positivo el comienzo de la resolución del tercer problema, estableciendo una conjetura en base a unos cuantos ejemplos (E2). Sin embargo, no dispone de una idea o estrategia que englobe todo el protocolo, a pesar de tener clara la estructura del problema. Globalmente puede decirse que efectúa una mala combinación entre la parte mecánica del proceso y la parte intuitiva, faltando rigor en ambas. Así, pues, la planificación es parcialmente eficaz, faltándole la consideración organizada de números que después aparecen como solución sin justificación (E5).

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

3) La ejecución es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

En la ejecución del primer problema, que es coherente con la planificación, abundan los errores, aunque sin demasiada importancia. En la segunda parte (E6, E7) se percibe un apresuramiento, un desprecio a los cálculos. En efecto, en la primera parte (E2), el tratamiento del rectángulo es incompleto, no parándose a ver qué condiciones deben darse para que axb sea igual a dxd/2, lo que le imposibilita ir estableciendo conjeturas. La demostración de la condición necesaria de E5 es correcta, salvo la conclusión de que α debe ser 0 o π, pero sólo se trata de un error de cálculo. Hace un buen uso de la generalización al afrontar la segunda parte; en concreto, en E6 el dibujo del exágono no le sirve más que como referencia visual, siendo su razonamiento totalmente general, pues trabaja siempre con n. Al hallar la longitud del lado en función del radio, comete inicialmente un error que después subsana (divide 2π por n, en lugar de por 2n). En el caso de n impar (E7) comete dos errores: utiliza el radio como altura y despeja mal r en función de l (debería poner r=l/(2 sen π/n)). En suma, a la coherencia de la ejecución con la planificación hay que añadir que aquélla le permite incluso aportar una solución global al problema.

Cada ejecución del segundo protocolo es coherente con su plan, aunque ineficaz al final del protocolo; la aplicación del cálculo combinatorio (E6) es confusa, descartando casos que deben ser considerados, como el de la suma de todos los números y el de cada uno de ellos por separado, pareciendo haber perdido el norte del problema. Parece que hay un rechazo al cálculo, lo cual, en principio, no es ni bueno ni malo; lo que sí resulta determinante en la resolución es el rechazo a buscar posibles regularidades a partir del estudio de casos más simples (E2).

La ejecución de la resolución del tercer problema es coherente con la planificación, cometiendo errores que no influyen en el conjunto de soluciones. El hecho de escribir 5 en lugar de 6 al comienzo de E2 parece ser sólo un despiste a tenor de lo que desarrolla a continuación. Seguidamente expresa el número completo en la forma s=10k+b y considera el número 100k+b como el obtenido a partir de s añadiendo una unidad de orden mayor, percatándose inmediatamente de la incorrección. De lo que no se percata (todavía dentro de E2) es del error cometido al despejar b, tras plantear que 100k+b=n(10k+b), error que no influye en el desarrollo del protocolo, ya que abandona esa notación y se inclina por la expresión polinómica de los números. A continuación, ya en E3, llama t al número que se obtiene al añadir un 1 por la izquierda a s y escribe que s no divide a t, basándose en que 10^k+1/s no es entero por no ser s múltiplo de 10, ya que b no es 0. Puede volver a ser un despiste haber escrito "múltiplo" en vez de "divisor", pero de todas formas el argumento es erróneo, ya que, por ejemplo, 25 no es divisor de 10 y sí lo es de 100, por lo que la clave no está en que b no sea 0, sino en que los divisores de 10^k+1 no terminan en 3,4,6,7,8 o 9. En definitiva, la ejecución, aunque coherente con el plan, sólo ha posibilitado soluciones parciales.

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En C14 afirma:

"...no soy metódico,...cuando tengo una idea...corro como un caballo desbocado,...a menudo me equivoco y cuando vislumbro el final suelo abandonar... No los reviso, en general [los cálculos]..., [salvo si] hay responsabilidad pública...",

poniendo de nuevo de relieve su interés por la resolución más que por los resultados, además de un claro menosprecio hacia los cálculos, que no suele revisar.

Afirma en la entrevista correspondiente al primer problema no haberle dado tiempo de revisar la ejecución (1U9), aunque tal afirmación parece ser una excusa, de acuerdo con la escasa importancia que concede a los cálculos:

"...puede que los cálculos no sean correctos, pero creo que eso no debe importar..." (E8).

Una prueba patente de su desagrado por revisar es que da por acabada la resolución a los 37 minutos y desde el minuto 31 aproximadamente poseía la solución, invirtiendo ese tiempo intermedio en aclarar algunas cosas (como la cita anterior) y explicitar el planteamiento de una posible mejora de la solución. En este protocolo se echa en falta la mencionada revisión de la ejecución, debido a los errores cometidos en ella.

En el segundo problema emplea con frecuencia la revisión o verificación (E2, final E3, final E4, final E7), pero no se trata de una revisión de proceso o cálculo, sino una valoración de la adecuación de la estrategia que ya se referirá en 3.4.. Más aún, la última verificación, al final del protocolo (E7), en la que dice no ser tampoco correcto ese razonamiento (E6), se debe más al hecho de encontrarse con un dato (2¹⁰=1024) que le distorsiona que a la voluntad de efectuar una revisión.

En el segundo problema todavía podría darse como excusa de la falta de revisión el hecho de que, en realidad, hasta E6 no desarrolla un plan, pero en el tercero también escasea la revisión y, sin embargo, no hay cambios bruscos en la planificación y además da la resolución por concluida a los 26 minutos. Por otra parte, en este problema también se echa en falta dicha revisión, pues comete varios errores. Al final, incluso añade soluciones que ve, pero que no le han salido en el estudio formal; sin embargo, este hecho no le lleva a revisar el razonamiento empleado, debido a las prisas y a sus ganas de acabar el problema:

"...lo vi claro [que eran soluciones las escritas al final de la resolución] y me dio pereza otra vez de justificarlo teóricamente. Tenía ganas de acabar lo antes posible..." (3U2).

No se trata, como cree, de justificar que son también solución, sino de revisar una ejecución que las había descartado implícitamente (final E3 y final E4). Por ello, esta falta de justificación es grave, ya que podría ocurrir que todo el desarrollo anterior fuera incorrecto, lo que no parece preocuparle.

2.5. Nivel de acabado de la solución.

2) Obtenida una solución, tan sólo intenta simplificarla (lo que supone una manipulación exclusivamente con la parte final de la ejecución) o expresarla de otra forma. En raras ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

Se muestra seguro de lo razonable de la solución del primer problema (refiriéndose a la solución general de la segunda parte para número de lados par, E6):

"...estaba seguro, intuitivamente, de que eso era razonable, pero no lo he hecho conscientemente..." (1U10),

ahora bien, lo que no es razonable es que haya dado como solución una fórmula sin comprobar si generaliza el caso del cuadrado. Esto le hubiera llevado a revisar la ejecución. No profundiza en la relación entre área, diagonal y número de lados en la fórmula, faltando un intento de unificar las dos fórmulas (final E6 y final E7) cambiando la elección de la diagonal, pero en E7 deja claro que

"...tengo pereza de considerar otras diagonales..." .

De todas formas, ya esto se puede entender como mejora de una resolución que, en líneas generales, es correcta. Es positivo asimismo el hecho de plantear la posibilidad de simplificar la solución (E9), aunque no lo aborde por falta de tiempo:

"...Cuando estaba expresado en forma trigonométrica,...he pensado que se podría expresar en función, únicamente...de las diagonales, para que no aparecieran términos con funciones trascendentes...en la expresión, por analogía con la parte primera del problema..." (1U11).

Respecto a la primera parte, muestra capacidad para racionalizar las soluciones en su demostración de las condiciones necesaria y suficiente (E4 y E5).

Poco puede decirse del segundo problema, más que la conjetura que impulsa su resolución está poco fundamentada, echándose en falta haber impuesto las condiciones del enunciado a unos cuantos números (E2).

Todo el tercer protocolo destila la impresión de que tiene prisa por acabar (constatación que ya se ha hecho y justificado), faltando justificaciones necesarias. En concreto, cuando pasa a demostrar que los posibles números solución deben acabar en 2 o en 5 (E4), impone las condiciones del enunciado, y restricciones que no justifica, hasta llegar a la conclusión de que las únicas soluciones son el 2 y el 5. También, al final del protocolo indica que la solución son los números 10^k, 2x10^k y 5x10^k, aunque no lo justifica. Incluso, en su primera solución dada en E3, no profundiza, por lo que no saca partido de la expresión 10^k+1/s. Hay que añadir que a la pregunta de por qué no justifica el resultado o lo amplía un poco, responde:

"...lo vi claro y me dio pereza otra vez de justificarlo teóricamente..." (3U2),

lo que indica su paso superficial por el protocolo. Esto también justifica el que tampoco se plantee llegar al resultado de otra manera. Incluso respecto a la expresión final reconoce no haberla meditado lo suficiente:

"...la intención mía era expresar rápidamente todas las posibilidades...y, de verdad, que no estaba suficientemente maduro..." (3U6).

Se conforma finalmente con el hallazgo de una regla, sin entrar en más detalle y en el análisis de la medida en que dicha regla puede ser útil (E5).

 3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

4) Bastante, aunque no lo lleve a cabo de una sola vez al principio, pudiendo quedar algo suelto. Hay un contraste detallado en el momento adecuado entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento.

Su respuesta a C13 pone de manifiesto que concede importancia a la obtención de una representación significativa, aunque puede que no la lleve a cabo de una sola vez al principio:

"...no soy metódico,...estoy [casi] continuamente volviendo al principio... [No es mi caso] no [pasar] a la siguiente [etapa] hasta creer que esta completa la etapa [anterior]... Comienzo una idea y si no me lleva a buen término..., vuelvo a leer el problema o a considerar otra idea...".

 

Esto se ve confirmado en el primer problema:

"...Sí, varias veces. Y no porque no lo entendiera, sino porque, quizás al leerlo varias veces...te diera la posibilidad...de imaginarte más cosas, pero no. El enunciado era...totalmente escueto..." (1U2),

releyendo el enunciado (E1), a pesar de su claridad, con el objetivo de hacerse una idea completa de lo que se pretende con el problema, aunque esto le suponga invertir algo de tiempo.

Al comienzo de la entrevista correspondiente al segundo problema dice lo siguiente:

"...Pensé...que no importaba el resultado del problema, sino...lo que hiciera. Y a partir de ahí,...empecé a imaginarme la situación. Visualicé al jugador, a los jugadores, visualicé al entrenador, el campo de fútbol [E1], y luego me puse a...pensar en eso,...a ver qué podría ocurrir..., me paré mucho...en el principio y lo iba leyendo poco a poco, pero creo...que luego quizás lo leyera alguna otra vez. Pero me detuve mucho...en leerlo.... Verás: la técnica no fue leerlo muchas veces,...sino despacio el problema entero,... lentamente..." (2U2),

evidenciando la importancia de hacerse con una buena representación del problema antes de sumergirse en la resolución propiamente dicha, dedicando a ello tiempo y energías.

En el tercer problema es más difícil observar este indicador, ya que, como expresa en la entrevista,

"...lo leí y lo comprendí y ya está, solamente una vez..." (3U3),

la comprensión fue inmediata. No profundizó, sin embargo, en las condiciones del enunciado para ampliar el campo de aplicación (otros conjuntos numéricos), pero esto puede deberse a las prisas o a la usual asociación de la divisibilidad al conjunto de los enteros.

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

5) El resolutor piensa que la resolución de un problema puede depender en gran medida de una buena planificación, por lo que le otorga gran importancia y piensa que debe volverse a ella siempre que lo requiera el proceso, siendo, por tanto, consciente de que los posibles errores en el proceso, además de hallarse en la ejecución, pueden estar también en el plan diseñado.

Ya se ha referido en 3.1. (C13) que no es metódico, pero concede importancia a la obtención de una buena planificación:

"...Cuando leo un problema, estoy pensando a la vez en un modelo, algo parecido que conozca, un lenguaje apropiado para el problema, etc, abro todo un abanico de posibilidades...".

 

Es claro el comentario final de la entrevista posterior al primer problema:

"...[En la primera parte] me...he planteado la posibilidad...de que pensar en otra cosa me iba a restar tiempo para acabar el problema, pero eso es un riesgo que siempre tienes que correr, porque...cuando estás tanteando, no sabes cómo resolverlo. Perder tiempo en otras ideas muchas veces es ganar tiempo..." (1U13),

donde expresa su decisión de invertir tiempo en hacerse de una buena planificación. Tiene claro que no debe introducirse en ejecuciones infructuosas, planteándose continuamente cuál es la estrategia más apropiada.

En el segundo protocolo también se aprecia sus deseos de obtener una buena planificación antes de desarrollar una ejecución. Son notorios los cambios de estrategia (E3, E4, E6), aunque en definitiva no consiga una planificación eficaz.

El tercer problema es una confirmación de lo dicho:

"...intenté ponerme casos sencillos a ver cómo funcionaba..., la idea fue encontrar un lenguaje apropiado con el cual el problema se resolvía..." (3U1).

Así, pues, tras considerar el problema asequible, como también asegura al comienzo de la entrevista, invierte tiempo y esfuerzos por obtener una planificación adecuada.

Finalmente, una constante en los tres protocolos es la flexibilidad mostrada a la hora de abandonar una estrategia por otra en principio mejor.

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

2) La explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

En el primer protocolo la explicitación del estado de la ejecución es escasa. En los episodios E2 y E5 se limita a narrar lo ocurrido. Sobre todo en E5 se echa en falta una aclaración de lo que pretende con los movimientos de las diagonales. En E6 y E7 se dedica a aplicar una serie de fórmulas sin dar a conocer explícitamente sus intenciones (por ejemplo, el uso de las figuras como exponentes de casos generales, no como casos particulares).

La cortedad de la constatación escrita de E2 en el segundo protocolo da pie a pensar que no concede gran importancia a la explicitación de lo que va haciendo o lo que pretende hacer, hecho que se pone de relieve en E3, donde aplica una técnica sin dar explicación de su utilidad dentro de la resolución. Tan sólo explicita la elección de los sumandos en E6, aunque tampoco expone la utilidad de dicha suma.

En cuanto al tercer protocolo, ya se ha comentado la parquedad de sus explicaciones, llegando a conclusiones sin haber aclarado las simplificaciones efectuadas (E4). No hay prácticamente explicitación del porqué de algunas acciones, como el intento de probar que el número debe acabar en 2 o en 5 (paso de E3 a E4).

3.4. Coherencia y control del proceso.

3) La coherencia y la organización se pierden y se vuelven a recuperar a lo largo del proceso, teniendo éste, por tanto, partes que corresponden a la idea general en distintas fases del proceso de resolución. En raras ocasiones existe un planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. En general, los malos planteamientos son cortados antes de enfrascarse en ellos, pero los recursos no son suficientemente explotados. Le concede cierta importancia al control del proceso, pensando que puede tener algo de influencia en la correcta resolución de un problema.

En C14 afirma no ser metódico:

"...cuando tengo una idea, un proyecto, corro como un caballo desbocado...pero a menudo me equivoco y cuando vislumbro el final suelo abandonar...",

dejando patente que puede perder conscientemente las "riendas" del proceso.

En el primer protocolo es positiva la decisión de abandonar el estudio del trapecio rectángulo tras suponer que no se cumple en él la fórmula (E2), antes de introducirse en cálculos engorrosos. El proceso es coherente. Los aparentes tumbos se deben a la búsqueda de mejores estrategias, pero no pierde el norte. Lleva en mente el control del proceso:

"...intuitivamente, sabes si vas por un camino o no vas por un buen camino, y las ideas que, más o menos... todos los caminos que hayas más o menos tocado están siempre presentes, de cuando en cuando saltas de uno a otro..." (1U7)

y el protocolo denota una buena organización. Aplica lo valioso de una estrategia, aunque ésta haya sido abandonada por el momento, como ocurre, en concreto, en la prueba de la condición necesaria (E5), en la que hace uso de la idea del triángulo (Dxd/2 le sugiere el área de un triángulo, E3), lo que pone de manifiesto su control del proceso:

"...Yo al principio intentaba...ver unos ciertos cuadriláteros...si cumplían o no... una propiedad y luego pasé a otro esquema distinto..., pero al final luego esa idea me ha servido..." (1U4),

"...cuando vi el movimiento [de las diagonales],...me di cuenta de que se resolvía..." (1U5),

"...siempre he tenido presente cuáles eran los caminos,...siempre he ido de uno a otro y siempre he tenido presente la parte de tanteo, la idea de triángulo y la parte de movimiento..." (1U12).

 

Organiza de forma adecuada el proceso de resolución del segundo problema, siendo consciente de no disponer de estrategia que le condujera con certeza a la solución, pero al mismo tiempo evitando caminos ineficaces que supusieran gran inversión en cálculo. Asimismo, se percata de que las estrategias seguidas son completamente diferentes, por lo que no tiene sentido hacer un análisis de aplicación en una de lo valioso de otra:

"...vi que era complicado...el hecho de darse cuenta de que dos grupos sumarían igual..." (2U4)

"...Nunca he tenido la certeza de que por ella [alguna estrategia] se pudiera...llegar al problema..." (2U6)

"...Son estrategias totalmente distintas..." (2U12).

En definitiva, ha sabido cortar los caminos infructuosos, pero no ha encontrado ninguno productivo.

Tanto el protocolo como la entrevista correspondientes al tercer problema muestran la capacidad del resolutor para organizar la resolución, siendo consciente en todo momento de los logros y dificultades del proceso. Lo que ocurre es que las prisas manifiestas en esta resolución hacen que el abordaje sea superficial. Sin embargo, en ningún momento busca la coherencia del proceso, que parece una sucesión de hechos aislados. No busca, en la misma línea, una idea o estrategia que englobe todo el protocolo, a pesar de tener clara la estructura del problema. A pesar de que inicialmente piensa que un determinado método le puede ser útil (E1), no lo emplea después, sin hacer comentario alguno sobre la viabilidad o no de tal método. Evidentemente no explota suficientemente los recursos, lo que pone de manifiesto la aparición de soluciones sin justificación (E5), que podrían haber surgido de un buen desarrollo en E4.

3.5. Organización temporal.4) Procura dominar el factor tiempo, interrogándose con una frecuencia moderada sobre la relación entre los resultados que va obteniendo y el tiempo invertido. Su aspecto negativo puede estar en la falta de visión global, contentándose con resultados parciales.

Obtiene resultados relevantes dentro de los 37 minutos que dura la resolución del primer problema. Consciente del tiempo, no duda en "perderlo" para "ganarlo" después:

"...perder tiempo en pensar otras ideas, muchas veces es ganar tiempo..." (1U13).

 

La organización temporal del segundo protocolo es correcta, consciente de no invertir demasiado tiempo en planes infructuosos. Efectúa una inversión adecuada de tiempo en adquirir una idea de lo que se solicita (E1).

En el tercer problema condiciona la organización temporal a las ganas de acabarlo, lo que le lleva incluso a dejar de considerar casos que se le ocurren:

"...la misma técnica numérica y las prisas..., esta técnica numérica que me llevó...a este resultado, pues ya es que me olvidé completamente...de esa imagen y no me puse a considerar otro tipo de caso..." (3U7),

sin embargo ello no supone ningún agobio para el resolutor.

En resumen, es consciente de la necesidad de invertir tiempo en las fases de resolución y procura obtener resultados relevantes dentro del tiempo concedido. Por otra parte, no ha dado en absoluto muestras de presión por dicha limitación temporal. En concreto, en el tercer problema la organización temporal es adecuada a su interés por dedicarse a la resolución, contentándose con lo que obtiene, aunque no quede debidamente justificado.

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

4) Conoce bastantes estrategias de RP, siendo consciente de su utilidad, así como del papel que pueden desempeñar las estrategias de control. Es asimismo consciente de la existencia de otras variables.

El extracto de C13 citado en 3.2. evidencia el conocimiento de la existencia y utilidad de algunas estrategias de resolución de problemas.

A esto hay que añadir la lista (más bien corta) de estrategias que da en C10, pero donde pone de manifiesto el conocimiento de su utilidad:

"...Todo problema consiste en un camino que va desde la hipótesis hasta la tesis, pero en realidad estos caminos no se hacen en una sola dirección,... [se puede] acercar la hipótesis a la tesis y viceversa...".

 

En las características que da de un experto en C18 de nuevo evidencia su conocimiento metacognitivo:

"...le debe gustar resolverlos... Debe tener experiencia... El hemisferio derecho del cerebro debe iniciar el problema, el izquierdo terminarlo...".

 

Sus afirmaciones son algo generales, pero puede extraerse un énfasis en la experiencia y en el adecuado uso de estrategias, aunque parece faltar una alusión al control de la acción.

En el primer protocolo deja claro que conoce bien qué puede obtener del tanteo:

"...al principio se me planteó el esquema de cómo abordar un problema, que yo me imaginaba que iba a ser como siempre, tanteando, del tanteo iban a salir unas consecuencias..." (1U1)

y es consciente de características de las resoluciones:

"...la estructura esa de empezar con una idea y desarrollar hasta el final y acabar con eso...no lo puede tener nunca..." (1U8).

 

Añade en la entrevista posterior al tercer problema:

"...en el momento que encuentras un...camino, una técnica, el problema siempre normalmente suele ser sencillo..." (3U4),

evidenciando de nuevo parte de su conocimiento metacognitivo.

Globalmente pone en juego los siguientes heurísticos:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), simplificar, buscar regularidades, considerar problemas equivalentes, descomponer el problema, conjeturar (planificación), expresar de otra forma la solución (verificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), tantear, considerar problemas equivalentes (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Tercer problema: organizar la información, ejemplificar (comprensión), considerar problemas equivalentes, argüir por contradicción, partir de lo que se sabe, conjeturar (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS 

En lo que concierne a las categorías 2 y 3, CG es un claro exponente de pertenencia a la banda de transición 2-4, aunque posea un nivel 5 en la última categoría. Combina indicadores con un nivel más que aceptable con otros indicadores cuyo nivel deja bastante que desear. Por otra parte, la categoría 2 corresponde a la subbanda 2-3 (con un 4) y la categoría 3 a la subbanda 3-4 (con un 2 y un 5). Así, pues, quedará simbolizado por B2-4 (con un 5).

IV.2.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

CG deja entrever que el hecho de estar siendo observado supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

Respecto a su actitud ante los problemas cotidianos, los afronta en solitario, pudiendo incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución) si necesita ayuda para resolverlos.

Entrando ya en el campo matemático, el enfrentamiento a problemas es habitual en su quehacer docente y/o investigador, o como divertimento, alternando el abordaje individual con el grupal y el enfrentamiento a ejercicios proviene casi exclusivamente de la necesidad que emana del abordaje de los problemas. Puede asimismo inferirse que su predisposición usual ante un problema es de curiosidad, mostrando interés tanto en el resultado como en su posible abordaje, abandonando en contados casos. Además, confía bastante en sus posibilidades y en que el problema no se le resista y la inseguridad que a veces muestra cuando se enfrenta a problemas que caen en áreas que no domina le lleva a intentar abordarlos usando otros procedimientos.

Ha mostrado un conocimiento organizado y accesible, capaz de relacionar diferentes aspectos, disponiendo de una considerable retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos.

En cuanto al papel de la memoria, la considera útil y, en su falta, los procedimientos alternativos son origen de posibles conexiones y/o profundización en algunos conocimientos.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

En general, obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

En los protocolos se observa que existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

En cuanto a la ejecución, es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

Esta disminución en la efectividad se agudiza en el empleo de la revisión, que es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

De forma similar, tampoco es bueno el nivel de acabado de la solución, pues, obtenida una solución, tan sólo intenta simplificarla (lo que supone una manipulación exclusivamente con la parte final de la ejecución) o expresarla de otra forma. En raras ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

Lo mostrado hace pensar que concede bastante importancia a la obtención de una buena representación o comprensión de la situación, aunque no lo lleve a cabo de una sola vez al principio, pudiendo quedar algo suelto. Hay un contraste detallado en el momento adecuado entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento.

Asimismo, piensa que la resolución de un problema puede depender en gran medida de una buena planificación, por lo que le otorga gran importancia y piensa que debe volverse a ella siempre que lo requiera el proceso, siendo, por tanto, consciente de que los posibles errores en el proceso, además de hallarse en la ejecución, pueden estar también en el plan diseñado.

Por contra, la explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

Por su parte, en general, la coherencia y la organización se pierden y se vuelven a recuperar a lo largo del proceso, teniendo éste, por tanto, partes que corresponden a la idea general en distintas fases del proceso de resolución. En raras ocasiones existe un planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. En general, los malos planteamientos son cortados antes de enfrascarse en ellos, pero los recursos no son suficientemente explotados. Le concede cierta importancia al control del proceso, pensando que puede tener algo de influencia en la correcta resolución de un problema.

Respecto a la organización temporal, procura dominar el factor tiempo, interrogándose con una frecuencia moderada sobre la relación entre los resultados que va obteniendo y el tiempo invertido. Su aspecto negativo puede estar en la falta de visión global, contentándose con resultados parciales.

Finalmente, parece que conoce bastantes estrategias de RP, siendo consciente de su utilidad, así como del papel que pueden desempeñar las estrategias de control, siendo asimismo consciente de la existencia de otras variables.

IV.2.4. ANÁLISIS FINAL

Inconsistencia entre el investigador-resolutor y el docente

Su hábito de enfrentarse a problemas matemáticos (1.3.-5) (en su quehacer como investigador) contrasta con la puesta en práctica de una metodología basada en la ejercitación repetitiva (TR1), lo cual, como sabemos, es bastante frecuente. No le asustan los retos matemáticos, como se deduce del hecho de poseer bastante confianza en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-4) y su buena predisposición usual en la resolución de problemas (1.4.1.-4); sin embargo, no se sale de los métodos y concepciones tradicionales o tecnológicas en su tendencia didáctica, ajustándose a una programación cerrada (TE4), transmitiendo y exponiendo verbalmente en las clases (TR20, TE21) y concibiendo la evaluación como sumativa (TR25), en base a unos mínimos rígidos (TR30) y calificando mediante controles (TR35). De nuevo contrasta el papel que concede a la memoria en la resolución de problemas (1.6.-5) con la valoración que hace de la memoria en la evaluación (TR28) y el papel acrítico del alumno (TR17).

CG distingue, pues, claramente su investigación (en matemáticas) de su profesión docente. Es presumible que, si ha lugar, los beneficios de su investigación serán mostrados a sus alumnos como resultados acabados, pues enfatiza la utilidad (IN3) y el desarrollo del conocimiento matemático (P4), por encima de otros valores, en concordancia con su papel como profesor y el papel concedido al alumno, como antes se ha referido.

Sin embargo, el ya mencionado papel acrítico del alumno se ve reflejado en su escaso empleo de la revisión (2.4.-2) (aunque pienso que esta concordancia no ha de darse en todos los casos), lo que coincide asimismo con su bajo nivel de acabado de la solución (2.5.-2). Todo parece responder a la lógica de la utilidad (IN3 en la concepción de la matemática), de la instrucción mecánica y efectiva (aplicación mecánica como criterio de evaluación en la tendencia didáctica, TR29).

Su buen nivel en el control de la acción, aunque con un claro desprecio a la ejecución, es explicable en base a su hábito de enfrentarse a problemas en su investigación y es asociable a la reflexión que destilan sus declaraciones respecto a su concepción de la matemática. La concepción de CG no se debe exclusivamente a un reflejo de la práctica y el discurrir de acontecimientos, sino también a un proceso de reflexión sobre qué es la matemática.

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