"Es a través del estudio del cambio [en las concepciones] como podemos empezar a modificar los curricula de la formación del profesor y diseñar programas de formación permanente dirigidos al cambio que son consistentes con mejores resultados de aprendizaje" (Underhill, 1988, p. 53)
Indagar sobre claves de ese cambio ha sido propósito de este trabajo.
Permítaseme presentar como una conclusión el hecho de que tanto el diseño como la elaboración del trabajo mencionado me haya merecido la pena, independientemente de los beneficios académicos que puedan reportarse. Cualquier trabajo de esta índole exige tal inversión de tiempo y energía que estimo totalmente legítimo incluir, una vez llegado su punto final, alguna expresión alusiva a la satisfacción personal. Este hecho, evidentemente no medible, corresponde a la motivación del investigador, uno de los aspectos que ya destaqué en la Introducción. En cuanto al otro aspecto, la relevancia científica, naturalmente es posible emitir juicios, aunque también dista de ser medible con objetiva exactitud. En cualquier caso, no sería, en absoluto, misión del que suscribe emitir dichos juicios, sino tan sólo poner de relieve sus opiniones.
Aunque concertar sesiones con los sujetos ha resultado ser, en determinados momentos, más penoso de lo deseable, en el lado de lo gratificante he de situar, por contra, además de la información plasmada en este trabajo, conversaciones informales y otro tipo de información tangencial que estimo me ha enriquecido y ayudado a conocer mejor diferentes problemáticas concernientes a la docencia. De tales problemáticas, así como de lecturas efectuadas que, por no coincidir con el tema de estudio o porque su inclusión hubiera implicado la inviabilidad del mismo, no han sido referidas o tenidas en cuenta, y también de la natural inspiración proveniente de cualquier investigación cuando se está desarrollando, han emergido cuestiones, interrogantes merecedores de profundización, algunos de los cuales ya se hallan configurados como proyectos de investigación o de tesis.
De forma general, destacaría la futura aplicabilidad de esta investigación. En lo que se refiere a LOS INSTRUMENTOS, diseñados, desarrollados y puestos en práctica a lo largo de la elaboración de este trabajo, son claramente aplicables a otros profesores, y es seguro que sufrirán modificaciones y mejoras. En cuanto a los resultados relativos a LAS RELACIONES ENCONTRADAS, creo que constituyen un buen punto de partida en el diseño de estrategias de formación del profesorado, tanto inicial como, sobre todo, permanente, poniendo de relieve la conveniencia de aproximaciones multidimensionales, complejas, al proceso de formación de los profesores.
Consciente de que el propio proceso de investigación puede erguirse como resultado de este trabajo, he de destacar el PROCESO DE REVISIÓN DEL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES sobre la matemática y su enseñanza y el PROCESO DE REVISIÓN DEL ANÁLISIS DE LOS MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS. Con ambos he pretendido dar el rigor que considero necesario en los estudios cualitativos. La objetivabilidad de los análisis e informes, el ajuste de cada uno de éstos a las últimas versiones de los instrumentos, así como la búsqueda de coincidencias o consenso tanto con los coinvestigadores como con los sujetos estudiados, han sido posibles gracias a dichos procesos de revisión. Estoy convencido de que ESTOS ANÁLISIS E INFORMES SON VITALES en el siguiente paso, es decir, EN LA APLICACIÓN DIRECTA DE ESTRATEGIAS DE FORMACIÓN ENCAMINADAS A PROPICIAR UN CAMBIO ESTABLE EN LAS CONCEPCIONES de estos individuos, lo que no implica que otro investigador tuviera que coincidir en sus apreciaciones con las que aquí se presentan.
Creo que debemos ser muy cautelosos con los resultados que se obtienen de una investigación de este tipo; es por ello por lo que he empleado el término MODELO MENTAL, de un lado para simbolizar la aproximación compleja antes referida, dando cabida a concepciones y modos de resolución de problemas, y de otro lado para poner de relieve la paternidad de dichos resultados, procurando evitar la arrogancia de suponer que estos resultados son el fiel reflejo de la realidad. Es evidente que he intentado acercarme a la realidad, pero la realidad posee muchas caras, las cuales a su vez disponen de máscaras que, en muchos casos, son inapreciables.
Podría decirse que los objetivos del trabajo (Introducción) se han conseguido, pero esta afirmación sería excesivamente categórica. Es cierto que he detectado algunas relaciones entre concepciones y modos de resolver problemas en los sujetos estudiados, pero probablemente existan más e incluso más potentes que las encontradas. También es cierto que aporto instrumentos para analizar las concepciones, entre los que cabe resaltar los de segundo orden (categorías e indicadores), pero supongo que algunas categorías podrían incluir más indicadores, e incluso algunos indicadores podrían expandirse de forma que fueran más determinantes de cada tendencia. Análogamente, es seguro que el instrumento de segundo orden para analizar los modos de resolver problemas puede ser adaptado a otro tipo de problemas y actividades matemáticas en general, e incluso traducido según el tópico matemático. El tiempo dirá si estas mejoras implican mejoras en la formación de los profesores o si, por el contrario, cometen el error de pretender determinar en demasía los aspectos a estudiar, determinación que podría estar por encima incluso de la determinación existente en cada profesor.
En concreto, este trabajo aporta resultados enmarcables en lo que es la metodología de la investigación: INSTRUMENTOS DE PRIMER ORDEN (cuestionarios sobre la concepción de la matemática y de su enseñanza, cuestionario sobre las estrategias personales relacionadas con la resolución de problemas, entrevista sobre la concepción de la matemática y su enseñanza, entrevista sobre protocolos de resolución de problemas y, finalmente, los mismos enunciados de los problemas), SEGUNDO ORDEN (citados anteriormente), TERCER ORDEN (formato de clasificación e interpretación de datos) y CUARTO ORDEN (informes), así como la manera de proceder que subyace, sintetizada en los PROCESOS DE REVISIÓN.
También puede extraerse de esta empresa una llamada de atención sobre la capacitación actual de los profesores en relación con las exigencias de los nuevos curricula, llamada que no pretende aludir a ninguna clase de generalización:
"Hemos accedido al comportamiento de los profesores y obtenido algunos perfiles que ponen de relieve la falta de preparación matemática, al menos en lo que a resolución de problemas se refiere. En otras palabras, deberíamos ser conscientes de que poner en práctica una metodología basada en la resolución de problemas no debería apoyarse en los débiles pilares de la capacidad de los profesores como resolutores." (Contreras, Carrillo y Guevara, 1996, en prensa).
Este hecho es más remarcable que el predominio de tendencias tradicionales y tecnológicas (confirmando el trabajo de Dougherty, 1990:
"Ocho profesores [de 11] poseen un sistema dominante [corresponde a las tendencias tradicional, básicamente, y tecnológica], indicando el más concreto de los cuatro niveles" (p. 122))
y modelos instrumentalistas y platónicos (en concordancia con Thompson, 1992:
"Esta estrecha y estática visión de la disciplina, basada en las matemáticas escolares, puede ayudar a explicar la preponderancia de las perspectivas absolutista/dualista de la disciplina entre los estudios que emplean el esquema de Perry, y de las perspectivas instrumentalista y platónica entre otros estudios." (p. 134)),
ya que cuesta más trabajo dudar de la formación matemática de los profesores que de su formación pedagógica, sus concepciones y actitudes. Los perfiles mostrados en el capítulo IV (El Estudio de Casos) dan luz a este predominio. De forma análoga, la situación de cada profesor en su banda relativa al modo de resolver problemas deja ver la baja frecuencia de la banda 3-5, en particular de la subbanda 4-5, la idónea según este estudio. Al lado de los informes (sobre concepciones y modos de resolución) hay que conceder un lugar a la REPRESENTACIÓN ESQUEMATIZADA O GRÁFICA de los mismos (perfiles de concepciones y perfiles como resolutores con incardinación en una banda y subbanda), instrumentos de cierta relevancia a la hora de visualizar los resultados de los análisis individuales.
Por otra parte, he de reseñar las RELACIONES ENCONTRADAS ENTRE CONCEPCIONES Y MODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, dando cierre de esta forma a lo que se ha definido como modelo mental en este trabajo. Pues bien, ha sido constatado entre los 9 individuos analizados una ASOCIACIÓN ENTRE EL MODELO INSTRUMENTALISTA DE LA MATEMÁTICA Y UN CONTROL DEFICIENTE EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Asimismo, dicho modelo aparece ACOMPAÑADO DE UNAS DEFICIENTES COMPRENSIÓN Y PLANIFICACIÓN, afectando, de esta forma, no sólo a la categoría relativa al control de la acción, sino también a la relativa a la eficacia de la acción. El modelo instrumentalista viene ADEMÁS LIGADO A LA CONCESIÓN DE POCA IMPORTANCIA A LA PLANIFICACIÓN, A UNA DEFICIENTE COHERENCIA Y CONTROL DEL PROCESO, ASÍ COMO A UNA INADECUADA ORGANIZACIÓN TEMPORAL Y A UN POBRE CONOCIMIENTO METACOGNITIVO. También se ha observado que la existencia de uno de los indicadores instrumentalistas, en concreto el que considera LA MATEMÁTICA PRIORITARIAMENTE COMO CUERPO DE CONOCIMIENTO ÚTIL, independientemente del perfil general (aunque en estos casos no se da ningún sujeto con el modelo de resolución de problemas), DETERMINA EN GRAN MEDIDA UN DEFICIENTE USO DE LA REVISIÓN. Este indicador, junto a algunos rasgos tecnológicos, se ha hallado ASOCIADO A UNA ESCASA IMPORTANCIA A LA COMPRENSIÓN. De forma similar, APARECIENDO CON RASGOS TRADICIONALES O TECNOLÓGICOS y en modelos no de resolución de problemas, ESTÁ LIGADO A UNA EXPLICITACIÓN DEFICIENTE DEL ESTADO DE LA EJECUCIÓN. Por contra, UNA CONSIDERABLE PROPORCIÓN DE INDICADORES DEL MODELO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SE CORRESPONDE CON UNA IMPORTANCIA AL MENOS ACEPTABLE A LA COMPRENSIÓN Y UNA CORRECTA EXPLICITACIÓN DEL ESTADO DE LA EJECUCIÓN. De forma general, pero sin intención de generalizar, una primera aproximación al estudio de relaciones dio las asociaciones TECNOLÓGICA-INSTRUMENTALISTA-NIVELES 1-2, TRADICIONAL-TECNOLÓGICA-PLATÓNICA-NIVELES 2-4 E INVESTIGATIVA-RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-NIVELES 3-5, EXCEPTUANDO DE ESTA ÚLTIMA A RC, poniendo así de manifiesto que de este tipo de trabajos no se debe esperar algo análogo al enunciado y demostración de un teorema matemático (¿ojalá?), sino una contribución encaminada a ayudar a comprender mejor la realidad y, en todo caso, a establecer condiciones de mejora.
Finalmente, quiero decir que la inicial sensación de que la presentación de esta tesis constituiría el final de un trabajo se ha ido desvaneciendo conforme se acercaba su final. No es el final, ni obviamente el principio, es sólo un paso muy importante.