I.1 MOTIVACIÓN DE ESTE ESTUDIO
La preocupación principal que orienta este trabajo es la constatación de los problemas de los que es partícipe la Matemática en el sistema educativo(1). Estos problemas, dejando al margen otros aspectos sociales y coyunturales, podrían cifrarse básicamente en dos tipos no dicotómicos: los inherentes al papel que las orientaciones curriculares otorgan a la Matemática escolar y los derivados de la formación (inicial y permanente) del profesorado en el ámbito de la educación matemática.
Respecto del primero, podemos afirmar que, al menos sobre el papel, nos situamos ante el enfoque más progresista de la Matemática escolar de las últimas décadas. Por citar varios ejemplos relevantes que encontramos en los materiales curriculares de la educación obligatoria (MEC, 1989a,b,c; CEYCJA, 1989a,b; NCTM, 1989, 1991), se describe la Matemática como un conocimiento en evolución continua, admitiendo el cambio de significado de los conceptos matemáticos a través del tiempo, consideración epistemológica que debería tener una especial relevancia en el terreno didáctico, al descartar la visión monolítica, cerrada y alejada de la realidad característica de la concepción tradicional. Se da una visión de la Matemática en constante interacción con la realidad, bien modelándola, bien sirviendo de medio de validación de los modelos que provienen de otras ciencias. En línea con lo anterior hay una distinción explícita entre conocimiento matemático escolar y conocimiento matemático formal sobre la que podemos destacar los siguientes aspectos:
a) En primer lugar en lo referente a la importancia que se concede a la inducción como punto de partida del aprendizaje matemático escolar. En el proceso histórico de construcción de la Matemática, el razonamiento empírico-inductivo (tanteos previos, ejemplos y contraejemplos, simplificaciones en forma de casos particulares,...) ha guiado el trabajo de los matemáticos; la deducción ha venido siempre en una etapa posterior.
b) El hecho de disponer de una estructura y organización internas no debe conducir a que cadenas de conocimiento formal propias de esa estructura sean trasvasadas al contexto escolar de forma automática (como sucediera con la teoría de conjuntos)(2).
c) Es importante establecer diferencias, desde el punto de vista educativo, entre el proceso de construcción del conocimiento matemático y sus características en un estado avanzado de elaboración; la intuición y las aproximaciones inductivas, propias de lo primero, no están reñidas con la formalización, precisión y abstracción, característico de lo segundo.
d) Hay que potenciar la dualidad entre certeza y probabilidad, exactitud y estimación frente a la visión sesgada de la naturaleza del conocimiento matemático que se ha trasmitido a la sociedad. Esta consideración dual tiene una incidencia especial en las aplicaciones actuales de la Matemática.
El marco de finalidades educativas de la Matemática queda también ampliado. La matemática pasa a tener una doble finalidad formativa y utilitaria, como herramienta básica de la actividad intelectual e instrumento que permite afrontar la resolución de problemas (no necesariamente matemáticos). Este aspecto adquiere una especial relevancia:
Como se pone de relieve en esta cita, la apuesta metodológica de desarrollar la matemática escolar desde la perspectiva de la resolución de problemas, supone un giro importante frente a la sobrevaloración implícita o explícita de la selección y aplicación de algoritmos; realizar inferencias, explorar e identificar relaciones, buscar semejanzas y diferencias, favorecen el desarrollo y la adquisición de capacidades no exclusivamente matemáticas, con lo que se contribuye a una formación más integral del individuo.
Estas consideraciones, sin embargo, tienen una implicación desigual en la formación del profesorado. La formación inicial del profesorado de Educación Primaria (las diversas diplomaturas de Maestro) recoge de una manera especial estas orientaciones curriculares en sus nuevos planes de estudio(3), probablemente por el grado de madurez en el que se encuentra el Área de Didáctica de la Matemática y porque en la elaboración de los materiales curriculares antes citados han participado algunos de sus miembros. Sin embargo, ni la formación inicial del profesorado de Educación Secundaria ni la formación permanente de todo el profesorado de la enseñanza obligatoria, en general, han tenido la misma suerte. La primera ha tenido y tiene una situación desigual en el Estado español. El tratamiento ha dependido de la mayor o menor influencia de los I.C.E.s. de las respectivas universidades (cabría destacar situaciones como la de la Universidad Autónoma de Madrid, con la inminente puesta en marcha de los Cursos de Formación Inicial del Profesorado de Secundaria, aún en fase de experimentación que, junto con la de Barcelona, constituyen una excepción). En mi entorno, la Comunidad Autónoma de Andalucía, básicamente ha consistido en versiones más o menos acertadas del C.A.P. y, pese a la presión ejercida desde algunos colectivos de profesores, la Administración Educativa no ha sido capaz de poner en marcha una alternativa más eficaz(4). En cuanto a la formación permanente, también desigual dependiendo de la comunidad autónoma a que nos refiramos, se han realizado esfuerzos importantes, en particular, los cursos de 150 horas organizados por los C.E.P.s.; pero los frutos de estos cursos no resultan aún evidentes.
Hay un patente desequilibrio entre las propuestas curriculares y la realidad escolar, un desajuste que podría justificarse por los distintos grados de responsabilidad con que es afrontada esta realidad por parte de los profesores. En primer lugar podríamos situar a aquel sector del profesorado que manifiesta una oposición frontal a la reforma; para ellos, cualquier estrategia de formación permanente es inadecuada. Aquí se encuentra, como señala Masjuán (1995), un importante colectivo de profesores de Bachillerato a los que este autor califica de tradicionales. En segundo lugar, se encuentran aquellos profesores que ven en la reforma la fuente de respuestas a los interrogantes educativos derivados de su experiencia práctica, buscando soluciones inmediatas en cuya elaboración no suelen participar; para éstos, las estrategias convencionales de formación permanente inciden tan sólo de manera local. En este segundo tipo podemos situar a los que el estudio del autor antes citado califica de didactistas. Por último, se encuentran aquellos cuyos planteamientos parecen encontrarse identificados con los principios educativos de la reforma, buscan soluciones más globales al entender la realidad educativa como un fenómeno complejo y están más dispuestos a implicarse en su desarrollo profesional. En este último nivel se situarían los profesores que Masjuán (1995) califica como reformistas pedagógicos y reformistas pedagógicos y organizativos; ellos son los más receptivos a las directrices que se movilizan en el sistema de formación.
Una razón que se ha esgrimido para justificar estos distintos posicionamientos que inciden sobre su propia labor profesional, la constituyen sus concepciones(5) acerca de la Matemática (su naturaleza, fines, origen y evolución) y sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje(6) de la misma(7).
Uno de los pilares en los que se sostiene este trabajo son estas concepciones y creencias(8) de los profesores de Matemáticas de Educación Secundaria acerca de la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, cómo aproximarnos a su identificación y, eventualmente, incidir en su proceso de transformación dentro del marco de lo que se denominó estudios sobre el pensamiento de los profesores (Marcelo, 1987) y, más concretamente, en aquellos aspectos claves (reunidos bajo el término razonamiento pedagógico) que "permiten al profesor transformar su conocimiento del contenido en representaciones pedagógicamente fuertes y adaptables a las diferencias en habilidad y conocimiento previo de sus estudiantes" (Shulman, 1987, p.15). Nos referimos al Conocimiento Profesional de los profesores de Matemáticas.
Podemos situar los primeros trabajos en este campo en los estudios sobre Pedagogical Content Knowledge (traducido inicialmente como Conocimiento de Contenido Pedagógico-CCP) que, para algunos autores como Marcelo (1987, 1988), podría interpretarse como Conocimiento Didáctico del Contenido, traducción que, en mi opinión, sitúa el contenido concreto en un plano más específico.
Independientemente de la terminología, que no es inocua(9), no resulta hoy fácil organizar los numerosos estudios sobre el conocimiento del profesor, que suelen tener en común una perspectiva integradora, pero que, sin embargo, enfatizan aspectos distintos.
García (1996) realiza una clasificación en función de tres variables, que denomina "perspectiva de aprender a enseñar", "perspectiva desde el trabajo profesional" y "perspectiva cognitiva" (estas variables facilitan también la clasificación en función de la generación y organización del conocimiento del profesor), para la que se ayuda de varias relaciones transversales: conocimiento-práctica, conocimiento-creencias y C.C.P.-conocimiento de Matemáticas.
En los primeros sitúa los trabajos de Shulman (1986, 1987), Wilson et al. (1987), Grossman et al. (1989), Ball (1989), Llinares (1991b), García y Llinares (1995a) y Llinares et al. (1994), que inciden en los aspectos más relacionados con los contenidos de la materia específica vinculados con la formación del profesor, tanto inicial como permanente, y al diseño de programas (que podríamos identificar específicamente bajo el término antes citado de Pedagogical Content Knowledge).(10)
En el segundo grupo sitúa los trabajos de Llinares (1991c, 1994), Bromme (1994), Simon (1994)(11), Fennema y Loef (1992) y Lappan y Theule-Lubienski (1994), donde la interacción entre el conocimiento académico y el práctico ocupa un lugar más relevante(12). Destaca aquí la consideración "profesional" del trabajo docente, lo que incide en la preocupación por el desarrollo profesional. Habría que decir que esta clasificación no es excluyente. Los trabajos de Blanco y Ruiz (1995), Blanco et al. (1995) y Blanco (1996, 1997) son una prueba de ello. Estos autores establecen dos grandes componentes en el Conocimiento Profesional; una componente estática (aunque, debido a la importancia de la componente personal, el término estático puede no resultar demasiado afortunado. La importancia de la componente personal la encontramos en Elbaz, 1983), compuesta por conocimientos académicos (matemáticos, psicopedagógicos, de Didáctica de la Matemática, de otras materias,...), y una componente dinámica que comienza a generarse desde las primeras experiencias prácticas y que tiene como punto de partida los conocimientos, creencias y actitudes personales y que evoluciona gracias a la reflexión personal que se deriva del análisis de la práctica profesional. En esta componente dinámica podríamos situar el término Pedagogical Reasoning (Wilson, Shulman y Ritcher, 1987).
En el tercer grupo sitúa, entre otros, los trabajos de Leinhardt y Smith (1985), Leinhart y Greeno (1986), Leinhart (1989, 1990), Leinhart et al. (1991) y Ernest (1989)(13) (la estructura de este último mantiene una gran similitud con la propuesta de Shulman, 1986; ver nota 10), que se caracterizan por mantener una preocupación fundamental por los aspectos relacionados con la organización del conocimiento y sus relaciones. Destacan en este ámbito los estudios comparativos experto-novel cuya intención es identificar diferencias significativas que permitan encontrar parámetros que puedan utilizarse en la formación del profesor.
Me he referido a las concepciones como uno de los pilares sobre los que se apoya este trabajo. El otro pilar es la Resolución de Problemas vista desde una doble perspectiva: de forma inmediata, relativa al uso que los profesores otorgan a la Resolución de Problemas en sus aulas; y, a más largo plazo, como vehículo para que los profesores adquieran una nueva perspectiva (Taplin, 1996) de lo que significa hacer, conocer y establecer la verdad matemática(14) (Llinares, 1991a).
Señalaré dos aspectos para justificar la relevancia que la Resolución de Problemas adquiere en este estudio. El primero porque, como señala Hide (1989), muchos profesores tienen errores conceptuales y concepciones erróneas acerca de la Matemática. Identifican Matemáticas con aritmética, particularmente en la manipulación simbólica. Suelen conceder demasiada importancia a la rapidez de los cálculos, a los problemas de solución inmediata, están acostumbrados a que los problemas tengan una única solución. Con una visión tan estrecha de la Matemática, con tan escaso conocimiento de cómo se aprende y con tan escaso énfasis en el pensamiento y el razonamiento matemático, es verosímil que enfaticen la mecanización, los algoritmos y los procedimientos, en ocasiones en consonancia con lo que ellos experimentaron cuando eran estudiantes. El segundo, siguiendo a Ponte y Canavarro (1994), porque:
La relevancia de la Resolución de Problemas en este estudio podría también justificarse a la luz de las nuevas orientaciones curriculares citadas, por las investigaciones recientes, o por trabajos que le otorgan un carácter prioritario para el próximo siglo ("Maths for the 21st Century" Carl, 1989); pero, como intentaré poner de manifiesto a lo largo de este trabajo, para mí la Resolución de Problemas es más que una forma de aprender Matemáticas; es la naturaleza misma de la Matemática, su origen y la razón de su evolución. Desde esa visión(15), hacer Matemáticas es básicamente resolver problemas y, por tanto, en el desarrollo profesional de los profesores de Matemáticas las distintas perspectivas de la resolución de problemas han de ocupar un lugar relevante. Los profesores necesitan concebir una nueva forma de aproximarse al conocimiento matemático para poder ponerla después a disposición de sus alumnos; éstos, por otro lado, necesitan disponer de experiencias que les permitan acceder a una concepción dinámica de la Matemática y del papel que pueden desempeñar para aprenderla.
I.2 EL GRUPO DE INVESTIGACIÓN D.E.S.Y.M.
El grupo de investigación sobre Formación Inicial y Desarrollo Profesional de los Profesores de Ciencias (Didáctica de las Ciencias Experimentales, Sociales y Matemáticas) emerge vinculado al Proyecto IRES (Investigación y Reforma Escolar) precisamente cuando éste comienza a adentrarse en el ámbito del conocimiento profesional. Por tanto, nuestra seña de identidad primaria hay que buscarla en un intento de cambiar la escuela a través de un cambio cualitativo de la formación del profesor.
Nuestro grupo aborda la formación del profesor desde dos vértices: el estudio de las concepciones y la resolución de problemas. Aclaremos un poco el papel de estos vértices que, de otra forma, podrían verse desconectados. Nuestra intención última es elaborar propuestas curriculares para la formación de profesores y para ello tenemos que hacer el esfuerzo por definir lo que entendemos por un conocimiento profesional acorde con el nuevo papel que están llamados a desempeñar los profesores en sus aulas. Este conocimiento, a su vez, y en el ámbito de la Educación Matemática, tiene una componente matemática y una componente didáctica. Aquí es donde la resolución de problemas ejerce el papel de rótula si, al entenderla como vehículo para la construcción del conocimiento, es a la vez un medio para la formación matemática y la didáctica.
¿Y las concepciones?, su papel (desde una perspectiva constructivista) es el punto de partida. Una de las hipótesis en la que trabaja el grupo de investigación al que pertenezco es que si conocemos las concepciones y creencias que los sujetos tienen acerca de la Matemática y su enseñanza (y, en particular sobre la resolución de problemas, tanto a nivel de resolutor como de uso de estrategia metodológica) podremos diseñar vías para incidir en el pensamiento de los profesores, reconstruyendo aquellos aspectos necesarios en su conocimiento matemático y su conocimiento didáctico, a través de la resolución de problemas(16).
A partir de ese momento, el grupo (y fundamentalmente aquellos miembros pertenecientes al Área de Didáctica de la Matemática) se marcó un camino con las siguientes directrices:
a) Iniciar la búsqueda de instrumentos que permitan la identificación del papel que los profesores otorgan a la resolución de problemas en las aulas (CRP), así como continuar en la mejora de los destinados al estudio de las concepciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la Matemática (CEAM).
b) Iniciar la identificación de concepciones en núcleos concretos de contenido matemático, contrastarlas y ver, en ellas, el papel otorgado a la resolución de problemas(17).
c) Diseñar estrategias aplicables tanto a la formación inicial como permanente del profesorado, cuyo punto de partida sean sus concepciones y en las que, mediante la propia experimentación del aprendizaje a través de la resolución de problemas, puedan reflexionar sobre su práctica docente(18).
d) Propiciar que el conocimiento teórico se convierta en un conocimiento práctico consecuente mediante técnicas de investigación-acción, donde el profesor adopte un papel reflexivo(19).
Sobre estos dos últimos apartados, el grupo tiene dos tesis en curso. En la primera de ellas, la profesora Santos Marques (Escola Superior de Educaçao, Universidade do Algarve) pretende analizar las concepciones de los profesores de Educación Primaria sobre la Matemática y su enseñanza y aprendizaje y sobre el papel otorgado a la Resolución de Problemas en el aula en el núcleo concreto de la medida y ver su coherencia con concepciones a nivel general. En la segunda, el profesor Guevara (Universidad de Huelva) lleva a cabo un proceso de investigación-acción con profesores de secundaria cuyo punto de partida es la explicitación de sus concepciones sobre la Matemática y su enseñanza y aprendizaje (que son contrastadas con los puntos de vista de sus propios alumnos) y cuyo objetivo es validar la resolución de problemas como estrategia básica para el desarrollo profesional.
I.3 UNA FORMULACIÓN INICIAL DE LOS OBJETIVOS
Este trabajo se encuentra en la primera de las cuatro directrices citadas anteriormente; es decir, iniciar la búsqueda de instrumentos que permitan identificar el papel concedido por los profesores a la Resolución de Problemas y continuar en la mejora de los instrumentos, elaborados en el grupo, para el estudio de concepciones. En él, pretendo mejorar la identificación(20) de las Concepciones sobre la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas (CEAM) a través de la identificación de las Concepciones sobre la Resolución de Problemas (CRP).
Los intentos de conocer la práctica profesional a través del estudio sobre el papel de la resolución de problemas podría situarse en los trabajos de Thompson (1984, 1985), Cooney (1985) o Silver (1985). En el primero, la autora señalaba que uno de los aspectos donde mejor había evidenciado las diferencias entre concepciones y práctica fue en el papel otorgado a la resolución de problemas en el currículo matemático; en el segundo, el autor se planteaba la necesidad de abordar ese campo y la inexistencia de estudios hasta ese momento; y, en el tercero, después de admitir la relevancia de los estudios sobre concepciones, el autor planteaba que "se podría sospechar que la influencia de las concepciones de los profesores sería más evidente en el área de resolución de problemas, lo que convertiría este campo en fértil cara a posteriores investigaciones" (p.256).
Es posible que, como señala Ernest (1992), el papel que los profesores otorgan a la RP en sus aulas esté vinculado, de alguna manera, a su posicionamiento epistemológico sobre la Matemática. Esto, sin embargo, no será objeto de estudio en este trabajo. El objetivo, que se formulará aquí de forma general para retomarlo a la finalización del marco teórico, es ver si dicho papel nos permite caracterizar las concepciones del profesor sobre su enseñanza y aprendizaje; es decir, en qué medida las concepciones sobre el uso de la RP en el aula informan de la tendencia didáctica en educación matemática de un determinado sujeto.
Vinculado a este objetivo principal se encuentra un segundo objetivo, el de diseñar instrumentos de recogida de información y de análisis de la misma(21) que, siguiendo el proceso de validación comenzado en este estudio, puedan ser aplicados a otros trabajos similares. Quizás no sea demasiado pretencioso pensar que el esquema metodológico empleado pueda ser reutilizado y que, en el fondo, muchos estudios de caso similares permitan conjeturar alguna idea de carácter general. No obstante, dado el marco teórico donde me moveré, con este estudio de casos no tiene sentido pretender generalización alguna.
(NOTAS)
1. Haremos especial referencia, en este capítulo, al sistema educativo español, sin perder de vista otras perspectivas relevantes como es el caso del National Council of Teacher of Mathematics.
2. Como señalan Núñez y Font (1995), una de las direcciones que ha marcado una buena parte de las prácticas educativas en educación matemática ha sido la de presentar los conceptos de la manera más general posible y organizados en teorías con una estructura deductiva. Un exponente de esta corriente lo tenemos en los programas escolares que se elaboraron al amparo de los trabajos del grupo Bourbaki. Las consecuencias de esta opción están aún patentes en nuestro sistema educativo. El deductivismo exagerado frente al hacer matemáticas, las definiciones formalizadas con un exceso de simbolismo, una excesiva generalización y ausencia de procesos de abstracción y la consideración de las matemáticas como fin en sí mismas.
3. Citemos, en particular, dos Proyectos Docentes recientes para concursar al Cuerpo de Profesores Titulares de Universidad (Blanco, 1997; Carrillo, 1998) que se han articulado en torno a la resolución de problemas, aunque, coyunturalmente, a nivel de materia optativa.
4. En mi opinión, se perdió una oportunidad de oro cuando el Grupo XV estableció las directrices de los nuevos Planes de Estudio y éstas no fueron asumidas por el M.E.C.
5. Como destacan, por ejemplo Lubinski y Vacc (1994), esas concepciones conducen a que las recomendaciones en el uso de la resolución de problemas sean entendidas de formas muy diferentes por los profesores.
6. Que podría justificar, por ejemplo, la lucha contra las propias contradicciones de los profesores (Ponte et al., 1994), o que verdaderos diseños fundamentados en la resolución de problemas no funcionen como tal al incidir las concepciones en la existencia de determinados patrones implícitos sobre el aprendizaje (Steinbring, 1993).
7. También sobre la enseñanza en general, la escuela y el currículo.
8. Términos que se utilizan para describir un amplio espectro de fenómenos muy similares sobre los que mostraré mi opción personal en el capítulo II.
9. Para Furinguetti (1996), la formación de los distintos investigadores que abordan estas cuestiones no es ajena al uso del término empleado. La procedencia desde la Psicología, la Pedagogía o desde la Didáctica Específica incide en la orientación y el significado que cada uno otorga a los distintos términos.
10. Para Shulman (citado en Llinares, 1991a), el CCP es una Amalgama de conocimientos que debe poseer el profesor para hacer comprensible la materia a otros en un contexto de enseñanza.
Bromme (1988), sobre una propuesta de Shulman (1986) establece los siguientes elementos para caracterizar el CCP:
Wilson, Shulman y Ritcher (1987) establecen las siguientes categorías para describir ese conocimiento:
Grossman (1990) categoriza el CCP a través de las concepciones de la enseñanza de la materia vistas desde el conocimiento de la comprensión de los estudiantes, desde el conocimiento curricular y desde el conocimiento de las estrategias instruccionales.
11. Para este autor, la formación de profesores debería contener, entre otros aspectos :
Ball (1988) define conocimiento DE Matemáticas como conocimiento conceptual y procedimental de la materia, y conocimiento SOBRE la Matemática como comprensiones acerca de la naturaleza de la disciplina -de dónde viene, cómo cambia y cómo se establece la verdad-. El conocimiento sobre la matemática también incluye lo que significa "conocer" y "hacer" matemáticas.
12. Esta distinción es especialmente relevante ante los intentos de formación que se fundamentan en un supuesto trasvase de formas de aprendizaje del profesor a formas aplicables al aprendizaje de los alumnos. Joyce y Showers (1983) establecen dos tipos de transferencia entre los métodos usados para la formación de los profesores y los métodos esperados en sus aulas: horizontal y vertical. El primer tipo se refiere a aspectos que se adquieren en la formación y son fácilmente adaptables, como el uso de determinado material didáctico. En la segundo se encuentran la mayor parte de estrategias de enseñanza, que requieren de un período de adaptación progresiva antes de ser implementadas.
13. Para Ernest, los elementos que caracterizan la componente cognitiva del profesor son los conocimientos (de las Matemáticas, otras materias específicas, la enseñanza, el currículo, el contexto y la educación en general), las creencias (sobre la naturaleza de las Matemáticas y su enseñanza y aprendizaje) y las actitudes (hacia la Matemática y su enseñanza).
14. Verdad con carácter relativo y dependiente del contexto.
15. Que es destacada por Carrillo (1994), entre otros.
16. Desde la perspectiva del constructivismo social, como señala Hohoff (1997). En este sentido, habría que tender a estrategias de formación que pudieran vincular los dos contextos, en el que aprende el profesor y el del alumno, posiblemente en el marco de la investigación-acción, como señala Pereira (1997).
17. De entre los trabajos referentes al análisis de concepciones en contenidos matemáticos específicos, que han ido adquiriendo protagonismo estos últimos años, citaré los de Even (1990), Furinguetti (1994, 1996) y García (1997).
18. En esta línea se sitúa el trabajo de Block et al. (1990).
19. En la línea de Kupari (1997). También Garrret et al. (1990) inciden sobre este tipo de esquemas que denominan "de descondicionamiento reflexivo"
20. Este estudio, de carácter exploratorio, no tiene como objetivo incidir sobre las concepciones. No obstante, como se verá en la metodología empleada, se da un paso en ese sentido, en la línea de lo expuesto por Perry et al. (1997), al propiciar que los profesores objeto del estudio inicien una toma de conciencia de las mismas.
21. Naturalmente en la misma línea que los descritos por Carrillo (1996) y Carrillo y Contreras (1994, 1995), con las incorporaciones que el uso de éstos ha ido sugiriendo.