CAPÍTULO 4

INSTRUMENTOS APLICADOS Y DESARROLLADOS EN LA INVESTIGACIÓN

IV.1 DELIMITACIÓN DEL OBJETIVO GENERAL

En el capítulo II, además de establecer el marco teórico desde el punto de vista de las concepciones del profesor, describí un proceso mediante el cual obtuvimos (Carrillo y Contreras, 1994, 1995; Carrillo, 1996) un instrumento con el que analizar y catalogar los datos que un sujeto puede aportar en relación con sus concepciones acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática (CEAM). Mediante ese instrumento, como ya hiciera Carrillo (1996), pretendo obtener un perfil de CEAM de cada uno de mis informantes.

Por otro lado, he puesto de relieve las sospechas de algunos autores (Thompson, 1984, 1985; Cooney, 1985; Silver, 1985, Ernest, 1992) sobre que esas concepciones podrían ser mejor estudiadas en el ámbito del papel que los profesores conceden a la resolución de problemas en sus aulas. Partícipe de esas sospechas y, tras aclarar mi posición en relación a la resolución de problemas en el currículo, expuse en el capítulo III una revisión de estudios en este sentido que me han conducido a la elaboración de un instrumento para analizar y catalogar los datos provenientes de mis informantes en relación al papel que conceden a la resolución de problemas (CRP), obteniendo así un segundo perfil de los sujetos.

Se trata ahora de hacer una primera aproximación hacia la confirmación de esas sospechas; de ver a través de un estudio de casos en qué medida las concepciones sobre el uso de la resolución de problemas caracterizan las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en los sujetos de mi estudio, comparando en cada caso los perfiles obtenidos.

No puede ser objetivo de la investigación describir pautas generalizables de comportamiento en las aulas. Espero contribuir a ello de una forma muy indirecta, uniendo mi esfuerzo al de otros que también han dado prioridad a estudios que, aunque locales por la cantidad de sujetos analizados, tienen por ello un grado mayor de profundidad que permite tener una visión más rica de lo que se estudia, mediante un acercamiento a la realidad de forma comprensiva. De todos modos, de la comparación a la que me he referido antes, podría derivarse una primera validación del instrumento para analizar y catalogar las concepciones sobre el papel de la resolución de problemas; la obtención de ese instrumento es mi segundo objetivo.

IV.2 CARACTERIZACIÓN Y TEMPORALIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN.

En el marco de una perspectiva interpretativa (Erickson, 1989), he pretendido situarme como investigador externo y dar respuestas a los interrogantes que me he planteado, usando la realidad ecológica de cada aula como fuente de información.

Para situar este trabajo dentro de los patrones de la investigación educativa, utilizaré los términos descritos en Lincoln y Guba (1985), Bardin (1986), Wittrock (1989), Arnal et al. (1992) y, fundamentalmente, Goetz y LeCompte (1988). En primer lugar, se trata de un estudio etnográfico a través del que intentaré comprender los acontecimientos tal como los conciben mis sujetos (Biddle y Anderson, 1989), sumergiéndome fundamentalmente en el pensamiento y también en la acción de cada uno de ellos.

Los estudios de caso, como señalan Biddle y Anderson (1989),"sugieren predicciones que podrán servir para otros contextos de la enseñanza que aún no hemos examinado, hacen explícitos los supuestos con los que afrontamos los acontecimientos y suministran herramientas que podemos utilizar para abordar y comprender los confusos fenómenos de la enseñanza" (p. 134), lo que, como sucede en este caso, les concede un carácter inductivo.

Esas herramientas a las que aluden Biddle y Anderson incluyen, en este caso, un sistema de categorías con el que he puesto de relieve constructos a partir de los datos evidenciados, lo que otorga a este estudio un carácter descriptivo, generativo y constructivo. Esas categorías han estado sujetas a las modificaciones que han emanado del análisis de la información extraída de los sujetos de estudio, el cual, por tanto, es subjetivo.

Se trata de una investigación básica de tendencia longitudinal, aunque mi ocupación como docente universitario y el sentido común han puesto sus propios límites temporales. A una fase de fundamentación y revisión de antecedentes, cuyo comienzo coincidió con la realización de una tesis anterior (Carrillo, 1996), más intensa al principio y mantenida hasta finales del año 1997, siguió la de las sucesivas definiciones del problema que quedó delimitado en 1996. Ese mismo año elaboré los primeros instrumentos para el trabajo de campo que comenzó a finales de ese año y ha culminado a principios de éste.

El trabajo tiene componentes de estudio de campo y también de laboratorio, pues, como se verá, los sujetos han sido a veces estudiados en su contexto natural y otras extraídos de éste.

Finalmente, como Biddle y Anderson (1989) señalan:

"...para comprender correctamente las elecciones que los profesores hacen en clase, los fundamentos de sus decisiones y juicios respecto de sus alumnos, y los procesos cognitivos a través de los cuales seleccionan y encadenan las acciones que han aprendido a realizar mientras enseñan, debemos estudiar sus procesos de pensamiento antes, durante y después de la enseñanza..." (p. 60).

Los sujetos nos han aportado información a través de declaraciones (cuestionarios, entrevistas clínicas-incluyendo simulación de situaciones-, estimulación del recuerdo-Biddle y Anderson, 1989; Clark y Peterson, 1989-, comentarios sobre documentos), de artefactos (en la línea de Goetz y LeCompte, 1984, Romberg, 1992 o Vale, 1993) y de la propia observación de la práctica. Se ha tratado de elaborar un "retrato robot" lo más fiel posible de los sujetos más que buscar posibles contradicciones entre lo verbalizado y la práctica, aunque soy consciente de que, por tanto, he estudiado concepciones de distinto nivel.

Metafóricamente hablando, mi intención ha sido hacer un acercamiento por planos al pensamiento del sujeto. Los cuestionarios, que se han mostrado insuficientes para este tipo de estudio, han tenido como función un primer acercamiento a la realidad; a partir de aquí se han diseñado las entrevistas buscando aspectos más concretos. Aunque básicamente la información obtenida en este comienzo es a nivel de currículo pretendido, como en los cuestionarios, supone un acercamiento mayor al permitir al investigador enfrentar al sujeto ante eventuales contradicciones.

Cuando me acerqué al siguiente plano (planificación y ejecución -con observación- de una unidad) ya tenía un mejor nivel de conocimiento del sujeto y, por otro lado, las informaciones eran más cercanas al curriculum impartido; en ese mismo plano se sitúan la estimulación del recuerdo y el análisis de documentos, como los exámenes. Indudablemente, un mayor número de observaciones puede conducir a una imagen más fiel, pero también hace peligrar el compromiso adquirido entre el investigador y los sujetos. Por ello, se concluye con un último plano: el análisis de la sesión de aula y el consenso, en el que disponía ya de una versión muy elaborada de lo que Carrillo (1996) denominó Modelo Mental del sujeto⁽¹⁾, es decir, sus constructos hipotéticos (Porlán, 1989). Por tanto, en este proceso recursivo todas estas informaciones tendrán, a priori, el mismo valor. No obstante, habrá piezas de información que se obtendrán de forma más persistente que otras, de forma independiente del plano en el que estemos situados; ello conducirá a la consideración de aspectos más estables que otros en relación a las concepciones del sujeto.

Los instrumentos que se utilizarán en este proceso pertenecen, por sus características y tratamiento, a órdenes distintos⁽²⁾:

A) Los de primer orden (utilizados para la recogida de datos) tienen un carácter recursivo, en el sentido de que se elaboran, de forma individualizada, en función del perfil que se dispone de cada sujeto en ese momento, siendo, a excepción de los cuestionarios iniciales que fueron comunes, instrumentos individualizados. Estos son los citados cuestionarios⁽³⁾ y las declaraciones a la entrega de los mismos (audio grabadas), las entrevistas clínicas semiestructuradas, las observaciones de aula (video grabadas), las sesiones de estimulación del recuerdo (audio grabadas), el análisis dirigido de un vídeo de la actuación de un profesor en el aula y los artefactos (programaciones de unidades y pruebas realizadas por los alumnos). Los instrumentos audiograbados han sido transcritos literalmente. Las videograbaciones han sido descritas atendiendo a Papel del Profesor, Papel del Alumno, Metodología y Sentido de la Asignatura y de los artefactos se ha realizado un análisis básico de contenido.

B) Los de segundo orden (utilizados para el análisis de los datos). Son las categorías e indicadores que permiten organizar e interpretar la información de forma detallada. Se han descrito en los capítulos II y III.

C) Los de tercer orden (presentación clasificada e interpretación de los datos). Utilizando los instrumentos de segundo orden, se extraen de los de primer orden las correspondientes UNIDADES DE INFORMACIÓN⁽⁴⁾, que son catalogadas (interpretadas) y presentadas clasificadas por categorías.

D) Los de cuarto orden (presentación final). Son cada uno de los informes que se hacen a la vista de todos los indicadores obtenidos. De alguna manera es el perfil buscado que, en su versión final, está precedido de una sesión de consenso (sobre aquellos elementos del perfil que presentan menos nitidez) en la que el investigador ofrece al sujeto la posibilidad de posicionarse ante las distintas descripciones de un determinado indicador, en orden decreciente de proximidad a la que el investigador supone le corresponde. En estos informes se incluye la caracterización de la tendencia didáctica obtenida a través del papel otorgado a los problemas en el aula.

Aunque no es objetivo contribuir directamente al desarrollo profesional de los sujetos estudiados, lo cierto es que a lo largo de los contactos mantenidos durante más de un año, se les ayuda a tomar conciencia (Blanco, 1992) de aspectos ocultos de su pensamiento, se les sitúa ante dilemas prácticos (Flores, 1996) y se inicia con ellos una reflexión espontánea sobre algunos de los contenidos de sus programas en la línea de lo expuesto por Fennema y Franke (1992):

"El conocimiento de la enseñanza de la Matemática incluye conocimiento de pedagogía, al mismo tiempo que la comprensión de los conceptos inmersos en los procesos, el conocimiento de la relación entre diferentes aspectos del conocimiento matemático y ser capaz de interpretar dicho conocimiento para la enseñanza." (p. 161)

IV.3 LOS INFORMANTES

Los sujetos no han sido elegidos al azar. De un lado, el carácter longitudinal del estudio requería de profesores dispuestos a sacrificar buena parte de su tiempo a pensar, dialogar y ser observados; profesores que, al tener referencias del investigador, le concedieran su confianza. Por otro lado, al entrar en juego la resolución de problemas, se necesitaban profesores que hubieran participado en algunas experiencias específicas, tomando contacto con ese aspecto.⁽⁵⁾ Es decir, en la elección han primado los criterios de relevancia en la investigación⁽⁶⁾.

No obstante, algunos instrumentos de recogida de información como los dos cuestionarios iniciales han sido elaborados tras sucesivas versiones que han sido contestadas por muestras al azar bastante más amplias, como se detallará en el epígrafe siguiente.

Por último, los tres desarrollan su actividad en centros que no son conocidos por posicionamientos masivos (en los seminarios de Matemáticas) en una tendencia determinada.

Las características personales de los sujetos son las siguientes:

PG es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla desde 1981 y Agregada de Bachillerato desde 1984; posee, por tanto, 14 años de docencia. Ha participado en diversos cursos, congresos y grupos de trabajo. Desarrolla su actividad docente, en la actualidad, en Huelva capital.

KM es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Extremadura desde 1984. Tras diversos períodos de interinidad, accede al Cuerpo de Profesores de Secundaria en el año 1991; su docencia se eleva a 11 años. Ha participado en diversos cursos, jornadas y grupos de trabajo. Desarrolla su actividad docente, en la actualidad, en un pueblo del cinturón metropolitano de Sevilla.

AP es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada desde 1988. Tras tres años de interinidad, accede al Cuerpo de Profesores de Secundaria en 1991; posee, por tanto, 10 años de ejercicio. En la actualidad, desarrolla su actividad docente en un centro de Huelva capital.

Quiero destacar, por último, que PG, KM y AP desarrollaban su docencia, cuando fueron estudiados, en cursos o niveles distintos y las unidades que desarrollaron y en las que fueron observados también fueron distintas (elegidas por cada uno de ellos). El detalle de estos aspectos también se verá en este capítulo.

IV.4 ELABORACIÓN Y DESARROLLO DE LOS INSTRUMENTOS DE PRIMER ORDEN.

Como señalé en el capítulo I, mi intención es comprender cómo conciben los sujetos de mi estudio la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y el papel de la resolución de problemas en el aula (Biddle y Anderson, 1989), sumergiéndome fundamentalmente en el pensamiento y la acción de cada uno de ellos. Describiré a continuación los instrumentos de obtención de datos en cada uno de los momentos citados⁽⁷⁾: cuestionarios, entrevistas (con simulación de situaciones) y programación de una unidad; observaciones y estimulación del recuerdo; y análisis de vídeo, pruebas escritas (exámenes) y consenso (ver cuadro 12); todos ellos con carácter recursivo en el sentido descrito por Cooney (1985), siendo los datos de cada instrumento elemento base para la elaboración del siguiente en función del perfil existente del sujeto en ese momento.

ANTES DE ACTUAR

DURANTE LA ACTUACIÓN

DESPUÉS DE ACTUAR

* Cuestionario CEM

* Cuestionario CRP

* Declaraciones post entrega cuestionarios

* Entrevista

* Programación

* Observaciones

* Evocación del recuerdo

* Visualización vídeo

* Exámenes

* Consenso

Cuadro 12

Antes de comenzar el proceso de obtención de datos, pero después de haber elegido los sujetos de la muestra, se informó a éstos del proceso previsto en la investigación en una sesión en la que se les invitó a leer un "contrato" detallado cuya aceptación verbal supuso el punto de arranque. Pretendía con ello dar a conocer el proceso con el mayor número de detalles posibles para que los sujetos valoraran el esfuerzo que les iba a suponer su participación y pudieran aceptarlo con suficientes elementos de juicio. Tengo que reconocer que, en aquel momento, había descartado el registro en vídeo de las observaciones. El desarrollo de la investigación aconsejó cambiar de decisión y así lo comuniqué a los profesores. Dos de ellos lo admitieron sin reparos, sin embargo el tercer sujeto me comunicó que prefería que no lo hiciera. No obstante, como expondré después, decidí seguir adelante.

La primera tarea a realizar fue la cumplimentación de dos cuestionarios. Por ello, comenzaré exponiendo el proceso de elaboración de éstos, uno sobre las tendencias didácticas y otro sobre la resolución de problemas, que son los únicos específicos. El resto de los instrumentos de primer orden se han elaborado para obtener información simultánea sobre ambos aspectos.

IV.4.1 CUESTIONARIOS SOBRE LAS TENDENCIAS DIDÁCTICAS

El estudio de casos de Carrillo (1996) ha sido el punto de partida⁽⁸⁾ para la obtención de un cuestionario de opinión ponderada, de 49 items (en su sexta versión), en cuya elaboración han sido consultados también los trabajos de Ruthven y Coe (1994), Mura (1993), Marrero (1993) y Underhill (1988). En el proceso empírico de elaboración ha sido cumplimentado por diferentes profesores de secundaria con la intención de pulir los enunciados y eliminar aquellas cuestiones que no ofrecían una información fiel⁽⁹⁾. Las alternativas han sido catalogadas con objeto de que las respuestas permitan la obtención de una primera versión del modelo mental del profesor. Esta primera versión tiene una validez muy limitada; su fin primordial es poder orientar la elaboración del resto de los instrumentos de primer orden y que los sujetos tuvieran una primera oportunidad de "enfrentarse" a su propio pensamiento en estos aspectos, lo que, a priori, me pareció que beneficiaría la calidad de la información a obtener en pasos sucesivos.

El cuestionario, así como la guía de interpretación de las respuestas en relación con algún indicador o indicadores de las tendencias didácticas, se ofrece a continuación. En cada cuestión los sujetos tenían que posicionarse de 0-4 según el grado de conformidad (total desacuerdo-total acuerdo) con la sentencia ofrecida (escala tipo Likert).

Nótese que el valor intermedio nunca es tomado en consideración, y que a veces no todos los valores son considerados. Ello es debido a que, en alguna de las cuestiones, tan sólo se consideró fiable a priori uno de los polos del continuo (0-4); bien 0-1, bien 3-4. En otros, sin embargo, pareció que las opciones 0-1 y 3-4 ponían de relieve posturas contrapuestas de forma clara. A continuación expondré cada uno de los 49 items del cuestionario seguidos de un cuadro en el que se recoge la interpretación de las posibles respuestas en relación al instrumento de segundo orden correspondiente (CEAM)

Cuestionario sobre la CEAM e interpretación.

1. Hay alumnos que manifiestan una determinada disposición al conocimiento matemático. Si es negativa, se puede hacer poco por ellos.

La matemática o "gusta" o "no gusta", independientemente de la capacidad del profesor para "enganchar" a sus alumnos.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3/1

TR14: Actitud predeterminada

TE14: Actitud parcialmente transformable

E/I14: Actitud transformable

2. Para el alumno es más provechoso obtener el conocimiento directamente del profesor mediante las respuestas a sus preguntas, que personalmente a través de indagaciones.

Esta frase es, de entrada, una negación del aprendizaje por investigación.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	I10: Por construcción dirigida Sugieren una tendencia no tradicional

3. La marcha de la clase y la organización de las actividades están supeditadas, fundamentalmente, al tiempo y la amplitud del temario.

El temario, en cuanto a la cantidad de contenidos, condiciona al resto de los aspectos metodológicos. No importa tanto la calidad como la cantidad de los supuestos aprendizajes.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR4/TE4:programación rígida/cerrada

4.Con los alumnos siempre hay que intentar probar todas las relaciones aunque se tenga seguridad sobre su certeza.

Hay una sobrevaloración de los procesos deductivos. A veces hay relaciones (p.e. irracionalidad de ) ante las que hay que adoptar una postura más pragmática.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	TR9: Procesos deductivos Sugieren una tendencia no tradicional

5. La conexión con otros profesores del mismo curso debe centrarse en las necesidades, desde la óptica de las herramientas matemáticas, de las asignaturas impartidas por aquellos.

Existe una pronunciación eminentemente pragmática sobre el sentido de la asignatura y se define una coordinación a nivel de contenidos (utilidad/organización).

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TE24: En su caso, selección-utilidad y/u organización de los contenidos; TE7: Finalidad informativa-utilitaria

6. Mostrar a los alumnos una prueba de una relación matemática les lleva a su total comprensión.

Hay información sobre el papel del profesor en cuanto a qué hace en el aula, pero también sobre cómo se concibe el aprendizaje.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR20,22: Transmite verbalmente, reproduce TR10: Por apropiación

7. Los programas oficiales, al recoger la mayoría de los aspectos relevantes para el alumno, dejan poco margen para la aportación personal del profesor.

Indirectamente estamos siendo informados sobre la no participación del alumno en el diseño didáctico, aunque el foco de la cuestión está en la importancia de la programación para el profesor, a la que éste se ciñe.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR15/TE15: No participa TR4/TE4:programación rígida/cerrada

8. En secundaria, presentar un abanico amplio de nociones matemáticas, aun de forma no profunda, es más útil que adiestrar en determinados procedimientos, técnicas, estrategias o profundizar en determinados conceptos.

Buscamos el sentido que el profesor otorga a la signatura que, en este caso se inclina prioritariamente hacia la cantidad vinculada al sentido informativo.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	TR7: Informativa Sólo nos sugieren un TR7

9. La práctica sistemática con ejercicios-tipo asegura el afianzamiento de los contenidos impartidos con anterioridad.

Hay una clara concepción tradicional del aprendizaje en una metodología caracterizada por la ejercitación repetitiva .

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR10: Por apropiación; TR1:ejercitación repetitiva

10. La preparación del alumno para el examen es una tarea importante en su aprendizaje. Por ello, durante las sesiones que preceden a éste conviene reforzar los conceptos básicos del contenido impartido.

Los dos aspectos sobre los que nos puede informar esta cuestión son el papel del examen y metodología.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE33: Su preparación fija aprendizajes TR/TE1: Ejercitación repetitiva/reproductiva

11. Aun con grupos nuevos, en los primeros días del curso adivino quién alcanzará los objetivos y quién no.

Es el típico "vale" o "no vale" para las matemáticas, independientemente de los efectos que una metodología adecuada pueda tener a medio plazo.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	T13: Aptitud predeterminada E/I13: Aptitud transformable

12. La mayor parte de las veces no conseguimos lo que queremos debido, exclusivamente, a la mala formación que traen los alumnos.

De entrada indica ausencia de diagnóstico inicial de los alumnos, como punto de partida de una programación más ajustada a la realidad así como una concepción sumativa de la evaluación . También denota la imposibilidad de cambio aptitudinal.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR34: En base a contenidos impartidos con anterioridad TR25: Sumativa-producto final; TR/TE13: Aptitud predeterminada

13. Prefiero que los alumnos desarrollen sus tareas de forma exclusivamente individual. Pienso que el trabajo en grupo distorsiona y dilata el proceso de aprendizaje.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	T11: Trabajo individual E/I11: Trabajos en grupo y debates

14. Para consolidar los contenidos impartidos es necesario proporcionar al alumno una colección de ejercicios con los que entrenarse para el examen.

Los tres aspectos sobre los que nos puede informar esta cuestión son el qué se valorará en el alumno, el papel del examen y metodología.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

TR/TE29: Aplicación/interpretación mecánica

TR/TE33: Su preparación fija aprendizajes

TR/TE1: Ejercitación repetitiva/reproductiva

15. La atención del alumno supone la mitad del camino en su aprendizaje. La otra mitad radica en una exposición clara de los contenidos.

Principalmente obtenemos información sobre el papel del alumno y del profesor.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE18,19: Atiende, Acepta/cree TR/TE20: Transmite/...por procesos tecnológicos

16. El aprendizaje es más eficaz cuando te brindan las ideas ajenas y no tienes que descubrirlas por ti mismo.

Esta frase es, de entrada, una negación del aprendizaje por investigación e indica de forma implícita el papel del profesor y la concepción del aprendizaje.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

I10: Por construcción dirigida

TR20: Transmite verbalmente

TR10: Por apropiación

17. La organización del temario se debe inspirar en la propia estructura de la matemática. Por ello el margen de maniobra del profesor se limitará al nivel de profundidad con que trata cada contenido concreto.

La estructura de la matemática formal inspira el desarrollo del programa. El profesor como especialista en el contenido y del diseño didáctico tratará este contenido formal con mayor o menor profundidad. El dinamizador es la lógica de la disciplina.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

TR/TE6: Matemática escolar como matemática formal/adaptación de la matemática formal a la problemática real

TR/TE23: Especialista en contenido/técnico del contenido y del diseño didáctico

TR/TE12: Lógica de la disciplina

18. La clase ideal es aquella donde los alumnos permanecen maravillados ante la elegancia de los desarrollos matemáticos realizados por el profesor.

Principalmente obtenemos información sobre papel del alumno y del profesor.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE18,19: Atiende, Acepta/cree TR/TE23: Especialista/técnico del contenido o del diseño didáctico

19. Estoy convencido de que si el profesor explica bien, el éxito o fracaso depende exclusivamente de los alumnos.

El alumno es el único responsable de la transferencia E/A. El profesor Dicta/expone.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR16: único responsable de la transferencia E/A: sumisión TR/TE21: Dicta, expone

20. Procuro que todos mis alumnos sigan el ritmo prefijado de antemano por mí para la clase.

Los mínimos son rígidos y han sido establecidos para una "capacidad media" de la clase.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE30,31: Mínimos rígidos, no diferenciación individual

21. La bondad de un método de enseñanza se mide en función de la cantidad de contenidos conceptuales impartidos.

Es una frase característica de un proceso tecnológico. La valoración del trabajo realizado se cifra en términos del control, a corto plazo, de las consecuencias de lo impartido.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	TE27,35: Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables), mediante controles de los objetivos Sugieren opciones ni tradicional ni tecnológica

22. Procuro que, en mi clase, los alumnos estén continuamente opinando y ocupados en alguna actividad.

La actividad de los alumnos en tareas que son de su agrado y su participación son objetivos prioritarios. Esa motivación es la clave de las transferencias E/A.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

E12: Dinamizador intereses del grupo de alumnos

E16: Motivación por la acción

E17: Actúa

E19: Dialoga

E22: Humanista, especialista en dinámica de grupos

23. En general, suelo organizar mi enseñanza de manera que los alumnos puedan construir su propio conocimiento.

Supone una toma de posición en cuanto a metodología y concepción del aprendizaje.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

TR/TE2: Exposición magistral/simulación puntual de investigación; TR/TE10: Por apropiación /asimilación

E/I 2: Descubrimiento aleatorio.../investigación planificada

E/I10: Por construcción espontánea/dirigida

24. Mis objetivos educativos están supeditados a los intereses y necesidades expresados por el alumno tanto al comienzo como en el desarrollo del curso.

En las opciones 3-4, esta cuestión pone de relieve un diagnóstico inicial sobre el campo de intereses de los alumnos, el dinamizador y los objetivos.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

E34: Diagnóstico inicial sobre el campo de intereses de los alumnos

E/I 12: Intereses del grupo de alumnos, ....y disciplina

E/I 3: Flexibles y orientativos, flexibles y revisables

25. La programación, en síntesis, es una lista de objetivos conceptuales con una continuidad y una coherencia que emanan de la propia Matemática.

Los objetivos son conceptuales y están dispuestos según la lógica de la disciplina

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

TR3: Conceptuales de carácter terminal

TR/TE4: Oficial, prescriptiva, rígida; secuencial estructurada y cerrada TR5: Énfasis conceptual

TR6: Matemática escolar como matemática formal

TR/TE12: Dinamizador la lógica de la asignatura/disciplina

26. La programación es un medio que utilizamos para obtener resultados, por lo que hay que huir de la improvisación y mantener la organización y estructura inicialmente previstas.

VALORES	INTERPRETACIÓN
0-1	E4: Aleatoria, contenidos negociados

27. La programación debe contener un plan flexible de actividades, atender diferencias individuales, tener en cuenta el nivel del curso y recoger las necesidades de los alumnos.

Obtenemos información en cuanto a la flexibilidad de los objetivos, criterios de evaluación, dinamizador y diagnóstico inicial.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

TR/TE en programación, dinamizador y criterios de evaluación

E/I3: Flexibles y orientativos; Flexibles y revisables

E/I31: Diferenciación individual

E/I12: Intereses del grupo de alumnos; ... y la disciplina

E/I34: Sobre el campo de intereses del alumno; Que informa la elaboración y ejecución del proceso

28. Para cubrir al máximo las exigencias oficiales, distribuir previamente el tiempo y organizar el contenido, la programación debe ajustarse a algún libro de texto.

Uso del libro de texto y la programación oficial como referencias básicas.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR2: Exposición magistral-libro de texto TR4: Oficial, prescriptiva, rígida -unidades aisladas

29. El número de aprobados, en función de un examen, en una determinada clase es un indicador fiel del éxito del plan trazado por el profesor.

Tendencia a controlar, de forma exclusivamente cuantitativa, los productos finales.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

Evaluación ni tradicional ni tecnológica

TR25: Sumativa-producto final

TR/TE26: Cuantitativa

TR35: Mediante controles del producto

30. En la ESO, debemos tender a suprimir los desarrollos matemáticos y tratar solamente algunos ejemplos que pongan de relieve la utilidad y las propiedades que subyacen tras los enunciados.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

TR5: Énfasis conceptual; TR6: Matemática escolar como matemática formal

TR9: Procesos deductivos

TE5: Aplicabilidad (proceso-producto)

31.La Matemática, como asignatura en la ESO, ha de tener como objetivo primordial el alcanzar las cotas instrumentales necesarias para los estudios futuros.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-5	TE7: Informativa utilitaria

32. Las modificaciones a la planificación de un tema o unidad es mejor hacerlas sobre la marcha, confiando en la intuición a la vista de lo que, en cada momento, ocurre en el aula.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

E3: Objetivos flexibles y orientativos

E4: Programación aleatoria, contenidos negociados

E22: Analiza reacciones y respuestas a sus propuestas

33. El contenido de la materia hay que presentarlo de forma atractiva, pero sin perder estructura y formalismo.

Denota un sentido de la asignatura de corte tradicional que enfatiza los conceptos y caracteriza la matemática escolar como la formal . La elegancia de la exposición hay que justificarla en el carácter del profesor como especialista en el contenido.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

TR5: Énfasis conceptual

TR6: Matemática escolar como la formal

TR23: Especialista en el contenido

34. Valoro en mis alumnos, fundamentalmente, que hayan comprendido los conceptos y que los sepan interpretar.

Hay un sentido tecnológico de la asignatura y unos criterios de valoración en cuanto a la interpretación mecánica.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TE5: Aplicabilidad; proceso/producto TE29: Interpretación mecánica

35. El profesor de Matemáticas debe contar con otros profesores de asignaturas donde se utilizan las Matemáticas, para conocer aquellos conceptos que ellos van a utilizar.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TE5: Aplicabilidad; proceso/producto TE24: Coordinación a nivel de selección (utilidad) y/u organización de contenidos

36. Los aspectos más importantes que debe aprender el alumno son las nociones generales, razonamientos matemáticos, saber expresarse en lenguaje matemático y el conocimiento de las reglas, hechos y fórmulas.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

E5: Énfasis procedimental y actitudinal

I5: Procedimientos, conceptos y actitudes

TR5: Énfasis conceptual

TR7: Finalidad informativa

TE17: Reproduce e imita

37. A la hora de elegir entre varios temas, selecciono normalmente aquellos que puedan servirle para aplicarlos otros años o en otras asignaturas, como la física.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TE7:Finalidad informativa utilitaria

38. Los resultados de los alumnos suelen influir en algunos aspectos de la programación, como la metodología,.., pero nunca en el temario o los contenidos.

Los mínimos son rígidos en el proceso de evaluación y la programación es cerrada.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE30: Mínimos rígidos TR/TE4: Oficial, prescriptiva, rígida; Secuencial, estructurada y cerrada

39. Generalmente, los debates y puestas en común no suponen más que una pérdida de tiempo.

VALORES	INTERPRETACIÓN
0-1 3-4	E/I11: Trabajo en grupos; debates T11: Trabajo individual

40. Cuando al final de alguna unidad o de un trimestre me percato de que algunos se han quedado descolgados, realizo con ellos algún seminario de repaso, repito alguno de los ejercicios clave o les invito a que vuelvan a estudiarse los temas.

La recuperación está aislada del desarrollo normal y es una mera repetición.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TR/TE32: Repetición puntual/global aislada del desarrollo normal

41. No me limito en clase a obtener resultados de forma deductiva, también suelo mostrar a los alumnos el recorrido de algún proceso que se inicia con el estudio de un caso particular.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	TE9: Inductivos simulados y deductivos

42. No soy partidario de dejarle a los alumnos, en los exámenes, tablas de fórmulas o listados de hechos matemáticos relevantes. En general no les dejo utilizar documentos; hay muchos contenidos que deben recordar.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

No tradicional ni tecnológico

TR/TE8: Aprendizaje memorístico

TR/TE28: Memoria

43. No me importa no terminar el temario, prefiero renunciar a contenidos en los que no voy a conseguir la implicación de los alumnos en su propio aprendizaje o que no van a ser relevantes para ellos.

VALORES

INTERPRETACIÓN

0-1

3-4

Sugieren tendencias tradicional o tecnológica

E/I28: grado de implicación y significatividad

E/I8: Aprendizaje significativo

44. En la evaluación no debería primar su efecto sancionador. Su función es conocer y hacer saber la evolución del alumno y orientar las pertinentes modificaciones del proceso. La calificación es, solamente, un aspecto colateral.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	E/I25, 26: Evaluación formativa, cualitativa TR/TE25, 26: Evaluación sumativa, cuantitativa

45. Cuando veo que hay alumnos que se me descuelgan, cambio de "disco" y procuro que realicen otra actividad donde se involucren.

Concuerda con la idea de que cada actividad recupera la motivación, que está basada en la acción. Ello implica una participación indirecta de los alumnos en el diseño didáctico a través de sus reacciones.

VALORES

INTERPRETACIÓN

3-4

E15: Participa a través de sus reacciones

E16: Motivación por la acción

E32: Cada actividad recupera la motivación

46. El alumno ha de mantener una actitud crítica ante las informaciones que se movilizan en el aula, incluso cuando provienen del profesor, siendo consciente del fin de sus acciones.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	I18,19: Reflexiona; cuestiona

47. Más que producir información, la labor del profesor ha de centrarse en crear situaciones problemáticas que inviten al alumno a su búsqueda.

VALORES	INTERPRETACIÓN
0-1 3-4	TR/TE20: Transmite E/I2021: Induce, promueve; Provoca, conduce

48. Los alumnos suelen saber los aspectos que valoro en su proceso aprendizaje, entre otras cosas porque, muchos de éstos, los negocio con ellos.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4 0-1	E/I: 27: Criterios explícitos y negociados TR27: Criterios subjetivos no explícitos

49. La coordinación con profesores de otras materias no ha de enfocarse exclusivamente desde la óptica instrumental, sino prioritariamente en aspectos generales de obtención del conocimiento.

VALORES	INTERPRETACIÓN
3-4	I24: Coordinación a nivel de caracterización del diseño didáctico TR/TE24: Coordinación a nivel de contenidos mínimos

El cuestionario para obtener información sobre el papel de la resolución de problemas en el aula ha sido elaborado a la luz del instrumento de segundo orden correspondiente⁽¹⁰⁾. Es de elaboración propia y ha sufrido las mismas cribas previas que el cuestionario CEAM.

Consta de 15 cuestiones y, a diferencia del anterior, es semi-abierto y por tanto no dispone de una interpretación estándar para su análisis. Las ternas o respuestas fueron analizadas con los instrumentos de segundo orden correspondientes, de forma directa o mediante la extracción de unidades de información cuando se trataba de expresiones personales del sujeto. El cuestionario es el siguiente:

Cuestionario sobre el papel de la resolución de problemas en el aula CRP

1. Resolver un problema en el aula sirve, fundamentalmente, para:

(marca los tres más importantes, en orden de prelación)

a) profundizar un concepto estudiado

b) aplicar un concepto

c) verificar la adquisición de un concepto

d) diagnosticar las ideas previas de los alumnos

e) motivar a los alumnos a la hora de comenzar un tema

f) desarrollar un concepto o núcleo de conceptos

g) aclarar un escollo teórico

h) otro aspecto (desarrollar).......................................................................................

2. Enuncia un ejemplo para alguno de los aspectos señalados en los tres primeros lugares de la cuestión anterior, intentando describir con el mayor detalle posible:

(usa para ello la parte posterior del papel)

a) forma de presentar el problema

b) contexto matemático en que estaría ubicado

c) lugar que ocupa en el desarrollo de la lección

d) papel desempeñado por ti y por tus alumnos

e) formas de saber cómo desarrollan los alumnos el proceso

f) situación que cerraría el problema

3. A la hora de proponer un problema:

(marcar sólo una opción)

a) lo eliges de un listado relacionado con el tema

b) lo eliges de un libro de texto

c) lo elaboras personalmente en función de los conceptos impartidos

d) otra opción (explicitar)..........................................................................................

4. A la hora de elegir entre varios problemas valoras fundamentalmente:

(marca los tres más importantes, por orden de prelación)

a) que no tenga datos superfluos

b) que tenga una única solución

c) que tenga datos suficientes

d) que pueda no tener solución

e) que sea motivador para los alumnos

f) que esté asociado a una problemática real

g) que se pueda resolver en base a la teoría impartida

h) que admita varias soluciones

i) que se resuelva por un proceso estándar

j) que muestre la creatividad del alumno

k) otras (exponer)....................................................................................................

5. Enumera algunas características deseables de un buen problema escolar y pon un ejemplo que las ponga de manifiesto. Usa, para ello, la parte posterior del papel.

6. Reduces el valor de la calificación de un problema cuando:

(señalar los tres más importantes, en orden de prelación)

a) se usan métodos poco ortodoxos para resolverlo

b) no se acaba el problema, aunque parece encaminado

c) la solución aparece justificada de forma extraña

d) se ha resuelto aplicando conceptos que, o no son del tema, o no se corresponden con los contenidos del curso

e) se presenta algo desordenado o sucio

f) otra respuesta (explicar).........................................................................................

7. El final de un problema queda determinado:

(marca sólo una opción)

a) por tu explicación de la solución

b) por la explicación de un alumno de una buena solución

c) por haberse encontrado la solución óptima

d) por haberse negociado las soluciones y los procesos

e) otra opción (exponer)............................................................................................

8. Cuando en el desarrollo de un problema observas que un alumno está cometiendo un error:

(marca sólo una opción)

a) se lo haces ver para que lo corrija

b) le sugieres que revise el proceso

c) te inhibes y te haces un juicio del alumno

d) dejas que se tropiece y observas su reacción

e) otra opción............................................................................................................

9. Cuando ante un problema la clase no responde:

(marca una opción)

a) lo resuelves tú en la pizarra y pasas a otro problema

b) lo abandonas y pasas a otro problema

c) das pistas claras para que puedan resolverlo pronto

d) sugieres un heurístico

e) otra opción............................................................................................................

10. En los exámenes, los problemas:

(marca una opción)

a) valen más que la teoría

b) valen menos que la teoría

c) valen igual que la teoría

d) no hay problemas, son ejercicios

e) constituyen el contenido del examen

f) otra opción.............................................................................................................

11. ¿Qué diferencias básicas, desde la perspectiva escolar, pueden establecerse en el problema siguiente dependiendo de que se prescinda o no del texto?, ¿cuál usarías con tus alumnos?, ¿con qué objetivo?(responde en la parte posterior del papel)

UNA CUESTIÓN DE PESO	Estos animales prefieren balancearse a ir a la playa, pero les ha surgido un pequeño problema. ¿Les puedes ayudar a resolverlo? Ahí va; si el cerdo pesa 60 kilos, ¿Cuantos gatos tendrán que subirse con la oveja en el balancín para que quede en equilibrio?

12. Supongamos que deseas valorar los conocimientos de tus alumnos en relación con la identificación de los números racionales como los únicos que poseen una representación decimal finita o periódica, ¿podría usarse un problema para tal fin?. En caso afirmativo, ¿puedes aventurar su enunciado?

13. ¿Qué proporción del tiempo semanal dedicas a la resolución de problemas?, ¿qué otras actividades configuran el resto del trabajo escolar?, ¿con qué proporción temporal?

14. Califica con V (verdadero) o F (falso) tu acuerdo o desacuerdo con las siguientes afirmaciones:

a) La capacidad de los alumnos para resolver problemas depende directamente de las nociones teóricas previamente impartidas

b) La resolución de problemas ocupa un espacio temporal tan amplio que impide el desarrollo normal de los programas

c) Mediante la resolución de problemas, como metodología básica, no puedes conocer la evolución conceptual de tus alumnos

15. ¿Cómo valorarías la adquisición del concepto de función en 4º curso de E.S.O.?

Ambos cuestionarios fueron entregados personalmente a los sujetos por el investigador. En ese momento se negociaba el plazo para su cumplimentación y devolución.

Al ser devueltos los cuestionarios, cada sujeto realizó una serie de declaraciones aclaratorias de sus respuestas. En algunos casos, la declaración consistía en volver a leer determinadas respuestas; en otros, se matizaban y ampliaban. Estas declaraciones fueron audio grabadas y transcritas literalmente. El proceso de análisis de esas transcripciones así como de las respuestas al cuestionario CRP, con el instrumento de segundo orden correspondiente, se describirá en al apartado de instrumentos de tercer y cuarto orden.

IV.4.2 ENTREVISTAS

Una vez analizados los cuestionarios, se elaboraron entrevistas personalizadas. Algunas de las cuestiones pretendían confirmar sospechas; otras traer a la luz aspectos del modelo mental que aún no habían aflorado.

Para cada entrevista se elaboró un guión con objeto de tener organizada la búsqueda, pero, como es natural, el propio desarrollo de las mismas sugirió reconducir las cuestiones hacia determinados centros de interés que emergieron en el proceso. Por ello, se observará alguna diferencia entre estos guiones y las preguntas de las transcripciones que se ofrecen en el anexo. En los guiones de cada entrevista que se ofrecen a continuación, subrayamos aquellos términos que aluden a indicadores o categorías concretas sobre los que se pretende obtener información.

Las entrevistas que, como podrá observarse, incluían simulación de situaciones de aula en la línea de lo propuesto por Cooney (1985) o Simon (1991), fueron también audio grabadas. El proceso de análisis de las transcripciones literales, con el instrumento de segundo orden correspondiente, se describe en el apartado de instrumentos de tercer y cuarto orden.

Cada entrevista se realizó en el lugar designado por cada sujeto, teniendo una duración de entre 55 y 90 minutos. Los sujetos dispusieron de papel y lápiz para expresar lo que precisara escritura. Ninguno de los documentos así obtenidos tuvo relevancia en la investigación, dado que casi exclusivamente fueron pequeños "garabatos" y expresiones sin sentido que ayudaban al sujeto a expresarse.

Guión de la entrevista con AP

1.- En el cuestionario sobre Resolución de Problemas me citaste el problema del desfile deportivo. Me decías que era para ti un buen problema para diagnosticar ideas previas, ¿por qué antes de hablar de operaciones con fracciones?, ¿podrías concretar la información que esperas obtener?, ¿qué harías con ella?. Comentabas que lo planteabas de forma espontánea, ¿qué significa exactamente eso?¿Cómo esperas que resuelvan el problema?

Imaginemos que :

a) no saben por donde empezar, ¿qué harías?, ¿cómo te introducirías⁽¹¹⁾ en MCD y mcm?

b) empiezan por probar con 15, que vale para la última condición y tras comprobar que también vale para la primera, te dicen que 15, y no prueban más. ¿Cómo actúas?, ¿cómo les haces recapacitar⁽¹²⁾?, ¿qué ocurre si al sugerirles⁽¹³⁾ que lo hagan más fácil suprimen las condiciones que no les interesan?

c) realizan esta resolución: comienzan por probar con 8 (del último dato), luego con 15,..., hasta encontrar una cantidad⁽¹⁴⁾ (múltiplo de 8 +1) que satisfaga el resto de las condiciones. ¿cómo continuarías hacia el MCD y mcm?

¿Cómo organizas⁽¹⁵⁾ a los alumnos para que aborden el problema?, cuando los grupos van obteniendo resultados o fracasos parciales, ¿llegan a enterarse los demás grupos⁽¹⁶⁾ de ello?

2.- Imaginemos que quieres poner un problema y decides buscarlo en un texto. Supongamos que hay varios donde elegir, pero sólo necesitas uno, ¿cómo decides⁽¹⁷⁾ cuál?, ¿y si no los conoces de otras veces?

3.- Seguro que conoces el problema de las patas, dice así: En un corral hay gallinas y conejos. Si suman 32 patas y son 11 animales, ¿cuántos hay de cada?

Supongamos que encuentras una solución en la que el alumno ha pintado 11 circulitos que representan otras tantas cabezas, ha colocado primero dos patas a cada uno y luego ha repartido las restantes de dos en dos. ¿Cómo valoras⁽¹⁸⁾ la solución?, ¿estimas necesario reconducirla⁽¹⁹⁾ a una solución más elaborada?, ¿crees que si los dejamos un rato trabajando pasan de situaciones intuitivas a otras más formales espontáneamente⁽²⁰⁾?, ¿cómo les ayudarías tú para dar ese paso?. ¿Te parece un buen problema?, ¿por qué y para qué⁽²¹⁾?

4.- El problema de buscando un número ...me dijiste que era bueno para ti. ¿Cómo actuarías en cada una de las situaciones siguientes?

a) lo califican de imposible al aplicar la primera condición en la hipótesis de que el número buscado es entero

b) tras salir de esta situación, se limitan a buscar números de la forma a,b

c) vamos a imaginar otra situación; supongamos que tras tomar conciencia de que no pueden ser enteros se empeñan en buscarlos de la forma a/b, sin embargo tú lo has trabajado en la forma a,b..., ¿qué haces?; ¿y si no ven tu interpretación?

d) resuelven el problema en esta versión y lo dan por terminado

e) resuelven el problema con todas las posibilidades (indagar si plantea estudio de modificaciones sobre las condiciones iniciales)⁽²²⁾

¿Por qué me decías que este problema "daba juego"?

5.- Volvamos al problema de los cerditos (mostrar). ¿En qué núcleo(s)[¿citará la medida?] lo pondrías?, (caso de elegir el álgebra) ¿cómo continuarías para introducir⁽²³⁾ el álgebra?. En el caso de omitir el texto, ¿cómo actuarías si te dan como solución⁽²⁴⁾ una oveja?. Volviendo al texto, ¿cómo esperas que lo solucionen los alumnos?, ¿y si aún no has introducido el álgebra?

6.- Al hilo del problema anterior me decías que cuando estudias gráficas les sueles poner una gráfica de una función y les pides que te digan todo lo que puedan. Supongamos que ponemos esta (un paseo extraño). ¿Qué esperarías que dijeran?, ¿qué harías con sus aportaciones⁽²⁵⁾?. Dejar que él ponga otro ejemplo y hacer las mismas preguntas.

7.- Usas mucho el término problemilla. ¿Qué es para ti exactamente un problemilla?, ¿qué misión cumplen en tu secuencia de estrategias de enseñanza, es decir, cuando enuncias un problemilla (de entre todas las misiones que te parece que pueden cumplir) cuál es para ti la función prioritaria?⁽²⁶⁾

8.- Te voy a pedir un esfuerzo por describir con detalle lo que hacen los alumnos una vez que les has enunciado un problema⁽²⁷⁾. Vamos ahora a fijarnos en un alumno prototípico; normalmente ¿cuál es el tipo de actividad que desarrolla tras el enunciado del problema?⁽²⁸⁾, cuando el problema está en un avanzado estado de resolución ¿qué tipo de intervenciones⁽²⁹⁾ tienen?

9.- Me comentabas en nuestro primer encuentro que intercalas contenidos de uno a otro bloque "a medida que lo van solicitando los chavales". Me gustaría aclarar varias cosas en ese sentido:

a) "solicitando" lo entendemos como que ellos te dicen ...¿nos puedes dar algo de...? o que tú te das cuenta de que necesitan que incidas en algún aspecto, digamos de habilidad de cálculo, de....[procedimiento técnico]

b) ¿ Cómo solucionas esas debilidades procedimentales?

c) si, realmente te solicitaran algún contenido "muy lejano" temporalmente en tu programación, en una sesión concreta de clase, ¿qué harías?

d) y, por último, ¿qué es para Ti un desarrollo normal de un programa?

10.- Después de trabajar la ecuación de segundo grado, ¿sobre qué aspectos⁽³⁰⁾ te centrarías para conocer los logros alcanzados?, ¿qué ejercicios desarrollarías?, ¿cómo actuarías ante un tanto por ciento elevado de malos resultados?, ¿qué sería para ti un mal resultado de un alumno?⁽³¹⁾

11.- Dices que valoras más los problemas que los ejercicios, ¿por qué?, ¿qué información sobre el alumno te da un problema que no te dé un ejercicio?⁽³²⁾

12.- Sitúate entre uno de estos dos términos: para resolver problemas hace falta conocer mucha Matemática-mediante la resolución de problemas se puede aprender mucha Matemática aun con poca base?⁽³³⁾

Guión de la entrevista con KM

1.- Seguro que conoces el problema de las patas, dice así: En un corral hay gallinas y conejos. Si suman 32 patas y son 11 animales, ¿cuántos hay de cada?

Supongamos que encuentras una solución en la que el alumno ha pintado 11 circulitos que representan otras tantas cabezas, ha colocado primero dos patas a cada uno y luego ha repartido las restantes de dos en dos. ¿Cómo valoras⁽³⁴⁾ la solución?, ¿estimas necesario reconducirla⁽³⁵⁾ a una solución más elaborada?, ¿para qué?⁽³⁶⁾ ¿cómo lo harías?. ¿Te parece un buen problema?, ¿por qué y para qué⁽³⁷⁾?

2.- Me comentabas en el cuestionario que a veces mandas ejercicios para casa y al día siguiente indagas sobre los distintos procedimientos utilizados por los alumnos que los han hecho. ¿Qué ocurre con los que no han hecho alguno o ninguno de los ejercicios?, ¿cómo verificas⁽³⁸⁾ si saben hacerlo?. Comentabas, también, que cuando salen distintos procedimientos todos son expuestos en la pizarra, ¿cuál es la función de esta exposición⁽³⁹⁾?, ¿me podrías hacer una simulación de un caso que recuerdes?. Finalmente, dices que si consideras que no ha aparecido una solución interesante, reconduces con preguntas para que salga, ¿qué es para ti una solución interesante⁽⁴⁰⁾ (si quieres usa tu enunciado: determinar a y b para que x³+ax²+bx+5 sea divisible por x²+x+1)?

3.-Siguiendo con el ejercicio que me planteabas, me imagino que uno de los errores típicos suele ser el relacionado con los signos (aquello de +x+, + para restar, -) Imagina que aprecias que un alumno está equivocándose en ese aspecto, ¿qué preguntas le harías para hacerle caer⁽⁴¹⁾ en el error?

4.- Intenta hacer un esfuerzo por recordar una problema o ejercicio en el que la clase no respondió y te viste obligada a darles algunas pistas, ¿qué tipo de pistas?, (pedirle que simule la situación) ¿qué es para ti una pista?, ¿qué tipo de información se ofrece?⁽⁴²⁾

5.- Te voy a pedir un esfuerzo por describir con detalle lo que hacen los alumnos una vez que les has enunciado un problema⁽⁴³⁾. Vamos ahora a fijarnos en un alumno prototípico; normalmente ¿cuál es el tipo de actividad que desarrolla tras el enunciado del problema?⁽⁴⁴⁾

6.- Imaginemos que quieres poner un problema y decides buscarlo en un texto. Supongamos que hay varios donde elegir, pero sólo necesitas uno, ¿cómo decides⁽⁴⁵⁾ cuál?, ¿y si no los conoces de otras veces?

7.- Cuando eliges determinados ejercicios, ¿cuál es el fin que pretendes que se alcance con su realización?. Si pones varios para ese fin elegido, ¿con qué criterios los secuencias?⁽⁴⁶⁾

8.- Una cuestión muy complicada. Hay veces que tienes la percepción de que lo has hecho genial y sin embargo luego compruebas que no has conseguido lo que creías. ¿Por qué crees que pasa esto, (cuáles crees que pueden ser las claves para que una buena enseñanza produzca un buen aprendizaje)?⁽⁴⁷⁾ En el cuestionario (CEAM-15) te posicionabas a favor de la importancia de la atención del alumno, pero no estabas de acuerdo con que el resto del esfuerzo sea una clara exposición de los contenidos por parte del profesor. ¿Qué tareas tienen que hacer entonces unos y otros para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje?⁽⁴⁸⁾

9.- Sitúate entre uno de estos dos términos: para resolver problemas hace falta conocer mucha Matemática-mediante la resolución de problemas se puede aprender mucha Matemática aún con poca base⁽⁴⁹⁾. Y, en relación con esto, ¿qué se puede hacer cuando los alumnos vienen con tan poca base?⁽⁵⁰⁾

10.- Supongamos que estamos trabajando sucesiones; concretamente progresiones aritméticas. ¿Te parece interesante que los alumnos conozcan la fórmula de la suma de los miembros?, ¿qué harías⁽⁵¹⁾ para ello?. En un control sobre esta unidad, ¿qué tipo de ejercicios⁽⁵²⁾ pondrías, es decir, qué te interesa saber sobre lo que han aprendido?. Voy a enunciar un resultado: Demostrar que la suma de los n primeros impares es n², ¿te parece un buen ejercicio para el control?. Imaginemos que un alumno lo resuelve así:

1=1; 4=3+1, dos impares; 9=1+3+5, tres impares.......n²=1+3+5+...+(2n-1), n impares,....¿cómo la valorarías?

11.- En el cuestionario (CEAM-14) te posicionabas a favor de que, con el fin de consolidar los contenidos impartidos, se proporcionara al alumno una colección de ejercicios con los que entrenarse, (¡ojo!, no citar esto-"aunque no un entrenamiento para el examen"), entonces, ¿entrenarse para qué?⁽⁵³⁾. Durante tus clases, ¿haces ejercicios tipo?⁽⁵⁴⁾, ¿qué incidencia tienen luego en tus exámenes?

12.- En el cuestionario (CEAM-24) pareces posicionarte en contra de supeditar los objetivos a los intereses y necesidades expresados por el alumno, ¿está la programación supeditada a otras cuestiones, necesidades o intereses?⁽⁵⁵⁾ Si la programación no tiene por qué seguir un libro de texto, ¿dónde se inspira⁽⁵⁶⁾ el seminario -o tú misma- para elaborarla?, ¿cómo influyen en ella los resultados de los alumnos?⁽⁵⁷⁾, ¿hay cabida en tu programación para la opinión de tus alumnos?⁽⁵⁸⁾

13.- Haces referencia con frecuencia a las diferencias entre secundaria y bachillerato. ¿Qué opinas acerca de ello, de las finalidades diferenciales?⁽⁵⁹⁾

14.- ¿Qué importancia debe tener la estructura de la Matemática, como ciencia, en la organización del temario?, ¿y los conocimientos o el nivel que, sobre ella, puedan tener los alumnos?⁽⁶⁰⁾. Supongamos que te queda una semana para acabar el curso y aún te quedan varios temas para terminar el programa, ¿cómo te sentirías?, ¿con qué criterios decidirías qué hacer?

15.- En el ritmo de tu clase, qué es más característico, ¿que los alumnos sigan tu marcha como pueden,..., que se supediten ciertos aspectos (como la extensión y la profundización) a que todos vayan avanzando,....?⁽⁶¹⁾

16.- ¿Qué aspectos valorarías en el tema de funciones?. Me comentabas que podría optarse por algo intuitivo, ¿podrías poner algún ejemplo concreto?

Guión de la entrevista con PG

1.- Una cuestión relativa a tu programación: ¿el desarrollo sigue la secuencia enumerada en el temario?, ¿hay momentos en los que mezclas temas?, ¿hay muchas situaciones en las que se desarrollan simultáneamente aspectos contenidos en distintos temas o bloques de tu programa?⁽⁶²⁾ Pon un par de ejemplos (en caso afirmativo)

2.- Sitúate entre uno de estos dos términos: para resolver problemas hace falta conocer mucha Matemática-mediante la resolución de problemas se puede aprender mucha Matemática aun con poca base⁽⁶³⁾

3.- Una cuestión muy complicada. Hay veces que tienes la percepción de que lo has hecho genial y sin embargo luego compruebas que no has conseguido lo que creías. ¿Por qué crees que pasa esto, (cuáles crees que pueden ser las claves para que una buena enseñanza produzca un buen aprendizaje)?⁽⁶⁴⁾. En relación con lo anterior, ¿te parece que cuando pruebas algún resultado en clase consigues convencer a tus alumnos de ello?, pongamos un ejemplo, supongamos que utilizando el algoritmo de conversión de decimal periódico a fracción les demuestras que 0.99...=1, ¿asumirían tus alumnos el resultado?, ¿te parece necesario que se convenzan?, ¿cómo lo harías?⁽⁶⁵⁾. ¿Te has topado con algún otro ejemplo de estas características?

4.- Te voy a pedir un esfuerzo por describir con detalle lo que hacen los alumnos una vez que les has enunciado un problema⁽⁶⁶⁾. Vamos ahora a fijarnos en un alumno prototípico; normalmente ¿cuál es el tipo de actividad que desarrolla tras el enunciado del problema?⁽⁶⁷⁾

5.- Cuando eliges determinados ejercicios, ¿cuál es el fin que pretendes que se alcance con su realización?. Si pones varios para ese fin elegido, ¿con qué criterios los secuencias?⁽⁶⁸⁾

6.- Seguro que conoces el problema de las patas, dice así: En un corral hay gallinas y conejos. Si suman 32 patas y son 11 animales, ¿cuántos hay de cada?

Supongamos que encuentras una solución en la que el alumno ha pintado 11 circulitos que representan otras tantas cabezas, ha colocado primero dos patas a cada uno y luego ha repartido las restantes de dos en dos. ¿Cómo valoras⁽⁶⁹⁾ la solución?, ¿estimas necesario reconducirla⁽⁷⁰⁾ a una solución más elaborada?, ¿cómo lo harías?. ¿Te parece un buen problema?, ¿por qué y para qué⁽⁷¹⁾?

7.- Supongamos que estamos trabajando sucesiones; concretamente progresiones aritméticas. ¿Qué harías⁽⁷²⁾ para que los alumnos conocieran la fórmula de la suma de los miembros?. En un control sobre esta unidad, ¿qué tipo de ejercicios⁽⁷³⁾ pondrías, es decir, qué te interesa saber sobre lo que han aprendido?. Voy a enunciar un resultado: Demostrar que la suma de los n primeros impares es n², ¿te parece un buen ejercicio para el control?. Imaginemos que un alumno lo resuelve así:

1=1; 4=3+1, dos impares; 9=1+3+5, tres impares.......n²=1+3+5+...+(2n-1), n impares,....¿cómo la valorarías?

¿Crees necesario reconducir la respuesta hacia un procedimiento distinto?, ¿cómo?, ¿por qué?⁽⁷⁴⁾

8.- Retomemos el problema de medir la altura de un faro sobre una montaña... que me comentabas en el cuestionario. Supongamos que un alumno dibuja el faro sobre una pared vertical, de forma que la sombra del faro (que se distingue de la de la pared) se proyecta sobre una playa. Entonces mide sombras (faro y cima) desde el pie de la pared y también mide la sombra de un bastón que lleva consigo. Después, estableciendo proporciones te da un determinado resultado. ¿Cómo valorarías su respuesta?, ¿te parece necesario reconducirla hacia el contenido concreto del tema?, ¿cómo lo harías?⁽⁷⁵⁾

9.- Ayúdame a imaginarme una sesión en tu clase, ¿qué secuencia de actuaciones caracteriza tu práctica?⁽⁷⁶⁾

10.- Imaginemos que has concluido una unidad, has utilizado tus habituales medidas de control y compruebas que los resultados son desastrosos. ¿Qué haces?⁽⁷⁷⁾

11-. Analicemos el proceso convencional en la resolución de un problema. Tú lo enuncias, ¿qué pasa después?⁽⁷⁸⁾. Pensemos en el siguiente problema:

Calcular el valor de la siguiente suma 1/1x2 + 1/2x3+....+ 1/n(n+1). Este problema podemos abordarlo básicamente de dos formas. La primera consiste en analizar el último término para encontrar que 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1). Después basta tomar conciencia de que los sumandos se van anulando y que nos quedamos sólo con 1-1/(n+1)= n/(n+1). La segunda consiste en intentar observar regularidades en los valores de la suma par n=2, 3,... para conjeturar el valor final y poder luego demostrarlo por inducción completa. Lo normal, no obstante, es que los alumnos después de pasar unos minutos intentándolo y a lo mas ofreciendo algunas propuestas deformadas, lleguen a una situación de bloqueo. ¿Cómo intervendrías para solucionar el conflicto?, ¿cuánto tiempo les darías antes de intervenir?. Imaginemos que, con la tendencia a trabajar en casos concretos que suelen desarrollar los alumnos, te das cuenta de que alguno tiene en su papel la suma en los casos n=4 y 5, ¿qué harías?. finalmente, supongamos que no captan tus sugerencias, ¿cómo actuarías (qué solución eliges y cómo lo haces en la pizarra)?

12.- Volvamos al problema de la balanza con los animales. Supongamos que lo propones sin enunciado, ¿lo harías vinculándolo al tratamiento de sistemas de ecuaciones?⁽⁷⁹⁾, ¿qué iniciativas esperarías que tomaran tus alumnos?⁽⁸⁰⁾. Supongamos que no se les ocurre cómo actuar, ¿cómo intervendrías?.⁽⁸¹⁾

13.-. Me comentabas que en tus contactos con otros profesores del mismo curso te sueles interesar por los conocimientos de tus alumnos, sus actitudes,...¿podrías ampliar un poco esa idea?⁽⁸²⁾. cuenta o simula con detalle alguna de las reuniones que recuerdes.

14.- En el cuestionario me decías que cuando no puedes conseguir que todos tus alumnos sigan el ritmo preestablecido por ti, te adaptas⁽⁸³⁾ a ellos. ¿En qué consiste esta adaptación?, ¿hasta qué punto te atreves a renunciar⁽⁸⁴⁾ a alguno de tus objetivos conceptuales previstos?¿Puedes poner algunos ejemplos?

15.- Seguro que has conocido a profesores que, en sus clases, abordan ejercicios que tendrán alguna incidencia en el examen; otros, sin embargo, buscan para ese momento algo distinto a lo que se ha hecho en clase, ¿dónde te sitúas tú?

Puede observarse que las cuestiones dirigidas a PG son más directas, en general, que las que hice a los otros dos sujetos. Ello fue debido a la postura "huidiza" que adoptó durante esta fase del proceso.

IV.4.3 LA OBSERVACIÓN Y LA EVOCACIÓN DEL RECUERDO.

A cada sujeto se le solicitó que realizara una programación detallada de una unidad a elegir de entre las distintas programaciones de los diferentes cursos en los que impartía docencia. El objeto de esta libertad de elección fue reducir, en la medida de lo posible, otros factores no controlados en la investigación (deficiencias en determinados núcleos de contenido, interacciones deficientes en determinados cursos, problemas de adaptación a la L.O.G.S.E.,...); dicho en otros términos, que el sujeto se sintiera "cómodo". El único requisito fue que esa unidad (cuya duración tampoco fue fijada, aunque sí se sugirió que incluyera como mínimo un tema, en el sentido convencional del término, que podría ocupar entre uno y tres días) se impartiera durante el segundo trimestre del curso, por dos razones: la primera por considerar que suele ser el período de un curso donde existe mayor equilibrio entre el nivel de relaciones de aula y el nivel de actividades distractoras (relacionadas con el principio y el final de curso), y la segunda porque la observación estaba prevista para ese período del curso, ya que en el primer trimestre nos ocupamos de los cuestionarios, entrevistas y sus respectivos análisis.

A la vista de esa programación se negoció el momento en el que los sujetos serían observados. En todos los casos, la sesión de observación formal fue precedida de otra sesión en la que el investigador compartió las actividades del día en el aula con el profesor y los estudiantes. Las observaciones fueron realizadas desde un punto fijo del aula con la finalidad de que la incidencia en el desarrollo de las sesiones fuera mínima.

Hay que decir que, en este aspecto, no hubo uniformidad entre los sujetos, dado que uno de ellos solicitó que la observación no fuese vídeo-grabada. Para reducir en la medida de lo posible la interferencia que este suceso podría tener en la investigación, no se realizó transcripción de las observaciones vídeo-grabadas, sino un protocolo informativo de la sesión, en los tres casos, a la luz de los instrumentos de segundo orden (a modo de parrilla de observación). Una copia de las grabaciones que se realizaron fue entregada a los sujetos correspondientes.

La ausencia de grabación de PG supone, obviamente, una diferenciación en relación a la aplicación de instrumentos de primer orden a los sujetos (obtención de datos). Consciente de este hecho, cabían dos opciones, no efectuar grabación a ninguno o aplicar a PG un instrumento de primer orden cuyo resultado fuera similar al de la grabación.

Creo que, por encima de los instrumentos de obtención de datos, debemos considerar su significatividad de dichos datos. Asumo, pues, la reflexión de Kilpatrick (1996) en relación con los criterios de valoración de las investigaciones en Educación Matemática:

"La búsqueda de rigor necesita ampliarse desde la acepción de precisión de medida a la de precisión de significado" (p. 41).

Disponer de la grabación en los otros dos casos me permitió distanciar un poco más la sesión de evocación del recuerdo con estos sujetos (sin temer al olvido de eventos), analizar las tomas registradas y elaborar el protocolo informativo de las sesiones observadas. Además, en la evocación del recuerdo pude disponer de un elemento útil para contrastar las declaraciones de los profesores. En el caso de PG, el registro manual tuvo que ser más completo que en los otros dos sujetos, cercano a lo exhaustivo. Incluí referencia a eventos relevantes, que posteriormente reconstruí, de forma que en la sesión de evocación del recuerdo (celebrada dos días más tarde), los datos y medios con los que yo la afronté fueron similares a los de los otros dos casos. Los eventos registrados en cinta fueron sustituidos por los registrados en papel y la cercanía temporal minimizó el "olvido" de la profesora.

Tras un análisis preliminar de estas observaciones se realizó una sesión de evocación del recuerdo⁽⁸⁵⁾ (también en el lugar elegido por los sujetos) que fue audio-grabada y transcrita para su posterior análisis con los mismos instrumentos que las declaraciones y las entrevistas. En esta sesión se pedían aclaraciones sobre determinadas decisiones tomadas por el profesor en el aula así como información adicional sobre determinados sucesos. También se aprovechó para poner a los sujetos ante situaciones hipotéticas. Para dos de los casos se dispuso del vídeo de la sesión observada como elemento evocador y de contraste; en el otro caso ese papel lo desarrollaron las notas del investigador.

IV.4.4 LA VISUALIZACIÓN Y ANÁLISIS DE UNA SESIÓN DE AULA.

La idea básica fue situar al sujeto en un plano crítico de una actuación de una tercera persona en una clase de Matemáticas. Al ser la actuación de otro lo que se analizaba, estimé (en concordancia con Simon (1991)) que la información obtenida estaría menos mediatizada por aspectos afectivos y tendría más credibilidad. Pensaba que podrían extraerse dos tipos de informaciones:

a) de posicionamiento general en relación con la metodología, sentido de la asignatura, concepción sobre el aprendizaje y reparto de papeles en el aula y, más concretamente, el papel de la RP en estos aspectos;

b) a nivel concreto sobre algunos indicadores.

El primer tipo de datos fue obtenido tras invitar al sujeto a realizar un comentario guiado (personalizado en función de cada perfil provisional) del vídeo⁽⁸⁶⁾ tras verlo en privado. Ese comentario escrito fue analizado con los instrumentos utilizados para la entrevista. El segundo tipo se obtuvo en una entrevista final (que incluyó consenso⁽⁸⁷⁾ en algunos indicadores) donde los datos anteriores se sumaron a todos los obtenidos hasta ese momento. Esta segunda parte es coherente con el carácter recursivo que se ha intentado dar a los instrumentos de recogida de información de primer orden y permite proporcionar un grado mayor de nitidez al perfil de cada sujeto obtenido en cada momento.

Es cierto que podía haber indagado utilizando otro instrumento, pero la intención fue que, esta vez, el sujeto explicitara sus concepciones sin hablar de sí mismo, a través de la crítica de la actuación de otra persona.

Podría haber utilizado este instrumento de obtención de información en cualquiera de las fases del estudio, sin embargo, pensé que hacerlo tras la entrevista y la observación de aula me concedía cierta ventaja ante el sujeto al disponer de una imagen bastante nítida del mismo con la que contrastar sus aportaciones.

Fue elegida una sesión de clase de Educación Primaria y no de Secundaria. La razón de tal elección fue que los sujetos se centraran más en la metodología que en los contenidos. Éstos, en este caso, podrían adquirir un papel de distractores e incluso centrar los comentarios de los sujetos. Además, el contexto en que se sitúa la grabación es más fácil encontrarlo en este nivel que en la ESO o en el Bachillerato.

La actuación del profesor del vídeo, por otro lado, tiene aspectos objetivamente positivos y negativos desde la perspectiva investigativa en la que nos movemos, lo que hace que la sesión observada mantenga el grado de ambigüedad suficiente para que lo sujetos no tuvieran fácil ni una aproximación artificial ni una crítica feroz en función de las corrientes educativas imperantes. Los sujetos, en este sentido, no podrían conjeturar fácilmente sobre la posición del investigador.

La guía de observación, qua en cada uno de los casos se ofrece a continuación, no ha contemplado la ordenación de cuestiones por temas o categorías en su elaboración; antes al contrario, se ha procurado un "desorden controlado" con la intención de que afloren posibles contradiciones entre respuestas, aunque buscando información de indicadores concretos.

Como se observará, sólo hay pequeñas diferencias entre las guías de cada uno de los sujetos; esto podría contradecir la afirmación respecto al carácter individualizado de los instrumentos, sin embargo no es así. Una de las razones es que los perfiles hasta ese momento tampoco mantenían diferencias muy significativas; la otra es que el fin era completar información o aclarar aspectos dudosos en relación a algunos indicadores. Nótese que sólo hay seis categorías y que las cuestiones que se plantean tienen, respecto de aquellas, cierta versatilidad o polivalencia. En cualquier caso, las guías no son coincidentes. Presentaré primero las cuestiones comunes y después las específicas de uno o dos sujetos.

Cuestiones comunes

1. ¿QUÉ ES UN PROBLEMA?, ¿CUÁL ES SU UTILIDAD EN EL AULA?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

3. ¿CUÁL ES EL PAPEL DEL PROFESOR, DE LOS ALUMNOS Y LA DINAMICA DE LA CLASE?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

4. ¿QUÉ FASES SE OBSERVAN EN LA SESIÓN?, ¿CUÁLES SON LOS OBJETIVOS?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

5. EN EL CASO DEL PROBLEMA ABIERTO (gastar todo el dinero); ¿CÓMO SE CONCLUYE?, ¿CÓMO ES EL PROCESO?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

6. ¿CÓMO SE OBTIENE INFORMACIÓN SOBRE LOS ALUMNOS?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

7. ¿CÓMO SE HACE PARA VALORAR LO QUE LOS ALUMNOS HAN APRENDIDO?, ¿QUÉ SE VALORA?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

8. ¿CUÁL PUEDE SER UNA SECUENCIA CUALQUIERA DE CLASE?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

9. OPINIÓN SOBRE LA TENDENCIA DE LOS ALUMNOS A BORRAR LO QUE TIENEN CUANDO EL PROFESOR EJECUTA UNA OPCIÓN DISTINTA EN LA PIZARRA
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

10. ¿CÓMO SE PROVOCA EL APRENDIZAJE A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

11. VALIDEZ DE ESTE TIPO DE SESIÓN PARA TODOS LOS ALUMNOS
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

14. RESPECTO AL PLANTEAMIENTO GENERAL DE LA CLASE DE DOMINGO...
¿Qué sugerencias le harías?	¿Cómo lo haces tú en tu clase?

15. BAJO TU PUNTO DE VISTA, ¿QUÉ ES LO MEJOR Y LO PEOR DE LA SESIÓN GRABADA?

Exclusiva de PG

2. HAY UNA NIÑA QUE REPITE CANTIDADES EN VEZ DE USAR EL PRODUCTO, ¿CUÁL ES LA VALORACIÓN DE ESE PROCESO?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

Comunes de KM y AP

2. ¿QUÉ TIPO DE PROBLEMAS APARECEN EN LA SESIÓN?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

Exclusivas de AP

12. ¿QUÉ ASPECTOS SON LOS MÁS IMPORTANTES?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

13. ¿CÓMO SE APRENDEN LAS MATEMÁTICAS?
Para Domingo	Actuación ideal	Tu actuación real

IV.4.5 LOS ARTEFACTOS

Goetz y LeCompte (1988) y Romberg (1992) denominan artefacto a las producciones que los sujetos de estudio elaboran durante el proceso: programaciones, materiales, documentos de trabajo, pruebas,..., y que pueden aportar información acerca de su pensamiento. En este estudio, y como elementos coadyuvantes en la obtención de perfil, se han utilizado la programación y los exámenes.

Respecto de la primera, y como ya dije en el apartado IV.1.3, se realizó sobre una unidad libremente elegida por cada uno de los sujetos, encuadrada dentro de su programación anual. Inicialmente pretendía ser una referencia para encuadrar la observación de aula y, en ese sentido, se pidió a cada sujeto el esfuerzo por detallar al máximo una de las sesiones (forma de comenzar, actividades previstas, papel del profesor y los alumnos,...).

Dado que en los tres sujetos estuvo muy condicionada por las directrices del departamento correspondiente de su centro, incluso en algún caso fue elaborada en equipo, no tuvo ninguna influencia en la elaboración del perfil aunque fue utilizada en la elaboración del informe.

Los exámenes han tenido como misión aclarar aspectos relacionados con la evaluación, tanto a nivel general como en cuanto a resolución de problemas.

De cada uno de los sujetos se han obtenido todas las pruebas que han utilizado durante el curso. Además, de cada una de ellas, cada sujeto ha propocionado ejemplares ya corregidos de sus alumnos, de entre los que han sido seleccionados aquellos que han parecido más significativos (normalmente con calificaciones entre 4 y 5).

Aunque la aportación de estos elementos a los perfiles, como se verá en los casos, es mínima, ofrece una clarificadora visión de lo que el sujeto valora, cómo lo valora (aspectos del proceso versus producto), "tipo" de problema que usa para esa valoración,..., en relación con los contenidos impartidos.

IV.5 INSTRUMENTOS DE TERCER Y CUARTO ORDEN. PROCESO DE ELABORACIÓN Y REVISIÓN

En los datos obtenidos a través de los instrumentos de primer orden el primer paso fue delimitar las unidades de información, después se procedió a su interpretación, es decir, a la asignación de indicadores de las tablas CEAM o CRP, previo acuerdo entre investigador y co-investigadores. Una vez efectuada dicha asignación se procedió a la constatación escrita de las unidades de información clasificadas por categorías, colocando al comienzo su número de orden precedido de un código distintivo del instrumento utilizado para su obtención (D-declaración-, E-entrevista-, O-observación-, EV-evocación-, VV-visionado de vídeo) y al margen derecho el indicador asignado con su descripción⁽⁸⁸⁾ (empleando abreviaturas por cuestiones de formato), como se ejemplifica en el cuadro 13.

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE KM (CEM)	EVALUACIÓN
E36. [Voy a valorar] todos los procedimentales...del área de matemáticas, de funciones [de la página tres de su libro de 3º de ESO]Por ejemplo...pinta una gráfica...o sea, una gráfica que cumpla una serie de condiciones...intentaría dar los menos datos numéricos posibles porque es donde les cuesta más trabajo, y a ver cómo atacarían este tipo de cuestiones...que me describieran una cierta gráfica, que me describieran qué suceso ocurre...	TE28+29: Operatividad de los objetivos+ Interpretación mecánica
EV3. [En cada clase, debo] ir sintetizando...cogiendo cositas...me tengo que preguntar qué creo yo que...han sacado claro de esta clase...	TE28: Operatividad de los objetivos
E6. [Tengo información de lo que hacen] porque normalmente participan [aunque] casi siempre es...el mismo grupo...yo intento...que no participen siempre los mismos, unas veces lo consigo y otras no, algunas veces se cierran en banda y no hay manera...De vez en cuando, con algunos en particular...hablo con ellos...	E28²+E31: Grado de implicación+ Diferenciación individual no organizada (2) Resalta sólo el perfil Humanista

Cuadro 13. Organización de datos con el instrumento de tercer orden.

A continuación, se procedió a señalizar cada uno de los indicadores afectados en las tablas (instrumentos de segundo orden). Con ello se iba obteniendo una aproximación al perfil de cada individuo que se iba representando, simplificado, en un cuadro en el que estaban ausentes los nombres de los indicadores (cuadros 14 y 15).

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLOGÍA	1
	2
	3
	4
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5
	6
	7
CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
PAPEL DEL ALUMNO	15
	16
	17
	18
	19
PAPEL DEL PROFESOR	20
	21
	22
	23
	24
EVALUACIÓN	25
	26
	27
	28
	29
	30
	31
	32
	33
	34
	35

Cuadro 14: Perfil concepción de la enseñanza y el aprendizajede la Matemática de...

CATEG.	IND/TEND.	TRADIC.	TECNOL.	ESPONT.	INVESTIG.
METODOLOGÍA	1
	2
	3
	4
SENTIDO EN LA ASIGNATURA	5
	6
	7
PAPEL EN EL APRENDIZAJE	8
	9
	10
	11
	12
	13
PAPEL DEL ALUMNO	14
	15
	16
PAPEL DEL PROFESOR	17
	18
	19
	20
LOS PROBLEMAS EN LA EVALUACIÓN	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29

Cuadro 15: Perfil concepción del papel de la Resolución de Problemas de...

Sería poco honesto omitir la secuencia real de esta parte del proceso, que aquí aparece con una linealidad nada comparable al recorrido con vericuetos y continuos "avance-retroceso" que lo caracterizaron..

La selección de las unidades de información es uno de los aspectos más delicados de este proceso de análisis cualitativo. Si la hace un único investigador está amenazada por la subjetividad; si la hacen varios es imprescindible una fuerte compenetración y coherencia que es difícil conseguir fuera de un grupo de trabajo suficientemente consolidado. En nuestro caso, el análisis y la interpretación de la información han sido llevados a cabo por tres investigadores. Así, la selección era hecha individualmente y discutida después y, de esta forma, la compenetración antes aludida fue aumentando a medida que avanzaba el proceso

Una vez decididas las unidades del texto que aportaban información, se procedió a su catalogación. Aquí también fue elaborada una propuesta por cada uno de los investigadores y consensuada después. Ninguna unidad fue catalogada sin aprobación por parte del equipo de investigación.

Finalmente, este proceso sufrió varias revisiones que, a su vez, supusieron una revisión del sistema de categorías e indicadores (modelo teórico). Una de estas revisiones -que llamaré revisión vertical en concordancia con Carrillo (1996)- consiste en comparar, en un mismo individuo, todas las unidades catalogadas bajo un mismo indicador, así como todos los indicadores obtenidos, no con el propósito de eliminar incoherencias, sino con el de evitar aquéllas que hayan sido motivadas por errores de apreciación de los investigadores; en la otra -que llamaré revisión horizontal, también en concordancia con Carrillo (1996)-, la comparación es en el mismo sentido pero entre todos los individuos, indicador por indicador. Con ambas pretendí tanto reducir el margen de posibles respuestas caracterizadas bajo un mismo indicador, como minimizar las diferencias interpretativas debidas a las alteraciones que podrían haberse derivado de no simultanear todos los análisis, cuestión por otro lado insoslayable. Finalmente, se puso en conocimiento de los individuos estudiados su modelo mental. Ello condujo a una enriquecedora negociación. Cabe comentar, en este sentido, el elevado grado de acuerdo existente con los tres sujetos.

El proceso de elaboración y revisión descrito se visualiza en el cuadro 16.

Dibujo2.GIF (5749 bytes)

Cuadro 16. Proceso de elaboración y revisión

Finalmente, como suele ser común sobre todo en los estudios cualitativos, he elaborado un informe descriptivo de la concepción de la enseñanza de la matemática y de la resolución de problemas de cada individuo. A su vez, estos informes han intervenido como variables a la hora de realizar el informe final (apartado Informe final de cada epígrafe de El Estudio de Casos -capítulo V), en el que se trata de encontrar relaciones entre ambas en cada uno de los sujetos analizados.

1. "Conjunto de interpretaciones que efectúa el investigador de lo que el individuo manifiesta o da a conocer sobre algún aspecto" (p.10).

2. También mantenemos la terminología usada por Carrillo (1996).

3. Un cuestionario fue cerrado, tipo Likert, y otro semiabierto. La información de éstos ha sido utilizada tan sólo para orientar la elaboración del resto de los instrumentos de primer orden, como ya se ha citado.

4. También siguiendo a Carrillo (1996, p.17), las unidades de información son enunciados o acciones que poseen una unidad sintáctica y/o semántica. Por ejemplo, en una entrevista, podemos encontrar una unidad de información dentro de una respuesta a una pregunta concreta o en varias que estén coordinadas. Además, en una misma unidad de información el sujeto puede estar dando luz acerca de distintos indicadores o categorías.

5. Una opción similar fue tomada por Canavarro (1993). Roulet (1996), en su estudio de casos, eligió intencionadamente sujetos no tradicionales (de reputación) por la información que, a priori, obtendría.

6. Por otro lado característico de las investigaciones etnográficas, como indican Goetz y LeCompte (1988).

7. Aunque la programación de la unidad y las pruebas se describen en un apartado específico: los artefactos.

De otro lado, esta distinción es discutible; la programación, por ejemplo, puede entenderse como documento que informa también durante la acción; y la evocación del recuerdo (de la acción en el aula) podría siatuarse en el después.

8. Algunas unidades de información del citado estudio, con leves retoques, fueron convertidas en "frases hechas" características de determinada tendencia didáctica y en relación con una categoría e indicador específicos.

9. Entre ellos los componentes del área de Didáctica de la Matemática de mi grupo de investigación (a los que jamas podré agradecer lo suficiente el tiempo que dedicaron a esta fase), uno de los sujetos del estudio de casos descrito en Carrillo (1996) y diversos grupos de estudiantes para profesor de Secundaria (CAP) de Málaga, Cádiz, Faro y Curitiba (Brasil).

10. Aunque no en su versión actual. De hecho, como se ha comentado en el proceso de revisión, los diversos análisis de las informaciones van sugiriendo reformas en el citado instrumento.

11. Hasta qué punto es cierto que usa los problemas para introducir los temas

12. En varias ocasiones ha afirmado que sugiere heurísticos, veamos en qué sentido

13. Podremos ver el uso del error y la sugerencia de heurísticos

14. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema

15. Qué tipo de agrupamiento realiza en los trabajos de resolución de problemas

16. Cómo se moviliza la información positiva o negativa por la clase, qué sacan los alumnos de los demás alumnos

17. Con qué criterios selecciona un problema, si lo realiza previamente para prever situaciones,...

18. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema

19. En varias ocasiones ha afirmado que sugiere heurísticos, veamos en qué sentido, en qué medida reconducir es, para él, abandonar otros procesos distintos del es suyo

20. Hasta qué punto cree en la construcción espontánea del conocimiento

21. En general informa sobre el sentido de los problemas en la asignatura

22. En qué medida explota los problemas, enfatiza procesos de mejora, educa en procesos matemáticos,....

23. Hasta qué punto es cierto que usa los problemas para introducir los temas

24. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué tal entiende el tanteo en la fase inicial de un problema

25. Qué hace con la información que obtiene de sus alumnos

26. Intentamos aclarar la ubicación en los indicadores 1 y 5.

27. Si se agrupan, cómo se agrupan, qué comunicación hay entre los grupos, cómo conoces sus progresos, ...

28. Plantea cuestiones para comprender el enunciado, intenta operar con los datos, esboza una representación gráfica o similar, hace preguntas del tipo ¿qué hay que hacer...?...

29. Discuten con el profesor, éste toma en consideración sus aportaciones,....

30. Criterios de evaluación, ¿significados?

31. Qué valora y cómo concibe la recuperación

32. En qué medida los problemas no son más que el vehículo por el que medimos la aplicabilidad de la teoría

33. ¿Aptitud transformable?, e incluso fines de la rp

34. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema

35. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema

36. Podremos ver el grado de reflexión sobre las decisiones que adopta

37. En general informa sobre el sentido de los problemas en la asignatura

38. Indagamos sobre la posible diferenciación individual y sobre si, como ella afirma, mediante la realización de ejercicios verifica la adquisición de conceptos.

39. Habrá algún momento para relacionar los distintos procedimientos, será una puesta en común, qué sacarán los alumnos de esa actividad,..., o quizás la que ella ha pensado (de nuevo pueden aparecernos indicios de su grado de reflexión)

40. Lo será en el sentido de más formal, digamos, "más matemática"...

41. La frase que citaba en el cuestionario inducía a pensar en sugerencia de heurísticos; se trata de ver exactamente el significado.

42. Tipo de claves que se proporcionan

43. Si se agrupan, cómo se agrupan, qué comunicación hay entre los grupos, cómo conoces sus progresos, ...

44. Plantea cuestiones para comprender el enunciado, intenta operar con los datos, esboza una representación gráfica o similar, hace preguntas del tipo ¿qué hay que hacer...?...

45. Con qué criterios selecciona un problema/ejercicio, si lo realiza previamente para prever situaciones,....

46. Analizamos el sentido (5) y la organización (4) de los ejercicios

47. El paréntesis en la retaguardia.

48. Se trata de especificar los papeles de profesor y alumnos, de aclarar las responsabilidades en la transferencia E-A

49. Fines de la rp e incluso aptitud transformable

50. Indagamos sobre la existencia de diagnóstico inicial y sobre la eventual adaptación de la programación y los objetivos a la información obtenida.

51. Nivel de formalismo, papel de los procesos inductivos

52. Soterradamente quiero saber si pedirá el recuerdo de las fórmulas o las dejará, planteando cuestiones sobre significado

53. Hay una posible ejercitación (repetitiva o reproductiva), puede aclararse el papel de los problemas en la asignatura y puede obtenerse información sobre el aprendizaje

54. Indagamos el tipo de metodología en RP, y en la segunda pregunta sobre criterios de valoración (memoria, algoritmos,...) en los problemas de los exámenes

55. Dinamizador

56. Dinamizador y programación

57. Mínimos...

58. Participación de los alumnos en el diseño didáctico

59. Comparte las diferencias o, por el contrario, estima que la ESO debería enfocarse también como el bachillerato, con más formalismo y especificidad (cuasi enciclopedismo)

60. Dinamizador, programación, contenidos mínimos,...

61. Dinamizador, programación, contenidos mínimos, diferenciación individual,...

62. ¿Unidades aisladas?, ¿secuencial?

63. Fines de la rp e, incluso, aptitud transformable

64. El paréntesis en la retaguardia.

65. En qué medida el alumno se somete a la verdad del profesor. Al pedirle otro ejemplo evitamos el problema en caso de no serle el nuestro familiar

66. Si se agrupan, cómo se agrupan, qué comunicación hay entre los grupos, cómo conoces sus progresos, ....

67. Plantea cuestiones para comprender el enunciado, intenta operar con los datos, esboza una representación gráfica o similar, hace preguntas del tipo ¿qué hay que hacer...?

68. Analizamos el sentido (5) y la organización (4) de los ejercicios

69. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema

70. Cómo valora procesos de resolución no formales, cómo los continúa, qué valor concede al tanteo en la fase inicial de un problema; valoración de procesos inductivos

71. En general informa sobre el sentido de los problemas en la asignatura

72. Nivel de formalismo, papel de los procesos inductivos

73. Soterradamente quiero saber si pedirá el recuerdo de las fórmulas o las dejará, planteando cuestiones sobre significado

74. Indagamos sobre la importancia del formalismo y sobre la vinculación teoría-práctica.

75. Indagamos sobre la importancia del formalismo y sobre la vinculación teoría-práctica.

76. Veamos en que posición se sitúa en el continuo transmisión verbal-provocación

77. ¿Se plantea revisar los objetivos, el método?, ¿cómo plantea la recuperación?

78. Los alumnos lo abordan individualmente, lo discuten entre ellos, se canalizan las aportaciones,....

79. En qué medida usa los problemas abiertos versus los bien definidos. ¿Se encuentra atada por el ámbito conceptual donde se mueve?

80. Al manifestar lo que espera de sus alumnos no declara parte de sus fines

81. Analizamos la posible sugerencia de heurísticos. En este caso, además se trata de sustituir valores, ¿lo sugiere?

82. Veamos si no es más que quejarse del escaso nivel con que vienen los alumnos,...

83. ¿Diferenciación individual?

84. Flexibilidad en la programación

85. En la línea de lo descrito en Cooney (1985).

86. Esta estrategia de obtención de información ha sido utilizada por Lerman (1990) y Canavarro (1993). En nuestro caso se incidía sobre aspectos menos claros o sobre los que se tenía menos información acerca del sujeto. Este instrumento, como señala Blanco (1996), lleva a un plano muy adecuado de reflexión sobre situaciones de aula.

87. Según lo descrito en Carrillo (1996) y Chapman (1997), se ofrece a los sujetos la posibilidad de posicionarse en una u otra tendencia. Para ello se le van describiendo, en orden decreciente respecto de la posición sospechada en su perfil, el indicador correspondiente en cada tendencia (por ejemplo, si en un perfil TE sospechamos un E17, comenzamos describiendo éste, después TE17, TR17 y, finalmente, I17) hasta que el sujeto manifiesta conformidad con uno de ellos.

88. De hecho, la descripción del indicador puede interpretarse como el constructo hipotético (supone el investigador que posee el individuo) (Porlán,1989).