Dada una función f, se dice que es lineal si cumple que donde k es un escalar.
El matemático y físico Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo.
Para muchos y aunque de muy difícil lectura, la obra más importante que registra hasta ahora la historia de la ciencia.
Quizás el único fallo que tenía la teoría de Newton (y él era consciente de ello) era que las fuerzas que se ejercían entre los cuerpos a distancia operaban de forma instantánea. Aún así, las ideas newtonianas fueron parte del programa de todo investigador en el campo de la física teórica hasta finales del siglo XIX. No fue hasta la teoría del campo electromagnético promulgada por Maxwell cuando se comprendió con claridad que las interacciones eléctricas y magnéticas entre los cuerpos no eran debidas a fuerzas que operaran de modo instantáneo y a distancia, sino a procesos que se propagaban a través del espacio a una velocidad finita. El terreno estaba ya preparado y las aportaciones de Mach, Poincaré y Lorentz, desembocaron en la Teoría de la Relatividad Restringida de Albert Einstein en la que, al abandonarse la noción de absoluta simultaneidad se excluía la existencia de fuerzas que actúan instantáneamente a dis-tancia. El espacio y también el tiempo, quedaban despojados de su capacidad causal absoluta y pasaron a ser entes afectados por las masas del Universo en estrecha relación, ahora, con la energía. La teoría General de la Relatividad, la nueva teoría de la gravitación, sustituiría a la gravitación newtoniana. Las leyes del movimiento de Newton sólo son válidas para pequeñas distancias, las del sistema solar, y para pequeñas velocidades, que ahora también tienen un límite, el de la velocidad de la luz.
Un sistema puede tener más de una entrada; imagínese por ejemplo un barco con más de un motor actuando a la vez para moverlo.
Para un modelo no lineal siempre se podrá linealizar en torno al punto de operación.
Para un sistema variante con el tiempo se escribiría
Para el caso general de una función de n variables su desarrollo en serie de Taylor puede encontrarse en textos matemáticos y direcciones de Internet. Véase por ejemplo: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor [1]
Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 - París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló, entre otras cosas, la transformada de Laplace. La Transformada de Laplace de una función f(t) para todos los números reales t ≥ 0, es la función definida por: . Donde s es una variable compleja y . Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. El modo de operar consiste en transformar por la integral la función f(t) en la función F(s), para lo cual en la práctica se utilizan tablas de transformadas. Éstas pueden ser encontradas en textos y direcciones de Internet. Véase por ejemplo: http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace [2].
La transformada inversa de Laplace permite encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s): Donde es una constante real.
La instrucción de MATLAB laplace devuelve la función de s correspondiente a una función de t.
Para el caso de que la expresión a desarrollar contenga polos múltiples del tipo ver ejemplo 2.15. El caso general puede ser consultado en textos y direcciones de Internet. Véase por ejemplo: http://www.scribd.com/doc/6075394/DescomposiciOn-Fracciones-Parciales [3]. La función de MATLAB residue realiza la expansión en fracciones parciales de la relación de dos polinomios B(s)/A(s).
La función de MATLAB ilaplace calcula la transformada inversa de Laplace.
Raíces del polinomio denominador de la función de transferencia.
Raíces del polinomio numerador de la función de transferencia.
La operación matemática se denomina convolución
Salvo para cálculos sencillos de lápiz y papel, la matriz de transición de estado no se suele calcular por el procedimiento de este ejemplo, esto es, invirtiendo la matriz para pasar después al dominio del tiempo. Existen métodos analíticos, como el de interpolación de Sylvester por ejemplo, que permiten calcular la matriz de transición de estado en su forma exponencial de modo directo.
El proceso de conversión A/D tiene tres etapas perfectamente diferenciadas, a saber: muestreo, cuantificación y codificación. Nótese que la señal muestreada no contiene errores para los instantes de muestreo, ya que en ellos el valor capturado es análogo al de la señal original. Sin embargo, el proceso siguiente al muestreo, cuantificación, atribuye un valor finito (discreto) de amplitud a la señal muestreada, seleccionado por aproximación dentro de un margen de niveles previamente fijado, lo cual introduce en el proceso un error denominado error de cuantificación. Por último, la etapa de codificación traduce el valor finito cuantificado en una sucesión de ceros y unos que corresponde al valor binario de la señal muestreada. Esta palabra digital correspondiente al valor analógico inicial es la que ya puede entender el computador. Imaginemos como ejemplo un convertidor A/D de 3 bits (8 palabras digitales de salida, de 000 a 111) cuyo margen de entrada es 5 V (5/8 = 0,625 V). Si a la entrada del convertidor llega un muestreo de 0,600 V, el valor asignado en la cuantificación será 0 V, el error de cuantificación cometido 0,6 V y la palabra digi-tal de salida 000.
En casos muy concretos donde la velocidad sea un factor determinante se puede implementar mediante hardware.
Un algoritmo es un procedimiento que puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica.
Existen dos restricciones prácticas: 1) La consideración tiempo de muestreo menor implica mayor precisión llega un momento que se satura y deja de ser cierta, debido fundamentalmente a la propia precisión de cálculo del computador, y 2) Siempre es deseable llegar a un compromiso entre esfuerzo de cómputo o coste computacional y precisión.
Los métodos de Runge-Kutta son una familia de métodos iterativos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
En honor de su inventor, Leonhard Paul Euler. Matemático y físico que nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Es considerado el matemático principal del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.
Para saber más ver por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_de_muestreo [4]
Para pares de transformadas, propiedades y, en general, para saber más sobre la transformada , véase por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z [5] La función de MATLAB ztrans permite calcular la transformada z de una secuencia.
La función de MATLAB iztrans calcula la transformada z inversa.
Enlaces:
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
[3] http://www.scribd.com/doc/6075394/DescomposiciOn-Fracciones-Parciales
[4] http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_de_muestreo
[5] http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z