Resuelto. 2007, junio. Ejercicio 2 de teoría (2 puntos)

Demuestre que los siguientes modelos de estado pertenecen al mismo sistema:

Resolución:

Para comprobar que los dos modelos de estado pertenecen al mismo sistema, es suficiente con obtener la función de transferencia de ambos modelos. Si efectivamente pertenecen al mismo sistema, sus funciones de transferencia han de ser idénticas.

$\bf{\dot x}=\bf{Ax}+\bf{B}u$
$y=\bf{Cx}+\bf{D}u$

$\textit{L} \Rightarrow s\bf{X}\left ( s \right ) = \bf{AX}\left ( s \right ) + \bf{B}U\left ( s \right ) \rightarrow s\bf{X}\left ( s \right ) - \bf{AX}\left ( s \right ) = \bf{B}U\left ( s \right )$
$\left( s\bf{I}-\bf{A}\right)\bf{X}\left ( s \right ) = \bf{B}U\left ( s \right ) \rightarrow \bf{X}\left ( s \right ) = \left( s\bf{I}-\bf{A}\right)^{-1}\bf{B}U\left ( s \right )$

$y = \bf{CX}\left ( s \right )+\bf{D}U\left ( s \right ) \rightarrow y=\bf{C}\left( s\bf{I}-\bf{A}\right)^{-1}\bf{B}U\left ( s \right ) + \bf{D}U\left ( s \right )$

Primer Modelo:

$\bf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}; \quad \bf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \quad \bf{C} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad \bf{D} = 0$

$\left( s\bf{I}-\bf{A}\right) = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+1 & 0 \\ -1 & s+2 \end{pmatrix}$

$\mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right) = \begin{pmatrix} s+2 & 1 \\ 0 & s+1 \end{pmatrix} \rightarrow \mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right)^{\mbox{T}} = \begin{pmatrix} s+2 & 0 \\ 1 & s+1 \end{pmatrix}$

$\left| s\bf{I}-\bf{A}\right| = \begin{vmatrix} s+1 & 0 \\ -1 & s+2 \end{vmatrix} = (s+1)(s+2)=s^2+3s+2$

$\left( s\bf{I}-\bf{A}\right)^{-1} = \frac{\mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right)^{\mbox{T}}}{\left| s\bf{I}-\bf{A}\right|} = \frac {\begin{pmatrix} s+2 & 0 \\ 1 & s+1 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2}$

$G\left ( s \right ) = \frac {Y\left ( s \right )}{U\left ( s \right )} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \frac {\begin{pmatrix} s+2 & 0 \\ 1 & s+1 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 = \frac {\begin{pmatrix} 1 & s+1 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac {1+s+1}{s^2+3s+2}$

$G\left ( s \right ) = \frac {s+2}{s^2+3s+2}$

Segundo Modelo:

$\bf{A} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}; \quad \bf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}; \quad \bf{C} = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 \end{pmatrix}; \quad \bf{D} = 0$

$\left( s\bf{I}-\bf{A}\right) = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+3 & 2 \\ -1 & s \end{pmatrix}$

$\mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right) = \begin{pmatrix} s & 1 \\ -2 & s+3 \end{pmatrix} \rightarrow \mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right)^{\mbox{T}} = \begin{pmatrix} s & -2 \\ 1 & s+3 \end{pmatrix}$

$\left| s\bf{I}-\bf{A}\right| = \begin{vmatrix} s+3 & 2 \\ -1 & s \end{vmatrix} = s(s+3)-(-2)=s^2+3s+2$

$\left( s\bf{I}-\bf{A}\right)^{-1} = \frac{\mbox{Adjunta}\left( \left( s\bf{I}-\bf{A}\right) \right)^{\mbox{T}}}{\left| s\bf{I}-\bf{A}\right|} = \frac {\begin{pmatrix} s & -2 \\ 1 & s+3 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2}$

$G\left ( s \right ) = \frac {Y\left ( s \right )}{U\left ( s \right )} = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 \end{pmatrix} \frac {\begin{pmatrix} s & -2 \\ 1 & s+3 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 = \frac {\begin{pmatrix} 0.5s+1 & s+2 \end{pmatrix}}{s^2+3s+2} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac {2(0.5s+1)}{s^2+3s+2}$

$G\left ( s \right ) = \frac {s+2}{s^2+3s+2}$

Conclusiones:

Puesto que las funciones de transferencia de ambos modelos son idénticas, queda demostrado que los dos modelos de estado pertenecen al mismo sistema.

Nota:

Ambas funciones de transferencia pueden simplificarse a $G\left ( s \right ) = 1/(s+1)$, esto quiere decir que los modelos de estado del ejercicio no son representaciones mínimas del sistema, ya que bastaría con una única variable de estado para modelarlo.