Práctica 5: Velocidad límite. Viscosidad de un fluido.

La presente práctica se ocupa del estudio de las fuerzas de fricción que oponen los fluidos al desplazamiento de un cuerpo en su seno. Introduciremos el concepto de velocidad límite y el de viscosidad y calcularemos el coeficiente de viscosidad de uno o varios líquidos.

5.1 Introducción

Cuando un sólido se mueve inmerso en un fluido desplaza las moléculas del fluido, "haciéndolas a un lado", transfiriéndoles una cantidad de movimiento que, obviamente, depende de la propia cantidad de movimiento del sólido; es decir, de su velocidad. A su vez, las moléculas del fluido que han adquirido mayor momento se desplazan contra la oposición de las moléculas vecinas, trasfiriéndoles también momento. Como resultado de este proceso, el fluido opone una fuerza de fricción o fuerza de arrastre al movimiento del cuerpo sólido en su interior que es del mismo tipo que las fuerzas entre capas de un fluido que se desplazan a diferente velocidad. Cuanto mayor sea la velocidad del cuerpo, mayor será la transferencia media de momento en la colisión con las moléculas del fluido y, en consecuencia, más perturbaremos el equilibrio entre diferentes capas del fluido.

5.2 Fundamento teórico

Como vimos en la introducción todo cuerpo en movimiento en el seno de un fluido experimenta una fuerza de fricción, tambien llamada fuerza viscosa, que debe ser proporcional a su velocidad y opuesta a ella

donde el signo expresa la oposición al movimiento de la fuerza de fricción, y los coeficientes K y son, respectivamente, el coeficiente de arrastre y el coeficiente de viscosidad. El primero de ellos es de carácter puramente geométrico y solamente depende de la forma y el tamaño del cuerpo que se desplaza en el seno del fluido. Su obtención teórica, a partir de una descripción microscópica del fenómeno que acabamos de describir es imposible en la práctica, excepto para geometrías muy sencillas. En general se recurre a la determinación empírica de dicho coeficiente. En el caso de una esfera de radio R que se mueve lentamente, un cálculo laborioso permite demostrar que

relación que se conoce como Ley de Stokes. El coeficiente de viscosidad, , depende de las propiedades moleculares del fluido, y su determinación empírica es el cometido de la presente práctica.

Como puede deducirse del análisis dimensional de las ecuaciones (5.1) y (5.2) las dimensiones del coeficiente de viscosidad son fuerza dividida entre longitud por velocidad, por tanto, en el Sistema Internacional se mide en unidades

La unidad correspondiente en sistema cgs, 1 din s cm^-2, es la unidad de viscosidad de uso corriente y recibe el nombre de poise cumpliéndose que

5.2.1 Velocidad límite en caída libre

Consideremos como sistema objeto de estudio un cuerpo esférico, de radio R, en caída libre en el seno de un fluido. La trayectoria del móvil estará confinada en una única dirección, pudiendo entonces escribirse la ecuación de movimiento de dicho móvil en una dimensión como:

donde el eje z es paralelo a la dirección del movimiento y a la aceleración de la gravedad, siendo el sentido de esta aceleración el de z creciente. La fuerza E es el empuje debido al Principio de Arquímedes, que ya estudiamos en la práctica II. Sin más que imponer la condición de anulación de la aceleración total resultante, en la ecuación (5.5), se obtiene que un móvil, en caída libre, no puede ser acelerado más allá de cierta velocidad, que llamamos velocidad límite (v_l),

Si ahora aplicamos la relación de Stokes y el principio de Arquímedes a la ecuación (5.6), teniendo en cuenta la geometría esférica del móvil, obtendremos el siguiente resultado para la velocidad límite:

donde y _f representan la densidad del móvil y del fluido respectivamente. A partir de dicho resultado se puede determinar empíricamente el valor del coeficiente de viscosidad supuesto el conocimiento de la densidad y el radio del móvil y la densidad del fluido.

5.2.2 Trayectoria de la caída libre

La ecuación de movimiento de la trayectoria para un móvil en caída libre, ecuación (5.5), es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea. No obstante, puede resolverse con relativa facilidad: resolviendo primero la ecuación diferencial de primer orden para la velocidad. Para el caso presentado en el apartado anterior resulta que la velocidad es

donde v₀ es la velocidad inicial del móvil. Integrando la ecuación (\ref{v) se obtiene que la trayectoria del móvil en el seno del fluido es

donde V₀ es la velocidad inicial del móvil. Integrando la ecuación (5.8) se obtiene que la trayectoria del móvil en el seno de un fluido es

siendo para el caso de la caída libre

Esta última ecuación describe la trayectoria de caída libre de un móvil esférico de radio R y densidad en el seno de un fluido de densidad _f y coeficiente de viscosidad .

5.3 Objetivos

A partir de los resultados ( 5.8), ( 5.9) de la sección anterior es fácil ver que, si dejamos pasar un tiempo suficientemente grande (t >> 2R² /(9) ), el móvil describe aproximadamente un movimiento uniforme de velocidad constante v_l. Además dicha velocidad v_l es independiente de la velocidad inicial con la que inició la caída libre.

Los objetivos de la presente práctica son:

• Estudiar la trayectoria de un cuerpo esférico en caída libre en el seno de un líquido problema muy viscoso.
• Determinar si se alcanza o no el régimen estacionario de velocidad, en el que la velocidad se puede considerar constante e igual a la velocidad límite calculada en la sección anterior.
• De alcanzarse dicho regimen, obtener la velocidad límite y a partir de la medida directa de las densidades del fluido y del móvil y del radio de este último, calcular una estimación indirecta de la viscosidad del fluido con su correspondiente error.