Ejercicio 2) (4 Puntos). Dado el sistema de control de la figura 1, donde
$G(s) = \dfrac{{(s + 0.5)}}{{(s + 0.1)(3s + 1)}},$ $C(s)=K$ y $H(s) = \dfrac{1}{{(0.4s + 1)}}$
a) Dibuje la región del plano S donde deberán situarse las raíces dominantes para que el sistema
posea un sobreimpulso máximo del 10% y un tiempo de asentamiento menor de 8 segundos.
b) Calcule la condición que debe satisfacer el controlador para que el error de estado estacionario
de posición sea inferior al 6%.
c) Escoja un valor de K para que se cumplan las especificaciones del diseño dadas en los
apartados anteriores. Explique detalladamente el proceso de diseño seguido.
d) Simule el comportamiento del sistema y comente los resultados de la simulación.
e) ¿Qué sucedería si el requisito de error de posición fuese inferior al 1%? ¿Qué solución
adoptaría? Apoye su argumentación mediante los cálculos y simulaciones que considere
necesarios.
a)El plano S para un sobreimpulso máximo del 10% y un tiempo de asentamiento menor de 8 segundos, es el resultante.
\[ M_p < 10\% = 0.1\]
\[M_p = e^{\dfrac{{ - \delta \pi }}{{\sqrt {1 - \delta ^2 } }}} \]
\[\delta = \sqrt {\dfrac{{(LnM_p )^2 }}{{\pi ^2 + (LnM_p )^2 }}} \Rightarrow \delta \geq 0.5911\]
\[t_s < 8s.\]
\[ \cos \beta = \delta\]
\[\beta \leq arcos (0.5911) \rightarrow \beta \leq 53.73º\]
\[
t_s \approx \dfrac{4}
{{\delta w_n }} < 8s \rightarrow{{}} \delta w_n > \dfrac{4}{8}, \delta w_n > 0.5
\]
Para que se cumpla las especificaciones de sobreimpulso y tiempo de asentamiento dado los polos deben de estar dentro del plano S dibujado.
b) Para un error de posición inferior al 6% la k será la siguiente.
E(s)= R(s)-B(s)
B(s)= H(s)* Y(s)
Y(s)= E(s)*C(s)*G(s)
\[
E(s) = R(s)\dfrac{1}
{{1 + H(s)*C(s)*G(s)}}
\]
\[
E(s) = R(s)\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
x(\infty ) = \mathop {Lim}\limits_{s \to 0} s\dfrac{1}
{s}\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
\dfrac{{0.1}}
{{0.1 + 0.5K}} < 0.06;K > 3,13
\]
Para que el error de posición del sistema sea inferior a 6% K debe de ser mayor a 3.13
c) Para que se cumpla las especificaciones la K debe de estar dentro del plano S descrito anteriormente y ser mayor de 3.13, por ello usare una K de 3.3
d) la simulación es la siguiente
clc,clear all, close all;
%K=3.2;
G=tf([1 0.5],[3 1.3 0.1])
H=tf([1],[0.4 1])
Gba=series(G,H);
rlocus(Gba)
sgrid
K=rlocfind(Gba)
figure
Gbc=feedback(K*G,H)
%veo respuesta sistema
step(Gbc)
%otra grafica para ver el error posicion
figure
[y,t]=step(Gbc);
plot(t,y)
hold on
X=ones(1,length(t));
plot(t,X,'k--')
hold off
error_posicion=(1-y(end))*100
En el grafico anterior se observa que como hemos seleccionado una ganancia K de 3.3 aproximadamente y que esta dentro del plano S dibujado anteriormente. Pero se observa que de algún modo solo cumplimos las especificaciones de error del 6% y el tiempo de asentamiento ya que es sobre impulso obtenido es del 11.9%, un 1.9% mas de lo deseado, en definitiva esta ganancia aproximadamente será la mas deseada por nosotros aunque asumamos ese 1.9% mas de sobre impulso. Ya que veremos que para un gran amplio margen de las ganancias, el tiempo de asentamiento se cumple, pero para el caso del sobreimpulso y del error de posición si uno mejor el otro empeora.
Para k>3.3
Se observa como que el error de posición disminuye a mayor ganancia de K, pero el sobre impulso aumenta cada vez mas cuanto mas no alejemos del eje real.
Para que el sobreimpulso sea menor del 10% tenemos que desplazarnos hacia la derecha en el eje real disminuyendo la ganancia
Para k<3.13
Para esta zona a la derecha de K=3.13 el sobreimpulso disminuye pero el error aumenta es de un 7.33% e ira aumentado cuanto menor sea la ganancia.
e) para un error de posición inferior al 1% quedara una restricción de k como la siguiente.
\[
x(\infty ) = \mathop {Lim}\limits_{s \to 0} s\dfrac{1}
{s}\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
\dfrac{{0.1}}
{{0.1 + 0.5K}} < 0.01;K > 19.8
\]
Para K=20
clc,clear all, close all;
%K=3.2;
G=tf([1 0.5],[3 1.3 0.1])
H=tf([1],[0.4 1])
Gba=series(G,H);
rlocus(Gba)
sgrid
K=rlocfind(Gba)
figure
Gbc=feedback(K*G,H)
%veo respuesta sistema
step(Gbc)
%otra grafica para ver el error posicion
figure
[y,t]=step(Gbc);
plot(t,y)
hold on
X=ones(1,length(t));
plot(t,X,'k--')
hold off
error_posicion=(1-y(end))*100
%con k=20
K=20
figure
Gbc=feedback(K*G,H)
%veo respuesta sistema
step(Gbc)
%otra grafica para ver el error posicion
figure
[y,t]=step(Gbc);
plot(t,y)
hold on
X=ones(1,length(t));
plot(t,X,'k--')
hold off
error_posicion=(1-y(end))*
Se puede observar que el sobreimpulso es muy elevado de un 93.3% el sistema hasta llegar a la posición deseada va estar oscilado mucho. Este sobreimpulso no es aconsejable asumir por algunas razones como el daño a la electrónica asociada o por el gasto energético elevado, aunque todo depende del sistema a controlar.
Se puede observar que el error al 1% si se cumple como muestra la siguiente grafica, ya que ilustra lo próximo a la entrada escalón, tan solo cometiendo un error del 0.95%.
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