A. Javier Barragán Piña

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Ejercicio 2) (4 Puntos). Dado el sistema de control de la figura 1, donde

$G(s) = \dfrac{{(s + 0.5)}}{{(s + 0.1)(3s + 1)}},$ $C(s)=K$ y $H(s) = \dfrac{1}{{(0.4s + 1)}}$

a) Dibuje la región del plano S donde deberán situarse las raíces dominantes para que el sistema
posea un sobreimpulso máximo del 10% y un tiempo de asentamiento menor de 8 segundos.
b) Calcule la condición que debe satisfacer el controlador para que el error de estado estacionario
de posición sea inferior al 6%.
c) Escoja un valor de K para que se cumplan las especificaciones del diseño dadas en los
apartados anteriores. Explique detalladamente el proceso de diseño seguido.
d) Simule el comportamiento del sistema y comente los resultados de la simulación.
e) ¿Qué sucedería si el requisito de error de posición fuese inferior al 1%? ¿Qué solución
adoptaría? Apoye su argumentación mediante los cálculos y simulaciones que considere
necesarios.

a)El plano S para un sobreimpulso máximo del 10% y un tiempo de asentamiento menor de 8 segundos, es el resultante.

\[ M_p  < 10\%  = 0.1\]

\[M_p  = e^{\dfrac{{ - \delta \pi }}{{\sqrt {1 - \delta ^2 } }}} \]

\[\delta  = \sqrt {\dfrac{{(LnM_p )^2 }}{{\pi ^2  + (LnM_p )^2 }}} \Rightarrow \delta  \geq 0.5911\]

\[t_s  < 8s.\]

\[ \cos \beta = \delta\]

\[\beta  \leq arcos (0.5911) \rightarrow \beta  \leq 53.73º\]

\[
t_s  \approx \dfrac{4}
{{\delta w_n }} < 8s  \rightarrow{{}} \delta w_n  > \dfrac{4}{8}, \delta w_n  > 0.5
\]

 

Para que se cumpla las especificaciones de sobreimpulso y tiempo de asentamiento dado los polos deben de estar dentro del plano S dibujado.

 

b)     Para un error de posición inferior al 6% la k será la siguiente.

 E(s)= R(s)-B(s)

B(s)= H(s)* Y(s)

Y(s)= E(s)*C(s)*G(s)

 \[
E(s) = R(s)\dfrac{1}
{{1 + H(s)*C(s)*G(s)}}
\]
\[
E(s) = R(s)\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
x(\infty ) = \mathop {Lim}\limits_{s \to 0} s\dfrac{1}
{s}\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
\dfrac{{0.1}}
{{0.1 + 0.5K}} < 0.06;K > 3,13
\]

Para que el error de posición del sistema sea inferior a 6% K debe de ser mayor a 3.13

 c)     Para que se cumpla las especificaciones la K debe de estar dentro del plano S descrito anteriormente y ser mayor de 3.13, por ello usare una K de 3.3

 d)     la simulación es la siguiente

clc,clear all, close all;

%K=3.2;

G=tf([1 0.5],[3 1.3 0.1])

H=tf([1],[0.4 1])

Gba=series(G,H);

rlocus(Gba)

sgrid

K=rlocfind(Gba)

figure

Gbc=feedback(K*G,H)

%veo respuesta sistema

step(Gbc)

%otra grafica para ver el error posicion

figure

[y,t]=step(Gbc);

plot(t,y)

hold on

X=ones(1,length(t));

plot(t,X,'k--')

hold off

error_posicion=(1-y(end))*100

En el grafico anterior se observa que como hemos seleccionado una ganancia K de 3.3 aproximadamente y que esta dentro del plano S dibujado anteriormente. Pero se observa que de algún modo solo cumplimos las especificaciones de error del 6% y el tiempo de asentamiento ya que es sobre impulso obtenido es del 11.9%, un 1.9% mas de lo deseado, en definitiva esta ganancia aproximadamente será la mas deseada por nosotros aunque asumamos ese 1.9% mas de sobre impulso. Ya que veremos que para un gran amplio margen de las ganancias, el tiempo de asentamiento se cumple, pero para el caso del sobreimpulso y del error de posición si uno mejor el otro empeora.

Para k>3.3

Se observa como que el error de posición disminuye a mayor ganancia de K, pero el sobre impulso aumenta cada vez mas cuanto mas no alejemos del eje real.

Para que el sobreimpulso sea menor del 10% tenemos que desplazarnos hacia la derecha en el eje real disminuyendo la ganancia

Para k<3.13

Para esta zona a la derecha de K=3.13 el sobreimpulso disminuye pero el error aumenta es de un 7.33% e ira aumentado cuanto menor sea la ganancia.

 e)     para un error de posición inferior al 1% quedara una restricción de k como la siguiente.

 \[
x(\infty ) = \mathop {Lim}\limits_{s \to 0} s\dfrac{1}
{s}\dfrac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
\dfrac{{0.1}}
{{0.1 + 0.5K}} < 0.01;K > 19.8
\]

Para K=20

clc,clear all, close all;

%K=3.2;

G=tf([1 0.5],[3 1.3 0.1])

H=tf([1],[0.4 1])

Gba=series(G,H);

rlocus(Gba)

sgrid

K=rlocfind(Gba)

figure

Gbc=feedback(K*G,H)

%veo respuesta sistema

step(Gbc)

%otra grafica para ver el error posicion

figure

[y,t]=step(Gbc);

plot(t,y)

hold on

X=ones(1,length(t));

plot(t,X,'k--')

hold off

error_posicion=(1-y(end))*100

 

%con k=20

K=20

figure

Gbc=feedback(K*G,H)

%veo respuesta sistema

step(Gbc)

%otra grafica para ver el error posicion

figure

[y,t]=step(Gbc);

plot(t,y)

hold on

X=ones(1,length(t));

plot(t,X,'k--')

hold off

error_posicion=(1-y(end))*

Se puede observar que el sobreimpulso es muy elevado de un 93.3% el sistema hasta llegar a la posición deseada va estar oscilado mucho. Este sobreimpulso no es aconsejable asumir por algunas razones como el daño a la electrónica asociada o por el gasto energético elevado, aunque todo depende del sistema a controlar.

Se puede observar que el error al 1% si se cumple como muestra la siguiente grafica, ya que ilustra lo próximo a la entrada escalón, tan solo cometiendo un error del 0.95%.