A. Javier Barragán Piña

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Ejercicio 3 (3 Puntos). Trace manualmente el lugar de las raíces del siguiente sistema:

Recuerde: roots le permite obtener las raíces de una ecuación.

SOLUCIÓN:

La ecuación característica del sistema es la siguiente:

$EC \equiv 1 + kP(s) = 0$ donde $P(s) = \dfrac{{s + 2}}{{s(s + 1)}}$

El Lugar de las Raíces comienza siempre en los polos de lazo abierto, con k=0, y termina en los ceros, con k=$\infty$. Tendrá tantas Ramas como polos de P(s), y éstas llegarán a los ceros de P(s) ó,si no los hay finitos, fugarán a infinito. A continuación procedemos a obtener los datos necesarios para trazar el Lugar de las Raíces de forma aproximada.

- Polos y ceros:

Conociendo P(s), podemos saber el números de polos (n) y el número de ceros (m), así como el valor de cada polo y de cada cero.

$P(s) = \dfrac{{s + 2}}{{s(s + 1)}}$

Vemos en la ecuación que existen dos polos y un cero:

n=2 ; p1=0 ; p2=-1

m=1 ; z=-2

Con estos datos, ya podemos comenzar a realizar la gráfica que muestra el Lugar de las Raíces, de momento tenemos lo siguiente:

Al tener dos polos y un cero, ya sabemos que debe haber una rama que fugará a infinito.

- Lugar de las Raíces en el Eje Real:

El Lugar de las Raices existe en el eje real en cualquier segmento para el que el número total de polos y ceros de P(s) a la derecha es impar. Por tanto, existirá Lugar de las Raíces en el eje real en los intervalos:

$\sigma \in \left\{ {\left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ { - 1,0} \right]} \right\}$

- Asíntotas:

Debemos calcular una asíntota, ya que una rama fugará a infinito.

k=0,...,n-m-1 ; n-m-1=2-1-1=0 ; k=0

$\sigma _k = \dfrac{{180 + k360}}{{n - m}}$

$\sigma _0 = \dfrac{{180}}{{2 - 1}} = 180{\rm{ grados}}$

El punto de corte de la asíntota con el eje real se calcularía así, aunque no tiene sentido con una sola asíntota):

$\sigma _C = \dfrac{{\sum {polos} - \sum {ceros} }}{{n - m}} = \dfrac{{(0 - 1) - ( - 2)}}{{2 - 1}} = 1$

El ángulo que forma la asíntota con el eje real es de 180º, y el punto de corte entre ambos es en 1.

- Puntos de ruptura:

Los puntos de ruptura son los valores reales de 's' que satisfacen:

$\dfrac{d}{{ds}}P(s) = 0$

$\dfrac{d}{{ds}}\left( {\dfrac{{s + 2}}{{s^2 + s}}} \right) = \dfrac{{s^2 + s - (s + 2)(2s + 1)}}{{\rlap{--} d\rlap{--} \rlap{--} e\rlap{--} n^2 }} = 0$

$\dfrac{d}{{ds}}P(s) = s^2 + 4s + 2 = 0$

Obtenemos las raíces con ayuda de matlab: roots([1 4 2])

$s_1 = - 3,41$

$s_2 = - 0,58$

Seguimos completando la gráfica que muestra el Lugar de las Raíces:

- Cortes con el eje imaginario:

Los cortes con el eje imaginario serán aquellos valores imaginarios puros de 's' pertenecientes al Lugar de las Raíces. Para calcularlos emplearemos el Criterio de Routh. También debemos obtener la ecuación característica (EC).

$EC \equiv 1 + kP(s) = 1 + k\dfrac{{(s + 2)}}{{s(s + 1)}} = 0$

$EC \equiv s(s + 1) + k(s + 2) = s^2 + s(k + 1) + 2k = 0$

Aplicamos el Criterio de Routh:

$b_0 = \dfrac{{ - 1}}{{k + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & {2k} \\
{k + 1} & 0 \\
\end{array}} \right| = \dfrac{{ - 1( - 2k(k + 1))}}{{k + 1}} = 2k$

${\rm{2k = 0 }} \to {\rm{k = 0}} \to (k + 1)s = 0 \to s = 0$

Por tanto existe un corte con el eje imaginario cuando k=0 que se produce en el punto s=0 (ya se sabía puesto que es un polo en lazo abierto).

Finalmente, el Lugar de las Raíces del sistema nos queda aproximadamente de la siguiente forma:

Podemos ver de forma aproximada el recorrido de cada polo a menudo que aumenta k desde cero hasta infinito. Uno de ellos fuga a infinito por la asíntota de 180º y otro fuga al cero z=-2.

Estudio dinámico del sistema conforme k aumenta de 0 a $\infty$:

Cuando k=0, el sistema es marginalmente estable. En el momento en que k deja de valer cero (el sistema se hace estable para k>0), el polo que inicialmente estaba en 0 (p1) se mueve hacia la izquierda, por tanto disminuye el tiempo de asentamiento ya que el sistema es más rápido al alejarse del origen dicho polo, y el polo que inicialmente estaba en -1 (p2) se mueve hacia la derecha, en este momento el sistema es sobreamortiguado por tener los dos polos reales y distintos. Conforme aumenta k sigue moviéndose cada polo en la dirección citada hasta que coinciden en el punto de ruptura (-0,58), donde el sistema es críticamente amortiguado por tener los dos polos reales e iguales. Sigue aumentando k y cada polo se va por una rama, el sistema será aun más rápido por estar alejándose los dos polos del origen y existe sobreimpulso en el sistema, éste será subamortiguado por tener los dos polos complejos conjugados hasta el momento en que coincidan éstos de nuevo en el otro punto de ruptura (-3,41), donde el sistema será de nuevo críticamente amortiguado. A partir de aqui un polo fugará a infinito por la asíntota de 180º, y otro, el dominante, fugará al cero (z=-2), en este intervalo no hay sobreimpulso y el sistema irá siendo más lento conforme aumenta k.

Estudio estático del sistema:

El sistema en lazo abierto tiene un polo en el origen (p1), es decir, es de tipo 1. Por tanto el error de tipo escalón será nulo, el error de tipo rampa será constante y el error de tipo hipérbola será infinito.