Resuelto. 2010, junio. Ejercicio 1 (4 puntos)

Para una velocidad $v$ constante, la dinámica del submarino de la figura viene determinada por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

$$ \begin{array}{l}
\theta (t) = -125 \dfrac{\text{d}^2\theta (t)}{\text{d}t^2} - 15\dfrac{\text{d}\theta (t)}{\text{d}t} + 17 \alpha (t) - 14 \delta (t)\\~\\
\dfrac{\text{d}\alpha (t)}{\text{d}t} = 0.07 \dfrac{\text{d}\theta (t)}{\text{d}t} + 0.075 \delta (t) - 0.3 \alpha (t)\\~\\
\dfrac{\text{d}h (t)}{\text{d}t} = 8 \theta (t) - 8 \alpha (t)
\end{array}$$

donde $\theta (t)$ es el ángulo con respecto a la horizontal, $\alpha (t)$ es el ángulo de ataque del submarino, $h(t)$ es su profundidad y $\delta (t)$ es la inclinación de la superficie de control (alerón de popa):

Se solicita:

Obtenga un modelo de estado de tiempo continuo de orden 4 para el sistema.
Discretice el modelo de estado anterior para un periodo de muestreo de 0.01s.
Simule el modelo discretizado y represente la profundidad del submarino para una señal de control constante, $\delta (t)= 1^o$, suponiendo que inicialmente el submarino se encuentra en la superficie ($\theta(t) = {\text{d}\theta(t)}/{\text{d}t} = \alpha(t) = h(t) = 0$).
Comente los resultados obtenidos. ¿Se puede decir que el sistema es estable? ¿Por qué?

Recuerde, siendo T el periodo de muestreo y el tiempo discreto, la derivada puede aproximarse por:
$$\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} \simeq \dfrac{x(k+1) - x(k)}{T}$$

Solución

Solución.

1. Modelo de estado:

Asignamos variables de estado de la siguiente manera:

X1=θ(t) --> dX1=d θ(t) X3=α(t) --> dX3=dα(t)
X2= d θ(t) --> dX2= d2 θ(t) X4= µ(t) --> dX4=dµ(t)

Creamos el modelo de estado despejando las derivadas y el modelo de salida.
Modelo de estado (lineal):
dX1= X2
dX2= -0.008X1 -0.12X2+0.136 X3-14δ(t);
dX3= 0.07X2 0.075δ(t) -0.3X3;
dX4= 8X1 -8X3;
Modelo de salida (lineal):
µ(t) = X4

Si un modelo es lineal, se puede poner de forma matricial en la forma xpunto = A*x + B*u. para el modelo de estado y

y=C*x + D*u . (Las matrices A,B,C y D las podemos ver en el codigo fuente de Matlab adjunto).

2. Discretizar para T=0.01.
Usamos la fórmula vista en clase: x(k+1) = (1 + TA)x(k) + BTu(k) donde (1 + TA) será la matiz A discretizada y BT la matriz B discretizada.

Matlab nos da el resultado :

Código fuente de Matlab:
clc, clear all, close all

A=[0 1 0 0; -0.008 -0.12 0.136 0; 0 0.07 -0.3 0; 8 0 -8 0];
B=[0;-14;0.075;0];
C=[0 0 0 1];
D=0;

T=0.01;

Ad=eye(4)+T*A;
Bd=T*B;

Modelod=ss(Ad,Bd,C,D,T);

[y,t,x]=step(Modelod); / Simulamos frente a una entrada escalón
plot(t,y); title('apdo 3)'),xlabel('Tiempo'), ylabel('Profundidad'); / representamos gráficamente la salida.

4. En la figura se aprecia que al cambiar la inclinación (entrada) 1º el submarino se va sumergiendo y se quedará así siempre o hasta chocar con el fondo suponiendo que lo haya, luego el sistema es inestable.

Wikiapunte realizado por:
David Romero Delgado Francisco Canelo Santos
Sancho Santiago Blanco Enrique Casimiro-Soriguer Serrano