La respuesta de un sistema dinámico a una acción sobre él no ocurre de forma inmediata. El dolor en el cuerpo no desaparece de forma inmediata al tomar un analgésico, sino que la respuesta lleva un tiempo. Tampoco sube de forma inmediata la temperatura en una habitación al encender la calefacción. En general la respuesta de un sistema dinámico a un estímulo lleva un tiempo, el cual depende de la naturaleza del estímulo y de la del sistema. El comportamiento temporal de un sistema ha de quedar reflejado en su modelo dinámico, el cual suele nacer a partir de la aplicación sobre él del conocimiento apropiado al sistema en cuestión: físico, económico, médico, etc.
Ejemplo 2.1. Sistema mecánico. Sea por ejemplo el sistema de la Figura 2.1 que representa un sistema muelle – masa – resorte, sujeto a sendos puntos fijos por ambos extremos. La variable representa la posición de la masa m respecto de su posición de equilibrio . Aplicando la segunda ley de Newton al sistema:
(2.1) |
Esto es,
(2.2) |
Donde representa, según la notación usual en mecánica, la derivada segunda de respecto del tiempo (aceleración de la masa; sería la derivada primera, esto es, su velocidad); es la fuerza externa aplicada (entrada al sistema); es la fuerza de reacción del muelle, la cual, si se asume por simplificar que el muelle cumple la ley de Hooke, está dada por . Por último, asumiendo también que el elemento de fricción (amortiguador) se comporta linealmente, su oposición al desplazamiento es proporcional a la velocidad del movimiento, .
Figura 2.1. Sistema muelle – masa – amortiguador. |
El sistema de la Figura 2.1 se dice que es de segundo orden porque su dinámica depende de las dos primeras derivadas de . La ecuación diferencial (2.2) se denomina forzada o controlada porque el sistema está forzado o controlado por la entrada . Si no hubiera influencia externa en el sistema (la ecuación estaría igualada a cero, ), éste (su ecuación) se denominaría no forzado o autónomo. Desde la perspectiva acción – reacción, la entrada del sistema es la fuerza aplicada y la salida el desplazamiento o respuesta . El sistema de la Figura 2.1 es lineal1 [1] debido a las simplificaciones realizadas (ni el muelle ni el amortiguador lo son realmente) y, además invariante con el tiempo (la respuesta ante una misma excitación es la misma para todo tiempo t), aunque realmente no es así. Por ejemplo, el comportamiento del muelle dependerá de la temperatura de su entorno. Lo mismo sucederá con el comportamiento del fluido que contenga el amortiguador. No obstante lo anterior, la mayoría de los sistemas, dentro de ciertas condiciones de funcionamiento, pueden ser considerados lineales e invariantes con el tiempo o, de manera abreviada LTI (del inglés Linear Time-Invariant).
Cuando en 1683 Isaac Newton, para muchos el científico más grande que ha dado la historia2 [2], publicó los Philosophiae [3] Naturalis Principia Mathematica3 [3], el Cielo y la Tierra quedaron finalmente unificados en la Física, ya que demostró que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas4 [4]. Newton observó que el movimiento de los planetas podía ser predicho únicamente a partir de sus posiciones actuales y de sus velocidades. Esto es, no era necesario saber nada del movimiento pasado hasta el instante actual. Consecuentemente había definido el concepto de estado de un sistema dinámico (en este caso el sistema planetario) como el conjunto mínimo de variables (que denominaremos variables de estado) que permite determinar completamente su movimiento futuro. Este concepto será formalizado y generalizado en la sección siguiente.
El concepto de modelo de estado implica la representación del comportamiento dinámico de un sistema en base a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden, caracterizadas por la expresión siguiente:
(2.3) |
Esta ecuación vectorial se denomina ecuación de estado. En ella es el vector estado y sus coordenadas son las variables de estado (en el sistema mecánico de la Figura 2.1 sería un vector de 2 coordenadas: posición y velocidad). La variación del vector de estado respecto al tiempo se representa como una función vectorial, generalmente no lineal, cuyo argumento son los vectores de estado y de entrada5 [5]. El conjunto de todos los estados que puede alcanzar un sistema se denomina su espacio de estado. Puesto que cada estado estará caracterizado por un valor concreto de las variables de estado, el espacio de estado tiene por ejes coordenados las variables de estado. Así por ejemplo, dado el sistema mecánico anterior, cuyo estado está determinado por su posición y velocidad, el espacio de estado para el sistema de la Figura 2.1 será de 2 dimensiones, con una coordenada que repre-senta la posición del sistema y otra la velocidad .
El modelo de estado se completa con la ecuación de salida (2.4), la cual representa generalmente el conjunto de variables que pueden ser medidas y que constituyen la respuesta del sistema. La ecuación de salida es una función vectorial del vector de estado y del vector de entrada.
(2.4) |
A modo de ejemplo, y por fijar ideas, vamos a escribir el modelo de estado del sistema de la Figura 2.1. En él, como se ha dicho más arriba, una coordenada del vector de estado será la posición (sea pues ) y la otra la velocidad (sea pues ). Por supuesto el sistema es de orden 2, con lo cual la ecuación de estado en la forma (2.2) constará de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, las cuales se obtienen a partir de sustituir las coordenadas del vector de estado en la ecuación (2.2). Esto es:
(2.5) |
Cabría preguntarse si se podría haberse sustituido por , en vez de por como se ha hecho, sin embargo esta sustitución no cumpliría la ecuación (2.3) que exige una sola coordenada derivada por ecuación.
A partir de (2.5) basta con despejar la coordenada derivada del vector de estado () y tener en cuenta que , de modo que la ecuación de estado del sistema de la Figura 2.1 en la forma será:
(2.6) |
Nótese que la entrada u(t) al sistema es un escalar en este caso. El modelo de estado se completa con la ecuación de salida en la forma (2.4), que en este caso estará dada por
Al ser el modelo de estado lineal6 [6], éste, a partir de la ecuación (2.5) y la de salida, admite una representación matricial de la forma:
(2.7) |
Donde A es una matriz de orden , siendo n la dimensión del espacio de estado u orden del sistema (2 en el ejemplo). B es una matriz de orden , siendo p el número de entradas del sistema, 1 en este caso. Respecto de la ecuación de salida, C es una matriz de orden , siendo m las salidas del sistema (1 en el ejemplo). Por último, la matriz D (0 en este caso) es de orden . Normalmente los modelos de estado no tienen matriz D, lo cual indica que, como suele ser habitual, la entrada no influencia de modo directo a la salida.
A continuación se van a formalizar los conceptos introducidos en la sección anterior. Esto se hará para el dominio de tiempo continuo (ecuaciones diferenciales); para el dominio de tiempo discreto (ecuaciones en diferencias) se realizará en la sección 2.5.
Tiempo continuo
El estado de un sistema es una colección de variables, denominadas variables de estado, que reúnen la información suficiente sobre el pasado del mismo, de tal manera que su conocimiento en el instante actual junto con el de la entrada para el momento presente y futuro , permite determinar el comportamiento del sistema para cualquier .
Las variables de estado componen un vector denominado vector de estado. Las variables de control (o de entrada) forman el vector de entrada , y las señales medidas (respuestas) constituyen el vector de salida . A partir de aquí, un sistema dinámico invariante con el tiempo7 [7] puede ser representado por las ecuaciones:
(2.8) |
Donde representa un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias. y son funciones vectoriales generalmente no lineales. Un modelo de la forma (2.8) se denomina modelo de estado. A esta forma de representar un sistema dinámico se le denomina representación interna, ya que las coordenadas de vector de estado son variables que en todo o en parte no estarán presentes en los terminales de salida del sistema.
La dimensión del vector de estado viene dada por el orden del sistema. El sistema (2.8) se denomina invariante con el tiempo porque las funciones f y h no dependen explícitamente del tiempo. Por supuesto, hay modelos más generales donde esta dependencia explícita sí se da. Como se puede apreciar en la ecuación (2.8), el modelo de estado consta de dos funciones: la función f da la variación temporal del vector de estado como una función del estado y la ley de control , y la función h da los valores medidos como una función del estado y la ley de control .
Un modelo de estado se denomina lineal si las funciones f y h son lineales en y Esto permite escribir el modelo (2.8) en la forma:
(2.9) |
Donde A, B, C y D son matrices constantes. La matriz A se denomina matriz de estado o matriz dinámica (de dimensión ), la matriz B se denomina matriz de entrada o matriz de control (de dimensión ), la matriz C se denomina matriz de salida o matriz sensora (de dimensión ), y la matriz D se denomina matriz de transferencia directa o simplemente término directo (de dimensión ).
Como se ha visto, el modelo de estado se obtiene a partir de la ecuación diferencial que captura la dinámica del sistema. En consecuencia, dependiendo de la forma que tenga la ecuación dife-rencial se pueden obtener modelos de estado diferentes, los cuales, una vez conocida la metodo-logía, pueden ser obtenidos de forma directa a partir de la ecuación diferencial de partida.
Sea por ejemplo un sistema de orden n en el que la señal de control no contiene términos deri-vados:
o en notación abreviada: |
(2.10) |
Si se define
(2.11) |
Entonces, la ecuación (2.10) puede ser escrita como
(2.12) |
O bien en la forma
(2.13) |
Por último, la ecuación de salida se escribirá:
(2.14) |
La forma de elección de variables de estado que da lugar al modelo representado en (2.13) y (2.14) se denomina forma canónica de cadena de integradores, o forma canónica de control. Existen muchas más formas de obtener representaciones en el espacio de estado de los sistemas. Algu-nas de ellas se irán viendo conforme sea apropiado a lo largo del texto.
Con objeto de fijar ideas vamos a realizar ahora varios ejercicios de modelado de sistemas di-námicos de diferente índole.
Ejemplo 2.2. Propagación de una enfermedad epidémica. La propagación de una enfermedad epidémica puede ser descrita mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden. Asúmase que el vector población de estudio tiene 3 coordenadas: población en riesgo de ser infectada población infectada y población que no va a ser infectada Este último grupo reúne a las personas que son inmunes a la enfermedad, las que ya han fallecido y las que han conseguido ser aisladas para evitar contagios.
Si se asume en primera instancia que la población está aislada y el número de individuos es N, está claro que para todo t se cumplirá que Con objeto de elaborar el modelo dinámico razonaremos del modo siguiente: a partir de un instante de tiempo t en el que el número de infectados es el número de casos nuevos ocurridos en el intervalo será por tanto, la evolución de cada una de las tres poblaciones será:
(2.15) |
Esto es,
(2.16) |
Donde los parámetros son tasas, y obviamente, A partir de aquí, teniendo en cuenta que:
(2.17) |
Podemos escribir el modelo de estado del sistema que representa la propagación de la epidemia como
(2.18) |
Si consideramos ahora que el sistema no está aislado, de modo que es la velocidad con la que se incorporan nuevos individuos a la población con riesgo, y la velocidad con la que se añaden nuevos individuos a la población infectada, la ecuación (2.18) se escribirá en la forma:
(2.19) |
Nótese que los modelos (2.18) y (2.19) son simples en el sentido que son lineales, ya que no in-cluyen la interacción entre los grupos . Volveremos con esto más adelante, en el ejemplo 2.13.
Figura 2.2. Sistema péndulo. |
Ejemplo 2.3. Sistema péndulo. Considere el péndulo simple de la Figura 2.2, el cual está sujeto por una cuerda inextensible de longitud l y masa despreciable. El péndulo está sometido a la fuerza gravitacional mg debida a su peso, y a la fuerza de fricción , la cual se asume que es proporcional a la velocidad con un coeficiente de fricción k. La aplicación de la segunda ley de Newton (expresión (2.1)) permite escribir la ecuación del movimiento en la dirección tangencial:
(2.20) |
Como se sabe, siempre que sea posible hay que intentar elegir un eje coordenado que sea paralelo a la aceleración. En este caso, la escritura del movimiento en la dirección tangencial tiene la ventaja que la tensión en la cuerda, la cual es normal, no aparece en la ecuación. Para obtener el modelo de estado del péndulo tomaremos como siempre las coordenadas posición y velocidad para el vector de estado, esto es, y . Entonces, el modelo de estado es:
(2.21) |
Nótese el carácter no lineal del modelo de estado que, consecuentemente, no admite escritura en forma matricial.
Figura 2.3. Circuito RLC con fuente de corriente. |
Ejemplo 2.4. Circuito RLC. Veamos ahora un sistema eléctrico. Sea pues el circuito RLC de la Figura 2.3. Si en los modelos de estado de los sistemas mecánicos las variables de estado a con-siderar son la posición y velocidad, en los circuitos eléctricos interesa considerar la corriente y/o tensión en los elementos almacenadores de energía. Entonces, asumiendo que el condensador e inductor son elementos ideales, sus modelos de circuito están dados, respectivamente, por Sea pues La entrada del sistema es la fuente de corriente y la salida la tensión en la carga Según lo anterior, el modelo de estado puede ser planteado del modo siguiente:
(2.22) |
Ahora, aplicando las leyes de Kirchhoff de corriente y tensión se establecen las relaciones que permiten escribir (2.22) en la forma Así, aplicando la ley de Kirchhoff de co-rriente en el nudo superior de la Figura 2.3 se tiene que:
(2.23) |
Esto es,
(2.24) |
La expresión anterior permite completar la primera ecuación de estado de (2.22). Respecto de la segunda, ésta se completa aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al lazo RLC. En él se cumple que
(2.25) |
Esto es,
(2.26) |
Sustituyendo (2.24) y (2.26) en la ecuación de estado (2.22) se tiene que
(2.27) |
Respecto de la ecuación de salida está dada por
(2.28) |
El conjunto de ecuaciones (2.27) y (2.28) permite escribir el modelo de estado del circuito del modo siguiente:
(2.29) |
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