A. Javier Barragán Piña

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Resolver la siguiente ecuación en diferencias, siendo $u(k)=\delta (k)$:

$y(k)=0.5 y(k-1) - 0.25 y(k-3) - u(k) -1.5 u(k-1) + 2 u(k-2)$

Obtener y(k) mediante la simulación de la ecuación en diferencia (comando filter), mediante la función de transferencia (comando impulse) y mediante la resolución de la ecuación en diferencias (programando la solución de dicha ecuación).

Resolución:

Haciendo la transformada $\mathbf{Z}$ a la ecuación en diferencias anterior, obtenemos:

$Y(z)=0.5 z^{-1} Y(z) - 0.25 z^{-3} Y(z) - U(z) - 1.5 z^{-1} U(z) + 2 z^{-2}U(z)$

$Y(z) (1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3}) = U(z) (-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})$

$Y(z)=\frac{(-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3})} U(z)$

Como $u(k) = \delta (k)$ tenemos que $U(z) = 1$. Por lo tanto:

$ Y(z) = \frac{(-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3})} = \frac{-z^3-1.5z^2+2z}{z^3-0.5z^2+0.25}$

Para obtener $y(k)$ debemos calcular $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ Y(z) \right \}$, para ello empezaremos obteniendo la descomposición en fracciones simples de $\frac{Y(z)}{z}$.

Las raices de la expresión $1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3} = 0$ son: $\left \{ z = 0.5 +- 0.5j \\ z = 0.5 \right.$

$\frac{Y(z)}{z} = \frac{A}{(z+0.5)} + \frac {Bz+D}{(z-0.5-0.5j)(z-0.5+0.5j)} = \frac{A}{(z+0.5)} + \frac {Bz+D}{(z^2-z+0.5)}$

Continuar ....