A. Javier Barragán Piña

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a) Resolver la siguiente ecuación en diferencias, siendo u(k) una entrada impulsiva (delta de Kronecker):

$y(k)=0.5 y(k-1) - 0.25 y(k-3) - u(k) -1.5 u(k-1) + 2 u(k-2)$

b)
Obtener $y(k)$ mediante la simulación de la ecuación en diferencia (comando filter), mediante la función de transferencia (comando impulse) y mediante la resolución de la ecuación en diferencias (programando la solución de dicha ecuación).

c) Calcular $y(\infty)$ mediante el teorema del valor final y comprobar con la solución obtenida en el apartado anterior, haciendo $\lim_{ k \rightarrow \infty} \; y(k)$, que es resultado es correcto.

Resolución del apartado a):

Haciendo la transformada $\mathbf{Z}$ a la ecuación en diferencias anterior, obtenemos:

$Y(z)=0.5 z^{-1} Y(z) - 0.25 z^{-3} Y(z) - U(z) - 1.5 z^{-1} U(z) + 2 z^{-2}U(z)$

$Y(z) (1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3}) = U(z) (-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})$

$Y(z)=\frac{(-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3})} U(z)$

Como $u(k) = \delta (k)$ tenemos que $U(z) = 1$. Por lo tanto:

$ Y(z) = \frac{(-1 - 1.5 z^{-1} + 2 z^{-2})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3})} = \frac{-z^3-1.5z^2+2z}{z^3-0.5z^2+0.25}$

Para obtener $y(k)$ debemos calcular $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ Y(z) \right \}$, para ello empezaremos obteniendo la descomposición en fracciones simples de $\frac{Y(z)}{z}$.

Las raices de la expresión $1 - 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-3} = 0$ son: $\left \{ z = 0.5 +- 0.5j \\ z = 0.5 \right.$

$\frac{Y(z)}{z} = \frac{-z^2-1.5z^1+2}{z^3-0.5z^2+0.25} = \frac{A}{(z+0.5)} + \frac {Bz+C}{(z-0.5-0.5j)(z-0.5+0.5j)} = \frac{A}{(z+0.5)} + \frac {Bz+C}{(z-0.5)^2 + {0.5}^2}$

Como A es el residuo de una raiz real simple, podemos calcularlo como:

$\left. A = \frac{(-z^2-1.5z^1+2)}{\cancel{(z+0.5)}((z-0.5)^2 + {0.5}^2)}\cancel{(z+0.5)} \right | _ {z=-0.5} = \frac {-(-0.5)^2-1.5 (-0.5)+2}{(-0.5-0.5)^2+{0.5}^2}= 2$

Para calcular B y C podemos sumar la expresión $\frac{Y(z)}{z}$ y compararla con la original:

$\frac{Y(z)}{z} = \frac{A(z^2-z+0.5)+(Bz+C)(z+0.5)}{(z+0.5)((z-0.5)^2 + {0.5}^2)} = \frac{A(z^2-z+0.5)+Bz^2+0.5Bz+Cz+0.5C}{z^3-0.5z^2+0.25}$

Como los denominadores son idénticos (debe ser siempre así), comparamos los numeradores:

${-z^2-1.5z^1+2} = z^2(A+B) + z (-A+0.5B+C) + 0.5(A+C)$

Comparando término a término, debe cumplirse:

$\begin{array}{rcl}-1 &=& A+B \\ -A+0.5B+C &=& -1.5 \\ 0.5(A+C)&=&2 \end{array}$

Tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo que podemos resolver A, B y C. Como A ya lo hemos calculado antes, A=2, podemos obtener B y C despejando:

$ B= -1-A = -1 -2 = -3 \\ C= \frac {2-0.5A}{0.2} = \frac {2-0.5 \cdot 2}{0.2} = 2$

Se puede comprobar que $-A+0.5B+C = -2+0.5 \cdot (-3) + 2 = 1.5$

Por lo tanto,

$\frac {Y(z)}{z} = \frac{2}{(z+0.5)} + \frac {-3z+2}{(z-0.5)^2 + {0.5}^2} \Rightarrow Y(z) = \frac{2z}{(z+0.5)} + \frac {-3z^2+2z}{(z-0.5)^2 + {0.5}^2}$

La descomposición en fracciones simples también puede realizarse mediante el comando residue de MATLAB. Para ello tecleamos:

B=[-1,-1.5,2]; A=[1,-0.5,0,0.25]; % Polinomios numerador y denominador de Y(z)/z
[R,P,K]=residue(B,A)

Que nos retorna:

R =

-1.5 - 0.5i
-1.5 + 0.5i
2

P =

0.5 + 0.5i
0.5 - 0.5i
-0.5

K =

[]

Por lo tanto la descomposición en fracciones simples es:

$\frac {Y(z)}{z} = \frac {(-1.5-0.5i)}{(z-0.5-0.5j)} + \frac{(-1.5+0.5i)}{(z-0.5+0.5j)} + \frac{2}{(z+0.5)}$

Las dos primeras fracciones tienen residuos y polos complejos, con lo que no nos servirán para aplicar las tablas de transformadas. Para corregir esto debemos realizar la suma de dichas fracciones. Podemos hacerlo con MATLAB:

num = R(1)*[1,-P(2)]+R(2)*[1,-P(1)]

Cuyo resultado es [3,2], esto es, $3z+2$.

El denominador podemos hacerlo como "suma por diferencia, diferencia de cuadrados":

$(z-0.5-0.5j)(z-0.5+0.5j) = (z-0.5)^2 + {0.5}^2$

Es decir, obtenemos exactamente la misma expresión que antes:

$\frac {Y(z)}{z} = \frac{2}{(z+0.5)} + \frac {-3z+2}{(z-0.5)^2 + {0.5}^2}
\Rightarrow Y(z) = \frac{2z}{(z+0.5)} + \frac
{-3z^2+2z}{(z-0.5)^2 + {0.5}^2}$

Una vez descompuesta Y(z) en fracciones simples, podemos buscar cada una de estas en las tablas de transformadas para realizar la transformada $\mathbf{Z^{-1}}$:

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{2}{(z+0.5)} \right \} = 2(-0.5)^k$

Para obtener $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{-3z^2+2z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \}$ debemos realizar algunas operaciones previamente:

Si la parte real del polo es $\sigma = -0.5$, y la parate imaginaria $\omega = 0.5$,

el módulo es $c = \sqrt {\sigma ^2 + \omega ^2} = \sqrt {(-0.5)^2 + 0.5^2} = sqrt{0.5}$.

$sen(b) = \omega / c = 0.5 / \sqrt{0.5} = \sqrt{0.5}$,

$cos(b) = \sigma / c = 0.5 / \sqrt{0.5} = \sqrt{0.5}$

$b = arccos(\sqrt{0.5})$

Necesitamos obtener un numeradr igual a $z^2 -c \cdot z \cdot cos(b) = z^2 - \sqrt{0.5} \cdot z \cdot \sqrt{0.5} = z^2 -0.5 z$ para obtener una expresión de la forma $c^k\; cos(bk)$, y un numerador igual a $c \cdot z \cdot sen(b) = \sqrt{0.5} \cdot z \cdot \sqrt{0.5} = 0.5 z$ para obtener una expresión de la forma $c^k\; sen(bk)$.

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{-3z^2+2z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \} = (-3) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2-\frac {2}{3}z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \} = (-3) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.5z+0.5z-\frac {2}{3}z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \} =$

$= -3 \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.5z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \}+ \mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{0.5z}{(z-0.5)^2+0.5^2}\right \}$

Ya tenemos las 2 expresiones buscadas, con lo que podemos calcular la transformada
$\mathbf{Z^{-1}}$de cada una de ellas:

$-3 \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.5z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \} = (-3)\sqrt{0.5}^k\; cos(bk)$

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{0.5z}{(z-0.5)^2+0.5^2}\right \} = \sqrt{0.5}^k\; sen (bk)$

Con este paso ya hemos concluido y podemos poner la expresión definitiva de y(k):

$y(k) = 2 (-0.5)^k + 0.5^{k/2} \left ( sen(bk)-3cos(bk) \right )$, siendo $b = arccos(\sqrt{0.5})$.

Resolución del apartado b):

Falta por hacer...

Resolución del apartado c):

Haciendo el límite a y(k) obtenida en el apartado a) tenemos:

$\lim_ {k \rightarrow \infty}\, y(k) = \lim_ {k \rightarrow \infty} \, 2(-0.5)^k + 0.5^{k/2} \left ( sen(bk)-3cos(bk) \right ) = 0.$
Es 0 porque tanto $0.5^k$ como $0.5^{k/2}$ tienden a 0 al aumentar k, y la expresión formada por el seno y el coseno está acotada.

Aplicando el Teorema del Valor Final:

$y(\infty) = \lim_ {z \rightarrow 1} {\frac {(z-1)}{z}\, Y(z)} = \lim_ {z \rightarrow 1} \, \frac {(z-1)}{z} \, \frac{(-z^3-1.5z^2+2z)}{(z^3-0.5z^2+0.25)} = \frac{0 (-1-1.5+2)}{1 (1-0.5+0.25)} = 0$

Como es lógico se obtiene el mismo resultado que además coincide con el de la simulación.