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a) Resolver la siguiente ecuación en diferencias, siendo u(k) una entrada escalon (u(k)={1,1,1...}):
$y(k)=0.5 y(k-1)-0.12 y(k-2) +0.008 y(k-3) +u(k-2) +2 u(k-3)$
b) Obtener $y(k)$ mediante la simulación de la ecuación en diferencia (comando filter), mediante la función de transferencia (comando step) y mediante la resolución de la ecuación en diferencias (programando la solución de dicha ecuación).
c) Calcular $y(\infty)$ mediante el teorema del valor final y comprobar con la solución obtenida en el apartado anterior, haciendo $\lim_{ k \rightarrow \infty} \; y(k)$, que es resultado es correcto.
Resolución del apartado a):
Haciendo la transformada $\mathbf{Z}$ a la ecuación en diferencias anterior, obtenemos:
$Y(z)=0.5 z^{-1} Y(z) - 0.12 z^{-2} Y(z) + 0.008 z^{-3} Y(z) + U(z)z^{-2} + 2 U(z)z^{-3}$
$Y(z) (1 - 0.5 z^{-1} +0.12z^{-2} -0.008z^{-3}) = U(z) (z^{-2} + 2 z^{-3})$
$Y(z)=\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})} U(z)$
Como $u(k) =\{1,1,1,..\} $ tenemos que $U(z) = \frac{(z)}{(z-1)}$. Por lo tanto:
$ Y(z) = [\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})}. \frac{z^3}{z^3}] \frac{z}{(z-1)} = \frac{-z+2}{z^3-0.5z^2+0.12z-0.008} . \frac{z}{(z-1)$
- Notas: Solo se ha multiplicado el primer termino por $\frac{z^3}{z^3}$ para pasar los exponentes a positivos, y no se ha efectuado la operación con $\frac{z}{(z-1)}$ con la idea de utilizar la z del numerador para el $\frac{Y(z)}{z}$ que veremos a continuación y el denominador como polo ya resuelto del sistema (asi ya tenemos calculado uno).