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a) Resolver la siguiente ecuación en diferencias, siendo u(k) una entrada escalon (u(k)={1,1,1...}):
$y(k)=0.5 y(k-1)-0.12 y(k-2) +0.008 y(k-3) +u(k-2) +2 u(k-3)$
b) Obtener $y(k)$ mediante la simulación de la ecuación en diferencia (comando filter), mediante la función de transferencia (comando step) y mediante la resolución de la ecuación en diferencias (programando la solución de dicha ecuación).
c) Calcular $y(\infty)$ mediante el teorema del valor final y comprobar con la solución obtenida en el apartado anterior, haciendo $\lim_{ k \rightarrow \infty} \; y(k)$, que es resultado es correcto.
Resolución del apartado a):
Haciendo la transformada $\mathbf{Z}$ a la ecuación en diferencias anterior, obtenemos:
$Y(z)=0.5 z^{-1} Y(z) - 0.12 z^{-2} Y(z) + 0.008 z^{-3} Y(z) + U(z)z^{-2} + 2 U(z)z^{-3}$
$Y(z) (1 - 0.5 z^{-1} +0.12z^{-2} -0.008z^{-3}) = U(z) (z^{-2} + 2 z^{-3})$
$Y(z)=\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})} U(z)$
Como $u(k) =\{1,1,1,..\} $ tenemos que $U(z) = \frac{(z)}{(z-1)}$. Por lo tanto:
$ Y(z) = [\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})}. \frac{z^3}{z^3}] \frac{z}{(z-1)} = \frac{-z+2}{z^3-0.5z^2+0.12z-0.008} . \frac{z}{(z-1)$
- Notas: Solo se ha multiplicado el primer termino por $\frac{z^3}{z^3}$ para pasar los exponentes a positivos, y no se ha efectuado la operación con $\frac{z}{(z-1)}$ con la idea de utilizar la z del numerador para el $\frac{Y(z)}{z}$ que veremos a continuación y el denominador como polo ya resuelto del sistema (asi ya tenemos calculado uno).
Para obtener $y(k)$ debemos calcular $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ Y(z) \right \}$, para ello empezaremos obteniendo la descomposición en fracciones simples de $\frac{Y(z)}{z}$.
*********parte manual en construccion*****
La descomposición en fracciones simples también puede realizarse mediante el comando residue de MATLAB. Para ello tecleamos:
B=[1,2]; A=conv([1,-0.5,0.12,-0.008],[1,-1]); % Polinomios numerador y denominador de Y(z)/z
[R,P,K]=residue(B,A)
Que nos retorna:
R =
4.9020
20.8824 + 21.4706i
20.8824 - 21.4706i
46.6667
P =
1
0.2 + 0.2i
0.2 - 0.2i
0.1
K =
[]
Por lo tanto la descomposición en fracciones simples es:
$\frac {Y(z)}{z} = \frac {(4.9020)}{(z-1)} + \frac{(20.8824+21.4706)}{(z-(0.2+0.2j))} + \frac{(20.8824+21.4706)}{(z-(0.2+0.2j))} + \frac{46.6667}{z-0.1}$
Las dos primeras fracciones tienen residuos y polos complejos, con lo que no nos servirán para aplicar las tablas de transformadas. Para corregir esto debemos realizar la suma de dichas fracciones. Podemos hacerlo con MATLAB:
num = R(2)*[1,-P(3)]+R(3)*[1,-P(2)]
Cuyo resultado es[41.7647,-16.9411], esto es, $41.7647z-16.9411$.
El denominador podemos hacerlo como "suma por diferencia, diferencia de cuadrados":
$(z-0.2-0.2j)(z-0.2+0.2j) = (z-0.2)^2 + {0.2}^2$
den = conv([1,-P(2),[1,-P(3)]) =[1,-0.4,0.08]
Es decir, obtenemos exactamente la misma expresión que antes:
$\frac {Y(z)}{z} = \frac{4.9020}{(z-1)} + \frac {41.7647z-16.9411}{(z-0.2)^2 + {0.2}^2} + \frac{-46.6667}{z-0.1} \Rightarrow Y(z) = \frac{4.9020z}{(z-1)} + \frac {41.7647z^2-16.9411z}{(z-0.2)^2 + {0.2}^2} + \frac{-46.6667z}{z-0.1}$
Una vez descompuesta Y(z) en fracciones simples, podemos buscar cada una de estas en las tablas de transformadas para realizar la transformada $\mathbf{Z^{-1}}$:
$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{4.902z}{(z-1)} \right \} = 4.902\cancel{(1)^k}$
$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{-46.6667z}{(z-0.1)} \right \} = -46.6667(0.1)^k$