A. Javier Barragán Piña

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a) Resolver la siguiente ecuación en diferencias, siendo u(k) una entrada escalon (u(k)={1,1,1...}):

$y(k)=0.5 y(k-1)-0.12 y(k-2) +0.008 y(k-3) +u(k-2) +2 u(k-3)$

b) Obtener $y(k)$ mediante la simulación de la ecuación en diferencia (comando filter), mediante la función de transferencia (comando step) y mediante la resolución de la ecuación en diferencias (programando la solución de dicha ecuación).

c) Calcular $y(\infty)$ mediante el teorema del valor final y comprobar con la solución obtenida en el apartado anterior, haciendo $\lim_{ k \rightarrow \infty} \; y(k)$, que es resultado es correcto.

Resolución del apartado a):

Haciendo la transformada $\mathbf{Z}$ a la ecuación en diferencias anterior, obtenemos:

$Y(z)=0.5 z^{-1} Y(z) - 0.12 z^{-2} Y(z) + 0.008 z^{-3} Y(z) + U(z)z^{-2} + 2 U(z)z^{-3}$

$Y(z) (1 - 0.5 z^{-1} +0.12z^{-2} -0.008z^{-3}) = U(z) (z^{-2} + 2 z^{-3})$

$Y(z)=\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})} U(z)$

Como $u(k) =\{1,1,1,..\} $ tenemos que $U(z) = \frac{(z)}{(z-1)}$. Por lo tanto:

$ Y(z) = [\frac{(z^{-2}+ 2 z^{-3})}{(1 - 0.5 z^{-1} + 0.12 z^{-2} -0.008z^{-3})}. \frac{z^3}{z^3}] \frac{z}{(z-1)} = \frac{-z+2}{z^3-0.5z^2+0.12z-0.008} . \frac{z}{(z-1)$

- Notas: Solo se ha multiplicado el primer termino por $\frac{z^3}{z^3}$ para pasar los exponentes a positivos, y no se ha efectuado la operación con $\frac{z}{(z-1)}$ con la idea de utilizar la z del numerador para el $\frac{Y(z)}{z}$ que veremos a continuación y el denominador como polo ya resuelto del sistema (asi ya tenemos calculado uno).

Para obtener $y(k)$ debemos calcular $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ Y(z) \right \}$, para ello empezaremos obteniendo la descomposición en fracciones simples de $\frac{Y(z)}{z}$.

*********parte manual en construccion*****

La descomposición en fracciones simples también puede realizarse mediante el comando residue de MATLAB. Para ello tecleamos:

B=[1,2]; A=conv([1,-0.5,0.12,-0.008],[1,-1]); % Polinomios numerador y denominador de Y(z)/z
[R,P,K]=residue(B,A)

Que nos retorna:

R =

4.9020

20.8824 + 21.4706i

20.8824 - 21.4706i

46.6667

P =

1

0.2 + 0.2i

0.2 - 0.2i

0.1

K =

[]

Por lo tanto la descomposición en fracciones simples es:

$\frac {Y(z)}{z} = \frac {(4.9020)}{(z-1)} + \frac{(20.8824+21.4706)}{(z-(0.2+0.2j))} + \frac{(20.8824+21.4706)}{(z-(0.2+0.2j))} + \frac{46.6667}{z-0.1}$

Las dos primeras fracciones tienen residuos y polos complejos, con lo que no nos servirán para aplicar las tablas de transformadas. Para corregir esto debemos realizar la suma de dichas fracciones. Podemos hacerlo con MATLAB:

num = R(2)*[1,-P(3)]+R(3)*[1,-P(2)]

Cuyo resultado es[41.7647,-16.9411], esto es, $41.7647z-16.9411$.

El denominador podemos hacerlo como "suma por diferencia, diferencia de cuadrados":

$(z-0.2-0.2j)(z-0.2+0.2j) = (z-0.2)^2 + {0.2}^2$

den = conv([1,-P(2),[1,-P(3)]) =[1,-0.4,0.08]

Es decir, obtenemos exactamente la misma expresión que antes:

$\frac {Y(z)}{z} = \frac{4.9020}{(z-1)} + \frac {41.7647z-16.9411}{(z-0.2)^2 + {0.2}^2} + \frac{-46.6667}{z-0.1} \Rightarrow Y(z) = \frac{4.9020z}{(z-1)} + \frac {41.7647z^2-16.9411z}{(z-0.2)^2 + {0.2}^2} + \frac{-46.6667z}{z-0.1}$

Una vez descompuesta Y(z) en fracciones simples, podemos buscar cada una de estas en las tablas de transformadas para realizar la transformada $\mathbf{Z^{-1}}$:

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{4.902z}{(z-1)} \right \} = 4.902\cancel{(1)^k}$

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{-46.6667z}{(z-0.1)} \right \} = -46.6667(0.1)^k$

Para obtener $\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{41.7647z^2 - 16.9411z}{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}$ debemos realizar algunas operaciones previamente:

Si la parte real del polo es $\sigma = 0.2$, y la parate imaginaria $\omega = 0.2$,

el módulo es $c = \sqrt {\sigma ^2 + \omega ^2} = \sqrt {(0.2)^2 + 0.2^2} = sqrt{0.08}$.

$sen(b) = \omega / c = 0.2 / \sqrt{0.5} = 2.5\sqrt{0.08}$,

$cos(b) = \sigma / c = 0.2 / \sqrt{0.2} = 2.5\sqrt{0.08}$

$b = arccos(\sqrt{0.08})$

Necesitamos obtener un numeradr igual a $z^2 -c \cdot z \cdot cos(b) = z^2 -\sqrt{0.08} \cdot z \cdot 2.5\sqrt{0.08} = z^2 -0.2 z$ para obtener una expresión de la forma $c^k\; cos(bk)$, y un numerador igual a $c \cdot z \cdot sen(b) = \sqrt{0.08} \cdot z \cdot2.5 \sqrt{0.08} = 0.2 z$ para obtener una expresión de la forma $c^k\; sen(bk)$.

$\mathbf{Z^{-1}}\left \{ \frac{41.7647z^2 - 16.9411z}{(z-0.5)^2+0.5^2} \right \}aprox~=\mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{42z^2-17z}{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \} =(42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2-0.4z}{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \} =$

$= (42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.2z -0.2z }{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}= (42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.2z }{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}-(42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{0.2z }{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}$

Ya tenemos las 2 expresiones buscadas, con lo que podemos calcular la transformada $\mathbf{Z^{-1}}$de cada una de ellas:

$(42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{z^2 -0.2z }{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}= (42)\sqrt{0.08}^k\; cos(bk)$

$(-42) \mathbf{Z^{-1}}\left \{\frac{0.2z }{(z-0.2)^2+0.2^2} \right \}= (-42)\sqrt{0.08}^k\; sen (bk)$

Con este paso ya hemos concluido y podemos poner la expresión definitiva de y(k):

$y(k) = 4.902 - 46.6667 (0.1)^k + 0.08^{k/2} 42 \left ( cos(bk)-sen(bk) \right )$, siendo $b = arccos(\sqrt{0.5})$.