1.1 ¿Qué es control desde la perspectiva de la automática?

La automática la define el diccionario de la Real Academia Española (RAE) como la ciencia que trata de sustituir en un proceso el operador humano por dispositivos mecánicos o electrónicos.
El término control tiene muchos significados dependiendo de la comunidad donde se aplique. Desde la perspectiva de la automática y siguiendo también la definición del RAE, hace referencia a la regulación, manual o automática, sobre un sistema. Esta regulación tiene por objeto conseguir unas condiciones determinadas de funcionamiento del sistema bajo control. Por tanto, y desde el punto de vista de esta asignatura, el término control incluye lazos de realimentación en amplificadores electrónicos, controladores de puntos de consigna en procesos químicos, ordenadores de vuelo de aviones, controladores de tráfico en Internet (routers), etc. El concepto de control va acaparando cada vez aplicaciones más sofisticadas y novedosas en los campos de vehículos y robots autónomos, sistemas biológicos, cirugía, tele-asistencia, economía, etc.
En la Figura 1.1 se muestra el esquema de un sistema controlado por computador. El cuadro superior en línea discontinua representa la dinámica del proceso (quiere decir el conjunto de ecuaciones que reflejan su comportamiento temporal) que se quiere controlar. Los actuadores (también denominados accionadores) son los elementos (usualmente de potencia: motores, electroválvulas, etc.) que actúan sobre el sistema condicionando su funcionamiento. El sistema bajo control o planta (en control, al sistema a controlar se le suele denominar planta) está representado por su modelo dinámico (modelo matemático escrito de forma adecuada para poder aplicar las técnicas de Ingeniería de Control). A la salida de la planta los sensores miden el estado de las variables que han de ser controladas (presión, temperatura, velocidad, etc.). Tanto el ruido en la actuación y la medida (el ruido es en general una mala concreción en la señal, bien porque está contaminada con ruido interno o externo, o porque no se tiene certeza de su valor y sólo se conoce hasta una precisión) como las posibles perturbaciones sobre la planta (una racha de viento en el control del rumbo de un avión por ejemplo) han de ser consideradas en el proceso de control. En este apartado de ruidos y perturbaciones habría que tener también en cuenta las posibles incertidumbres en la dinámica de la planta (errores en sus parámetros, efectos no modelados, etc.). Es deseable que el sistema de control sea robusto frente a todos estos efectos perniciosos. Esto es, esté preparado para soportarlos.
El cuadro inferior en línea discontinua de la Figura 1.1 representa el controlador. Éste  sensa (mide) a la salida de la planta la/s variable/s que se desean tener bajo control. La medida, después de pasar por un filtro para acondicionarla, entra en un convertidor A/D, ya que el algoritmo que realiza el control (ley de control) está implementado en un computador. La señal de control que produce el algoritmo después de analizar la entrada que le ha llegado, se dirige a un convertidor D/A, ya que normalmente los actuadores funcionan con señales analógicas. Nótese que una señal de reloj sincroniza la operación de los convertidores y el procesado en el computador.  También hay que tener en cuenta la entrada externa al computador, la cual permite cambiar parámetros y/o consignas en el algoritmo de control.
La palabra clave más importante del control es la realimentación.  Nótese en la Figura 1.1 como los cuadros de línea discontinua que representan el proceso y el controlador están interconectados, de modo que la salida del primero se usa como entrada del segundo, creando de este modo un sistema en lazo cerrado.

Figura 1.1

El concepto central en control es el lazo de realimentación medida – computación – actuación. El primer objetivo a conseguir mediante el control es que la dinámica del sistema en lazo cerrado sea estable. Esto es, las perturbaciones acotadas han de producir como mucho errores acotados. Garantizada la estabilidad del sistema en lazo cerrado, el controlador ha de proveer otras características deseables como por ejemplo: respuesta rápida ante cambios en los puntos de consigna, rechazo o buena atenuación a las perturbaciones, etc. Las propiedades del controlador se establecen a partir de una amplia variedad de técnicas de modelado, análisis y síntesis, las cuales veremos durante el curso. Estas técnicas permiten capturar lo esencial de la dinámica del sistema así como explorar comportamientos del mismo en presencia de incertidumbres, ruido o fallos en los componentes.
La Ingeniería de Control es una disciplina de la ciencia que está muy conectada con otras que usa como herramientas: física (dinámica y modelado), matemáticas (algoritmia, análisis matemático, álgebra), computación (información y software), investigación operativa (optimización, probabilidad, teoría de juegos). No obstante lo anterior, debe quedar claro que tanto los objetivos como la aproximación al problema y su resolución son muy diferentes en la Ingeniería de Control respecto de las disciplinas anteriores.
Hoy en día, debido fundamentalmente a que las leyes de control se implementan en un computador (implementación software), el control y la ciencia de la computación están muy relacionados, sin embargo, debe quedar claro que tanto los algoritmos como el propio software son muy diferentes, debido a los requerimientos de la dinámica del sistema y a la naturaleza de implementaciones en tiempo real.

Figura 1.2

 

1.2 Ejemplos de control mediante realimentación

La realimentación tiene una serie de propiedades muy interesantes y útiles. Así por ejemplo permite diseñar sistemas precisos a partir de elementos imprecisos, estabilizar un sistema inestable o minimizar las perturbaciones externas sobre un sistema. A continuación se va a realizar un breve recorrido sobre ejemplos ilustrativos de a influencia de la realimentación en la consecución de hitos de control.

Primeros ejemplos tecnológicos

La proliferación de sistemas de control en la vida cotidiana ocurrió sobretodo a partir de la mitad de los años 50 del siglo pasado. No obstante, existen ejemplos aislados acontecidos mucho antes, como por ejemplo el regulador centrífugo o de bolas (inventado por el ingeniero inglés J. Watt en 1788, por lo que es también conocido como regulador de Watt), el cual (ver Figura 1.2) emplea la fuerza centrífuga originada por la velocidad de giro de las bolas del contrapeso para deslizar por un eje el mecanismo que acciona la válvula de admisión de vapor. Nótese como al estar obturado el vapor a la máquina ésta disminuirá la velocidad de rotación del eje del motor, lo cual hará que las bolas giren más despacio y tiendan a caer. Entonces, el casquillo que se desplaza por el eje será empujado hacia abajo dejando de obturar el paso de vapor a la máquina, con lo cual esta aumentará de nuevo su velocidad de giro. El regulador centrífugo es pues un controlador de la velocidad de giro de la máquina de vapor.

(a)	(b)
Figura 1.3

Otro ejemplo que, aunque más moderno que el anterior, es de finales del siglo XX, es el termostato utilizado para regular la temperatura de una vivienda, el cual fue inventado por Albert Butz en 1885 y cuya explotación comercial dio lugar a la compañía Honeywell. En la Figura 1.3 (a) puede verse un termostato de Honeywell del año 1953. En la Figura 1.3 (b) se muestra un termostato analógico de los más usuales que aún hoy pueden verse en edificios. Su funcionamiento está basado en la propiedad que presentan los metales de dilatarse al aumentar la temperatura. Se coloca un fleje con dos láminas unidas de dos metales con diferente coeficiente de dilatación (cobre e hierro por ejemplo). Cuando la temperatura aumenta, la lámina que se dilata más (en este caso la de cobre) se curva, ya que necesita más espacio, con lo cual se separan los contactos del fleje y se abre el circuito eléctrico. Esto detiene el sistema de calefacción hasta que la temperatura baje, el metal se contraiga, el fleje se estire y, como consecuencia, se cierre el circuito eléctrico que activa de nuevo la calefacción. Respecto del concepto de controlador, la lámina bimetálica actúa como tal y como sensor, ya que a partir de una temperatura de consigna fijada por el usuario mediante el mando (curvatura del fleje), el sistema la compara con la de la habitación a controlar (variable de salida); cuando hay diferencia se genera una señal de error que es realimentada para generar una señal de mando (control) que enciende o apaga la calefacción. Aunque el funcionamiento del termostato captura la esencia del control mediante realimentación, su mecanismo es demasiado simple e imperfecto (aunque útil),  ya que existen retardos entre el sensor y la planta a controlar (habitación). Los termostatos de calidad actuales se anticipan apagando o encendiendo la calefacción antes que la señal de error cambie de signo, lo cual evita saltos de temperatura grandes así como ciclos de funcionamiento elevados de la máquina. Esta interacción entre la dinámica del proceso (la velocidad de calentamiento o enfriamiento de la habitación) y la operación del controlador es un elemento clave en el diseño de los sistemas de control actuales.
Con el transcurso del siglo XX se fueron desarrollando sistemas de control cada vez más sofisticados, como por ejemplo el control de crucero o controlador de velocidad para vehículos. Éste fue inventado en 1945 por el inventor ciego e ingeniero mecánico Ralph Teetor (ver Figura 1.4). Su idea nació de la frustración de ir en el vehículo con su abogado, quien frenaba y aceleraba continuamente según hablaba. El primer vehículo con el sistema de Teetor fue el Chrysler Imperial en 1958. Este sistema calculaba la velocidad sobre la carretera basándose en las rotaciones de un palier y usaba una bobina para variar la posición del acelerador según fuera necesario. Hoy en día los automóviles son quizás los sistemas que, siendo más cercanos al gran público, están dotados de más sistemas de control (control de crucero adaptativo¹ [5] , control de tracción² [6] , control de estabilidad³ [7] , control de emisión de gases, etc.).

Figura 1.4

Generación y transporte de energía eléctrica

El control es una misión crítica en los sistemas de producción y transporte de energía eléctrica, de modo que las centrales eléctricas están dotadas de multitud de lazos de control para garantizar su correcto funcionamiento. El control es fundamental también en el transporte de la electricidad, ya que ésta ha de ser llevada hasta el último rincón donde es necesaria y con la potencia adecuada, pero la energía eléctrica tiene muy difícil almacenaje, con lo cual hay que adecuar lo más posible la generación al consumo. La gestión de la energía en la red eléctrica es un problema de control sencillo de resolver cuando hay un solo generador y un consumidor (caso de una vivienda aislada que se genera su propia electricidad por paneles fotovoltaicos por ejemplo), pero es muy complejo es un sistema altamente distribuido, donde hay muchos generadores, muchos más consumidores y largas distancias entre ellos. Para añadir aún más complejidad al problema del control de la red eléctrica, hay que tener en cuenta que la demanda en un punto o varios a la vez puede cambiar de forma rápida e impredecible. En la Figura 1.5 se muestra a modo de ejemplo el sistema eléctrico (enero de 2009) en alta tensión que circunda la ciudad de Huelva. En color rojo se dibujan las líneas de 400 KV, en verde las de 220 KV, en azul las de 132/110 KV y, en negro, las de menos de 110 KV. Las líneas discontinuas, sean del color que sean, representan líneas programadas o en construcción de la tensión correspondiente al color. Los puntos gruesos de color negro representan subestaciones eléctricas (al lado de las centrales sirven para elevar la tensión antes de transportarla, y al lado de las poblaciones para reducir la tensión con objeto de poder usarla), y los cuadros representan las centrales con su capacidad de producción en MW. Los rellenos de negro las térmicas clásicas, los que tienen la mitad rellena de negro eólicas y los de la mitad diagonal rellena de negro de ciclo combinado. El control del sistema eléctrico exige adecuar la producción de las centrales a las necesidades de los clientes (cargas) pasando por las subestaciones.
Caídas de árboles sobre líneas, vientos, rayos, fallos en equipos, etc., pueden ocasionar perturbaciones graves en el sistema eléctrico, por ello, deben haber sofisticados sistemas de control que eliminen o minimicen sus consecuencias para el usuario final. Dependiendo de la gravedad de la perturbación los diferentes niveles del control del sistema eléctrico actuarán reduciendo la tensión, dividiendo una red en subredes, desconectando líneas y usuarios, etc. El sistema eléctrico es pues un buen ejemplo de lo complicado que puede llegar a ser un sistema de control.

Figura 1.5

Figura 1.6 Fotografía original del primer vuelo con motor de la historia. A los mandos Orville Wright; a la derecha, su hermano Wilbur. 17 de diciembre de 1903. El vuelo fue sobre las playas de Kitty Hawk, Carolina del Norte. El aparato, en su primer despegue, recorrió 36 metros en 12 segundos.

Aerospacial

La consecución de un control adecuado fue probablemente la llave que permitió a los hermanos Wright hacer volar un aparato a principios del siglo XX (ver Figura 1.6). De hecho, los hermanos Wright no se hicieron famosos por demostrar simplemente el vuelo con motor,  sino por demostrar el vuelo con motor controlado. Su primer aeroplano incorporaba ya superficies de control (aletas verticales y alas de pato⁴ [8] ) así como alas adaptables que permitían al piloto controlar el vuelo. Realmente, un avión en vuelo es un sistema que tiende a hacerse inestable, con lo cual se necesita un sistema de control (el piloto cuando el vuelo es manual) que actúe de forma constante para que no caiga. A este primer vuelo controlado de 1903 le han seguido 100 años de éxitos continuos en la mejora de los sistemas de control de los aviones, los cuales han dado lugar a los aparatos comerciales y militares de hoy en día (ver Figura 1.7). En la Figura 1.7 (a) se muestra el Eurofighter, nacido de un consorcio anglo/alemán/italo/español. Es un avión de una maniobrabilidad extraordinaria (obsérvense sus alas de pato y de delta truncadas), para lo cual se diseñó inherentemente inestable; un cuádruple sistema de control digital da una estabilidad artificial al estar ajustando constantemente las superficies de control (Fly-by-wire⁵ [9] ). En la Figura 1.7 (b) se muestra el X-45 UCAV (Unmanned Combat Air Vehicle), un avión militar no tripulado estadounidense apto para volar a match 0,85  y capaz de transportar misiles. Tanto su longitud total como envergadura de alas están en torno a los 11 metros.

(a)	(b)
Figura 1.7. Aviones militares modernos. (a) Eurofighter Typhoon. (b) Avión no tripulado X-45 J-UCAV.

El sector espacial es una de las puntas de lanza del desarrollo investigador en el ámbito del control, de hecho la carrera espacial tanto rusa como norteamericana han marcado hitos tecnológicos que luego han sido de aplicación a otros campos. Uno de los grandes retos científicos que afrontó la NASA desde mediados de los años 60 fue disponer de un transbordador espacial. Esto lo consiguió el 12 de abril de 1981 con el lanzamiento del primer sistema de transbordador espacial (en inglés: Space Transport System, STS o Space Shuttle), el Columbia (ver Figura 1.8 (a). Actualmente el uso del transbordador espacial está concentrado totalmente en el ensamblaje de la Estación Espacial Internacional (en inglés: International Space Station, ISS). El tiempo de vida de transbordadores espaciales de esta clase se espera que acabe a finales de 2010. Para entonces deberán ser substituidos por el vehículo Orion norteamericano y/o la nave rusa Kliper, de mucho menor coste que los transbordadores espaciales norteamericanos.
En este apartado merece un lugar especial la sonda espacial Voyager I, la cual fue lanzada el 5 de septiembre de 1977 y gracias a que ha superado con creces sus perspectivas iniciales de vida útil (fue diseñada inicialmente para visitar Júpiter y Saturno) es hoy en día el objeto hecho por el hombre más alejado de la Tierra. De hecho está atravesando la Heliopausa⁶ [10] a más de 16.000 millones de kilómetros del Sol. Cuando la Voyager I sobrepase la Heliopausa será el primer objeto de fabricación humana que abandone nuestro sistema estelar. Entonces los científicos obtendrán las primeras mediciones directas de las condiciones del espacio interestelar, las cuales podrían proveer pistas relevantes del origen y la naturaleza del universo. A esta distancia, las señales del Voyager I tardarán más de quince horas en alcanzar el centro de control en la Tierra. Voyager 1 tiene una trayectoria parabolica, y ha alcanzado velocidad de escape, lo que significa que su orbita no regresará nunca al Sistema solar interior. Esto es, vagará eternamente por el espacio enviando señales a la Tierra hasta que su sistema de energía se agote (sobre el año 2.025).

(a)	(b)
Figura 1.8. Ingenios espaciales. (a) Lanzamiento del Columbia en 1981. (b) Sonda espacial Voyager I lanzada el 5 de septiembre de 1977.

Materiales y transformación

La industria química es responsable del auge considerable en el desarrollo de nuevos materiales, lo cual es clave en el desarrollo de nuestra sociedad. Además, tal como el nivel de exigencia de ésta aumenta, se hace necesario mejorar cada vez más la calidad de los productos fabricados minimizando todo tipo de riesgos, como los medioambientales por ejemplo, lo cual obliga a controles cada vez más precisos en esta industria⁷ [11]. Por otro lado, los procesos productivos se requieren que sean cada vez más eficientes energéticamente, lo cual ha dado lugar a los procesos de cogeneración⁸ [12]. Cada nuevo requerimiento añade complejidad al sistema de control de la planta industrial, creando en su proceso de diseño un nuevo desafío. En la Figura 1.9. se observa el proceso conocido como Epitaxia por haces moleculares que permite fabricar estructuras con precisión de unos pocos Angstroms (en un centímetro caben 10 millones de angstroms). Esta técnica es usada en el crecimiento de heteroestructuras de semiconductores por la gran perfección cristalina que alcanza. Los haces moleculares inciden sobre un sustrato y diversas reacciones químicas ocasionan la deposición de monocapas sucesivas. Mediante el adecuado control de las especies químicas de los haces se puede variar la composición de las capas epitaxiales. Los requerimientos técnicos son elevados pues se exige un perfecto control de la temperatura y vacío en la cámara de crecimiento.

(a)	(b)
Figura 1.9. Epitaxia por haces moleculares. (a) Deposición de capas con absoluta precisión. (b) Cámara para crecimiento epitaxial.

Puesto que el sensor es un elemento fundamental en los sistemas de control, las nuevas tecnologías de desarrollo de sensores están proporcionando nuevas oportunidades en el desarrollo de controladores. Sensores con conexión directa al computador (controlador) de aplicación en láser backscattering⁹, vídeo microscopía, espectroscopía infrarroja y de Raman¹⁰, etc., están propiciando que procesos hasta ahora de laboratorio se estén incorporando al mundo industrial.

Robótica y máquinas inteligentes

El objetivo de la ingeniería cibernética, ya establecido en los años 40 e incluso antes, ha sido implementar sistemas capaces de exhibir respuestas muy flexibles o inteligentes ante cambios en la situación. De hecho, según la RAE, la cibernética estudia las analogías entre los sistemas de control y comunicación de los seres vivos y los de las máquinas; y en particular, el de las aplicaciones de los mecanismos de regulación biológica a la tecnología. Esto es, la cibernética está completamente ligada al control, y ambas disciplinas han sentado las bases de la robótica moderna.
Dos logros importantes en este ámbito son los Mars Exploratory Rovers y los robots de entretenimiento como el AIBO de Sony, los cuales se muestran en la Figura 1.10. Los Mars Exploratory Rovers han sido desarrollados por el Jet Propulsion Laboratory (JPL) y han estado maniobrando en la superficie de Marte durante más de 4 años, a partir de enero de 2004, enviando medidas y fotos de su entorno de trabajo. El robot AIB de Sony, lanzado al mercado en 1.999, fue el primer robot de entretenimiento lanzado en masa al mercado. Es digno de mencionar el uso que hacía de técnicas de inteligencia artificial que le permitían reaccionar ante estímulos según su propio juicio. Este altísimo nivel de realimentación es un elemento clave en robótica, donde cuestiones como el evitar obstáculos,  seguir trayectorias, aprendizaje o autonomía son muy relevantes.
A pesar de los enormes progresos acontecidos en los últimos años en el campo de la robótica, en muchos aspectos está todavía en la infancia. Los robots de hoy en día exhiben comportamientos muy simples comparados con los humanos, y sus habilidades para moverse, interpretar señales externas complejas, realizar razonamientos de alto nivel y cooperar juntos en equipo son muy limitadas. Sin duda la combinación de técnicas de inteligencia artificial (planificación, adaptación y aprendizaje) con técnicas de control contribuirá a realizar mejoras continuas en los campos citados.

(a)	(b)
Figura 1.10. Sistemas robóticos. (a) Spirit, uno de los dos robots exploradores de Marte que aterrizó en él en enero de 2004. (b) Robot AIBO de Sony, uno de los primeros robots de entretenimiento comercializados en masa. Aunque los dos sistemas robóticos tiene cometidos muy diferentes, ambos hacen uso de realimentación entre sensores, actuadores y de computación para funcionar en entornos desconocidos.

Redes y sistemas informáticos

El control de redes es una gran área de investigación que abarca muchos tópicos incluyendo el control de congestión de tráfico, enrutado, copiado de datos y gestión de energía. Varias características de estos problemas de control los hacen muy interesantes. La característica dominante en todos ellos es la enorme escala de los sistemas que han de ser controlados; Internet es probablemente el mayor sistema de control realimentado que la humanidad ha construido nunca. Otra característica es la naturaleza descentralizada del problema de control: las decisiones deben ser tomadas muy rápidamente y basándose sólo en información local. La estabilidad en Internet es muy complicada debido a los retardos de tiempo variable que se producen, con lo cual la información sobre la red puede ser observada o enviada a los controladores sólo después de un retardo, con lo cual la acción de control sobre la red se produce con un retraso considerable. Incertidumbres y variaciones en la red, cambios en su topología, características del canal de transmisión, demanda de tráfico y recursos disponibles están cambiando continuamente y en forma impredecible.
El control de las redes está también íntimamente relacionado con el control de los servidores que están conectados a ellas. Los computadores son los elementos claves de los routers, servidores web y servidores de bases de datos usados para comunicaciones, comercio electrónico, publicidad y almacenamiento de la información. Mientras que los costes de hardware (la electrónica) han disminuido de forma considerable, los de operación de estos sistemas han aumentado, debido a la dificultad en su gestión y mantenimiento, como consecuencia del grado de complejidad cada vez más acusado.
En la Figura 1.11 (a) se muestra un ejemplo de un sistema multicapas para e-comercio. El sistema tiene varias capas de servidores. La capa de cabecera acepta solicitudes entrantes y las enruta hacia la de servidores http, los cuales las distribuyen hacia los servidores de aplicaciones. El tratamiento de las solicitudes entrantes puede variar en un amplio rango, y los servidores de aplicaciones pueden acceder también a otros servidores externos gestionados por otras organizaciones.
El control de un servidor individual en una capa se muestra en la Figura 1.11 (b). Una cantidad que representa la calidad del servicio o el coste de la operación –tal como tiempo de respuesta, tasa de transferencia, servicio de atención al cliente o uso de memoria–  se mide en el computador.  Las variables de control pueden representar mensajes entrantes aceptados, prioridades en el sistema operativo o asignación de memoria. El lazo de realimentación ha de encargarse entonces de mantener las variables que representan la calidad del servicio dentro del rango de valores fijado.

(a)	(b)
Figura 1.11. Ejemplo de sistema multicapas para servicios de Internet.  (a) Los usuarios solicitan información desde un conjunto de computadores (capa 1),  la cual a su vez recoge información de otros computadores (capas 2 y 3). (b) Cada servidor individual tiene un conjunto de parámetros de referencia fijados por el operador (humano) del sistema. La realimentación permite además operar al sistema en presencia de incertidumbres.

Economía

La economía es un sistema dinámico muy grande con muchos actores: gobiernos, organizaciones, compañías y particulares. Los gobiernos controlan la economía mediante leyes y tasas, los bancos centrales fijando el tipo de interés y las compañías estableciendo precios y realizando inversiones. Las personas particulares controlan la economía mediante compras, ahorros e inversiones. Se han realizado esfuerzos enormes para modelar el sistema tanto a nivel macro¹¹ [13]  como microeconómico¹² [14] , pero el modelado es muy complicado, ya que el sistema está muy interrelacionado y, por tanto, muy influenciado por el comportamiento dentro de él de los diferentes actores.
J. M. Keynes desarrolló en 1936 un modelo simple para comprender relaciones entre producto nacional bruto, inversión, consumo y gasto público. Una de las observaciones de Keynes fue que bajo ciertas condiciones, por ejemplo durante la gran depresión de los años 30, un incremento en el gasto público podría llevar a un gran aumento en el producto nacional bruto. Esta idea fue usada por varios gobiernos con objeto de aliviar los efectos de la gran depresión. Las ideas de Keynes serán modeladas en el capítulo siguiente.
Una de las razones de porqué es muy difícil modelar sistemas económicos es que éstos no están sometidos a leyes de conservación. Un ejemplo típico es el valor en bolsa de una empresa, el cual puede cambiar rápida y erráticamente. No obstante lo anterior, sí hay áreas concretas con leyes de conservación que sí permiten elaborar modelos precisos. Un ejemplo es el flujo de productos desde un fabricante a un minorista tal como se ilustra en la Figura 1.12. Los productos son cantidades físicas que obedecen una ley de conservación, y el sistema puede ser modelado considerando las unidades de producto en los diferentes inventarios. El control de las cadenas de producción y consumo origina importantes beneficios económicos, ya que minimiza la cantidad de producto almacenado.
Los problemas reales son más complejos de lo que indica la Figura 1.11, ya que puede haber muchos productos diferentes, muchas fábricas distribuidas geográficamente y además éstas pueden requerir materias primas o productos semielaborados.
El control de las cadenas de producción y suministro fue propuesto por J. W. Forrester en 1961 y es hoy en día de gran importancia, ya que los beneficios económicos que se obtienen minimizando inventarios son considerables. Los modelos para reducir inventarios han sufrido un auge enorme gracias al uso de las tecnologías de la información y las comunicaciones, las cuales han permitido predecir ventas, seguir la pista de productos y ajustar en consecuencia la producción justo a tiempo¹³ [15]. Este control de las cadenas de producción y suministro ha proporcionado éxitos notables de distribuidores a nivel mundial (piénsese por ejemplo en las grandes cadenas de hipermercado, comida rápida, tiendas de moda franquiciadas, etc.) La publicidad en Internet es una aplicación emergente de control.  Advertising on the Internet is an emerging application of control. La publicidad basada en redes permite medir los efectos de las diferentes estrategias de comercialización. Las respuestas de los consumidores pueden ser modeladas, lo cual permite elaborar estrategias de realimentación.

Figura 1.12. Dinámica de la cadena de suministro. Los productos van desde el fabricante al cliente a través de distribuidores y detallistas tal como indican las líneas sólidas. Nótese los múltiples lazos de realimentación creados por las líneas discontinuas, los cales son originados porque cada agente trata de mantener su propio nivel de inventario.

Industria farmacéutica

La industria farmacéutica ha tenido un desarrollo espectacular a partir de la mitad del siglo XX, cuando los medicamentos han comenzado ha llegar en masa a la población en general, y el acceso a ellos se ha convertido en algo rutinario para el ciudadano de los países desarrollados. Hoy en día la industria farmacéutica tiene ante sí grandes retos para resolver problemas de salud que azotan la humanidad: cáncer, sida, cardiopatías, etc. Por ello, las inversiones en desarrollo de medicamentos son enormes y, en consonancia, lo son también la complejidad de los laboratorios y las técnicas utilizadas. Un ejemplo de esto puede ser la industria biofarmacéutica, y dentro de ella la producción industrial de anticuerpos monoclonales¹⁴ [16]  (MAB), debido a sus aplicaciones tanto diagnósticas como clínicas. Este es un campo que se encuentra actualmente en pleno desafío investigador y tecnológico.
Concretando aún más en el ejemplo, hay un gran número de complicaciones que dificultan la producción industrial de la célula hybridoma¹⁵, por ello el control industrial actual del cultivo de esta célula se realiza de forma manual.  Las complicaciones que surgen para realizar un control automático radican en los requerimientos tan estrictos que exigen el crecimiento de los cultivos, la ausencia de medidas en línea de substratos esenciales en el proceso, la escasez de datos experimentales precisos, así como la dinámica extremadamente compleja del proceso. Con objeto de considerar todas las variables del proceso y la interacción entre ellas, a escala industrial se tiende  a integrar el modelado, el diseño del experimento y la validación, el control y la optimización en un mismo sistema (ver Figura 1.13) que permita incrementar la productividad, regular la calidad del producto y reducir costes.
 

Figura 1.13.

Realimentación en la naturaleza

El desarrollo de metodologías rigurosas que permitan modelar el comportamiento de sistemas naturales complejos (debido a la interacción de multitud de sistemas, la mayoría de las veces muy simples, pero con intrincados patrones de flujo de información) es un aspecto de la dinámica de sistemas¹⁶ [17].  Los avances que se están produciendo en ciencia y tecnología están permitiendo concebir una comprensión más amplia en el comportamiento (dinámica) de sistemas complejos que se dan en la naturaleza. Por poner sólo algunos ejemplos:
Sistemas biológicos.  Hay un interés enorme en conocer de forma fehaciente los mecanismos que se dan a nivel celular (ver en la Figura 1.14 el caso particular de las metaloproteínas¹⁷ [18]), no sólo por el hecho de utilizar este conocimiento a nivel médico para curar enfermedades, sino, como vimos en el apartado anterior, para producir medicamentos, sustancias, células, etc., a nivel industrial. Hay una gran variedad de fenómenos biológicos que proporcionan una fuente amplia de ejemplos de control, incluyendo regulación genética, mecanismos de realimentación hormonal, inmunológica y cardiovascular, control muscular y locomotor; percepción activa, visión y recepción de información sobre la localización del cuerpo, sus movimientos y el sistema sensitivo; atención y conciencia; dinámica de poblaciones y epidemias. Cada una de ellas (y muchas otras más) proporcionan oportunidades para explicar lo que funciona, cómo funciona y qué podemos hacer para afectar su funcionamiento.

Figura 1.14. Caminos del tráfico de cobre en la célula de un mamífero. Este conocimiento es fundamental para fabricar metaloproteínas.

Ecosistemas. Un ecosistema es un sistema natural que está formado por un conjunto de organismos vivos (biocenosis) y el medio físico en donde se relacionan (biotopo). Un ecosistema es una unidad compuesta de organismos interdependientes que comparten el mismo hábitat (ver Figura 1.15). Los ecosistemas suelen formar una serie de cadenas que muestran la interdependencia de los organismos dentro del sistema. Los ecosistemas son sistemas dinámicos complejos de múltiples escalas, que proporcionan una nueva y amplia gama de desafíos para el modelado y análisis de sistemas realimentados. La experiencia reciente en la aplicación de técnicas de control y modelado de sistemas dinámicos a las redes de bacterias, sugiere que gran parte de la complejidad de estas redes se debe a la presencia de múltiples capas de lazos de realimentación que proporcionan una funcionalidad robusta a la celda individual. Sin embargo, en otros casos, los acontecimientos a nivel celular benefician a la colonia a expensas del individuo. Análisis a nivel de sistemas se pueden aplicar a los ecosistemas con el objetivo de comprender la solidez de esos sistemas, y la medida en que las decisiones y acontecimientos que afectan a las especies individuales contribuyen a la solidez y/o fragilidad del ecosistema en su conjunto.

(a)	(b)
Figura 1.15. Ejemplo de ecosistemas.  (a) Sabana (Tanzania). (b) Arrecife de coral en la Gran Barrera de Coral, el mayor arrecife de coral del mundo, situado  en el Mar del Coral, frente a la costa de Queensland al noreste de Australia.

Ciencias ambientales. Las Ciencias Ambientales son un área de la ciencia cuyo objetivo principal es buscar y conocer las relaciones que mantiene el ser humano consigo mismo y con la naturaleza. Ya se sabe que las actividades humanas han alterado el medio ambiente a escala mundial. Los investigadores en este ámbito se enfrentan a problemas de enorme complejidad; quizás el primero de ellos es comprender los sistemas de retroalimentación que operan a escala mundial..
Las ciencias ambientales Implican un área de estudio multidisciplinar que abarca distintos elementos. Incluye el estudio de problemas ambientales y la propuesta de modelos para el desarrollo sostenible. Así por ejemplo, las ciencias ambientales estudian la depuración y el tratamiento de aguas (ver Figura 1.16 (a)); esto es, el conjunto de operaciones unitarias de tipo físico, químico o biológico cuya finalidad es la eliminación o reducción de la contaminación o las características no deseables de las aguas, bien sean naturales, de abastecimiento, de proceso o residuales —llamadas, en el caso de las urbanas, aguas negras—. La finalidad de estas operaciones es obtener unas aguas con las características adecuadas al uso que se les vaya a dar, por lo que la combinación y naturaleza exacta de los procesos varía en función tanto de las propiedades de las aguas de partida como de su destino final. Otro ejemplo del campo de las ciencias ambientales es la gestión de residuos. Los residuos no aprovechables constituyen un problema para muchas sociedades, sobre todo para las grandes urbes, así como para el conjunto de la población del planeta, debido a que la sobrepoblación, las actividades humanas modernas y el consumismo, han acrecentado mucho la cantidad de basura que se genera (ver Figura 1.16 (b)); lo anterior junto con el ineficiente manejo que se hace con dichos residuos (quemas a cielo abierto, disposición en tiraderos o vertederos ineficientes), provoca problemas tales como la contaminación, que origina problemas de salud y daño al ambiente, además deprovocar conflictos sociales y políticos.

(a)	(b)
Figura 1.16. Ejemplo de campos de trabajo de las ciencias ambientales. (a) Planta de depuración y tratamiento de aguas. (b) Desechos sólidos caseros clasificados. 1) envases de vidrio, 2) plástico fino, 3) plástico grueso, 4) cartón, 5) varios, 6) latas compactadas, 7) papel, 8) poliestireno, 9) pedacería de vidrio, 10) pilas, 11) metales diversos, 12) orgánicos, 13) tetrapak, 14) telas, 15) sanitarios.

 

1.3 Propiedades de la realimentación

La realimentación es una idea o concepto que, tal como se ha visto, es de uso muy extendido en la naturaleza. ¿Por qué es tan importante la realimentación? Pues porque como veremos a continuación de forma intuitiva (la formalización de estas intuiciones se realizará en capítulos sucesivos), dota a los sistemas de unas propiedades que mejoran su funcionamiento de forma notable. El principio de la realimentación es simple: la corrección de las acciones sobre la base de la diferencia entre el rendimiento real y el deseado. En ingeniería, la realimentación ha sido redescubierta y patentada muchas veces en muchos contextos diferentes.

Robustez frente a la incertidumbre

Uno de los usos fundamentales de la realimentación es hacer al sistema robusto frente a la incertidumbre. Calculando la diferencia entre el valor medido de una señal regulada y su valor deseado, se obtiene una señal de error que puede ser usada para suministrar una acción correctiva al sistema con objeto de llevar el error a cero. Este es precisamente el concepto que explotó Watt cuando diseñó el regulador de bolas (ver sección 1.2) para regular la velocidad en las máquinas de vapor. Como un ejemplo más moderno considérese el sistema de la Figura 1.17. En él, la velocidad del vehículo se controla mediante el acelerador o el freno. Para ello el sistema de control mide la velocidad del vehículo, la cual compara el controlador (computador) con la velocidad prefijada por el conductor. Si ésta es mayor que la deseada, el sistema de control acciona el freno, y si es menor el acelerador. El gráfico de la derecha muestra que ante un cambio en la velocidad prefijada, el sistema es muy robusto frente a la incertidumbre en la masa de la planta (un número diferente de pasajeros por ejemplo), ya que a pesar de un aumento de ésta, el sistema sigue estabilizando la velocidad prefijada en aproximadamente 5 s.

Figura 1.17. Sistema para el control de la velocidad de un vehículo. En la Figura de la izquierda se muestra el diagrama de bloques del sistema. En la Figura de la derecha se muestra la respuesta del control de velocidad ante un cambio de 25 a 30 m/s en la velocidad de consigna o deseada por el conductor.

Otro ejemplo temprano del uso de la realimentación para proporcionar robustez en un sistema es el amplificador con realimentación negativa. El concepto de realimentación, como ya se sabe a estas alturas del texto, consiste en combinar una fracción de la salida de un sistema con su entrada. Si la fracción de señal realimentada se opone a la señal de entrada, la realimentación se denomina negativa, y si se suma a la señal de entrada se denomina positiva. Un amplificador con realimentación negativa, o más comúnmente denominado amplificador realimentado, es un amplificador que emplea realimentación negativa para mejorar sus prestaciones (estabilidad en su ganancia, linealidad, respuesta en frecuencia, respuesta a cambios en su entrada) y su robustez a las incertidumbres (variaciones en sus parámetros internos —debido a tolerancias en la fabricación o deterioros de los componentes— o externos —condiciones ambientales por ejemplo). En la Figura 1.18 se muestra el diagrama de bloques más simple de un amplificador realimentado, donde A_OL es la ganancia del amplificador en lazo abierto, y la fracción (β.Salida) se realimenta a la entrada con signo menos.
El amplificador realimentado fue inventado por Harold Stephen Black (Patente americana 2.102.671 (publicada en 1937)). Black solicitó la patente en 1928, y le costó más de 9 años que fuera publicada. Black escribió más tarde: Una de las razones de la demora fue que el concepto era tan contrario a las creencias establecidas que inicialmente la Oficina de Patentes no creyó que funcionaría.

Figura 1.18. Esquema básico de un amplificador realimentado

Cambios en la dinámica de un sistema

Otro efecto de la realimentación es que permite cambiar la dinámica de un sistema. Esto es, su comportamiento puede ser cambiado en función de los requerimientos de una aplicación determinada: sistemas inestables pueden ser estabilizados, sistemas poco sensibles ante excitaciones pueden ser sensibilizados y sistemas con puntos de operación erráticos pueden ser mantenidos constantes. La teoría de control proporciona una colección muy rica de técnicas para analizar la estabilidad y respuesta dinámica de sistemas muy complejos, y para determinar el comportamiento de tales sistemas tanto para el caso de que puedan ser considerados lineales como no lineales.
Un ejemplo claro de cómo el control puede transformar la dinámica de un sistema se encuentra en el control del vuelo de aeronaves. Las palabras siguientes, extraídas de una conferencia impartida por Wilbur Wright en 1901, en la Western Society of Engineers, ilustra la importancia del control en el desarrollo del aeroplano.

Los hombres ya saben cómo construir alas o aviones, que cuando se impulsan por el aire a una velocidad suficiente, no sólo mantienen el peso de las alas mismas, sino también el del motor y el ingeniero. Los hombres saben también cómo construir motores y tornillos de la ligereza y potencia suficientes para llevar esos aviones a la velocidad de sustentación... La incapacidad para estabilizar y dirigir aún enfrenta a los estudiosos del problema de volar... Cuando este aspecto haya sido resuelto, la era de volar habrá llegado, dado que el resto de problemas son de menor importancia.

Los hermanos Wright se dieron cuenta enseguida que resolver el problema del control del aeroplano era un asunto clave para conseguir volar. Ellos resolvieron el compromiso entre la estabilidad y la maniobrabilidad construyendo un aeroplano, el Wright Flyer, que era inestable pero manejable. El Flyer tenía un timón en la parte delantera del avión, lo cual lo hacía muy manejable. Una desventaja era que el piloto debía estar continuamente manteniendo el timón, ya que si lo dejaba suelto el avión se estrellaba. Otros pioneros de la aviación trataron de construir aviones estables. Estos podrían haber tenido más fácil volar, sin embargo su escasa maniobrabilidad no les permitía ser conducidos por el aire. Como ya se ha indicado en este texto (ver sección 1.2), el compromiso estabilidad – maniobrabilidad que permitió hacer volar un avión por primera vez lo resolvieron los hermanos Wright en 1903.
El enorme esfuerzo que suponía para el piloto mantener estable aquellos primeros aeroplanos, generó bastante empeño en encontrar un sistema que los estabilizara de forma más o menos automática. Así, en 1912 la compañía norteamericana Sperry, basándose en el concepto de realimentación, desarrolló el primer piloto automático (Sperry autopilot). Lawrence Sperry (hijo del famoso inventor Elmer Sperry¹⁸ [19]) lo mostró dos años más tarde, en 1914, y demostró la credibilidad de su invento haciendo volar el avión mientras mantenía sus manos en alto [20]¹⁹. El piloto automático conectaba un indicador de altitud giroscópico [21]²⁰ y una brújula magnética a un timón, elevador y alerones operados hidráulicamente. Esto permitía que el avión volase recto y nivelado respecto a una dirección de la brújula sin la atención del piloto, cubriendo así más del 80% del trabajo total de un piloto en un vuelo típico. Este piloto automático que permite seguir recto y nivelado sigue siendo el tipo más común, menos caro y más confiable. También tiene el menor error de pilotaje, al tener los controles más simples. El piloto automático es un ejemplo excelente de cómo la realimentación puede ser usada para estabilizar un sistema inestable y, consecuentemente, modificar la dinámica del avión.

Niveles más elevados de automatización

Hoy en día, el concepto de control, gracias al concurso de otras técnicas pertenecientes a otras ramas de la ciencia, fundamentalmente la inteligencia artificial, ha dado un salto cualitativo y cuantitativo que le ha permitido adentrarse en la optimización (control óptimo), adaptación (control adaptativo), aprendizaje y razonamiento (control inteligente).
Una de las áreas de investigación del control en los niveles más altos de decisión es el control autónomo de vehículos. En este campo se están realizando innumerables aportaciones, muchas de las cuales están ya en el mercado, como por ejemplo el Control de Velocidad de Crucero Adaptativo (ACC) que adapta automáticamente la velocidad del vehículo a las condiciones del tráfico.
Prueba del interés en el control autónomo de vehículos es el Darpa Grand Challenge, una carrera de vehículos autónomos²¹ [22] que deben llegar desde un punto de los Estados Unidos hasta otro sin intervención humana, sólo disponiendo de un listado de puntos intermedios entre el principio del circuito y el final. La primera edición se celebró en 2004 en el desierto del Mojave y ningún vehículo consiguió terminar. En 2005 varios vehículos lograron terminar el circuito, siendo el equipo de la Universidad de Stanford el ganador. La siguiente edición, conocida como 2007 Urban Challenge, introdujo una dificultad adicional, ya que se celebró en un circuito urbano donde los participantes debían obedecer las normas de tráfico y comportarse responsablemente. El ganador fue el equipo Tartan Racing de la Universidad de Pittsburgh, Pensilvania (2.000.000 $ de premio), seguido del equipo Stanford Racing  de la Universidad de Stanford, California (1.000.000 $ de premio). En la Figura 1.19 se observan detalles de la carrera.

Figura 1.19. Fotografías de la 2007 Urban Challenge. Superior izquierda: El equipo ganador de la Universidad de Pittsburgh. Superior derecha: el equipo que quedó en segundo lugar de la Universidad de Stanford. Inferior izquierda: El equipo Victor Tango de la Universidad de Blacksburg, Virginia, que quedó en tercer lugar, circulando entre 4 vehículos conducidos por personas.  Inferior derecha: Los equipos de Pittsburgh y Standford juntos, en una intersección.

Desventajas de la realimentación

Aunque la realimentación tiene muchas ventajas, también tiene algunas, aunque pocas, desventajas. La principal quizás sea que si el sistema no está bien diseñado se puede originar inestabilidad. Un ejemplo muy familiar de esto es cuando el exceso de amplificación de un micrófono, como consecuencia de la realimentación positiva, produce sonidos estridentes en una habitación. Lo anterior indica que un sistema ha de ser diseñado para que sea estable no sólo bajo condiciones nominales, sino también bajo todas las posibles perturbaciones que sufra su dinámica.
Otro problema común debido a la realimentación es el posible ruido de medida que se introduce en el sistema, de ahí que la señal medida deba ser filtrada adecuadamente, con objeto de que su posible ruido no se incorpore a la dinámica del proceso (ver Figura 1.1).

Control por anticipación (Feedforward)

El control por realimentación del error es reactivo: para que se tome una acción correctiva ha de entrar antes un error al sistema. Piénsese en un sistema de control como el de la Figura 1.17 por ejemplo. En él, se ha de seguir una señal de referencia (velocidad) fijada por el conductor. Cada vez que la referencia cambia, el sistema de control no comienza a actuar hasta que no se detecta un error entre la señal de referencia fijada y la velocidad real del vehículo. Cuanto más rápido cambie la señal de referencia menos efectiva se mostrará la acción de control, ya que parecerá que va por detrás. Lo anterior sugiere que cuando la señal de referencia cambia rápidamente, el seguimiento a tiempo puede lograrse si se tiene disponible y se utiliza una información anticipada de la referencia, tal como la velocidad de cambio (derivada) y la velocidad de cambio de segundo orden (derivada segunda o curvatura). Esta información está con frecuencia disponible en aplicaciones donde la trayectoria de referencia se planifica y almacena en la memoria del controlador (computador). A partir de aquí, el sistema de control se puede adelantar y tomar alguna acción correctiva antes de que el cambio en la referencia a seguir genere un error en la salida. Evidentemente, en el momento del cambio siempre se generará un error, por pequeño que sea, lo que ocurre es que el sistema de control lo anulará mucho más rápidamente. Esta forma de control se denomina por anticipación, en inglés feedforward.
Las ideas de control por realimentación y control por anticipación son muy generales y aparecen en campos muy diversos. En economía, un control por realimentación puede ser asociado a una economía basada en la respuesta del mercado, y un control por anticipación a una economía basada en planificación. En biología, una estrategia de control por anticipación es un principio fundamental en el control del movimiento de las personas y animales, el cual, durante la infancia, es ajustado mediante entrenamiento. En general, la mayor efectividad de control se logra cuando realimentación y anticipación (no siempre es posible) se aplican de forma conjunta.

Ejercicios

1.1 Prepare, si no lo domina, el capítulo 1 del manual docente: Andújar J. M., et al. Guía práctica de simuladores de circuitos y sistemas electrónicos II. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva, ISBN 84-95699-16-8, 2001. Realice todos los ejercicios resueltos, ya que MATLAB será una herramienta de uso constante en la signatura.

1.2 Prepare, si no lo domina, el capítulo 2 del manual docente: Andújar J. M., et al. Guía práctica de simuladores de circuitos y sistemas electrónicos II. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva, ISBN 84-95699-16-8, 2001. Es importante que se familiarice con las posibilidades de SIMULINK (la versión más moderna que seguro utilizará respecto de la explicada en el texto ofrecerá muchas más prestaciones), ya que será una herramienta de uso continuo en la asignatura.

1.3 Busca en Internet una animación de la suspensión cardan y explica sus funcionamiento. A partir de aquí intenta razonar el funcionamiento del giróscopo.

1.4 Identifique 5 sistemas de control presentes en su entorno diario. Para cada uno de los sistemas identifique los mecanismos que hacen el sensado y la actuación, así como la ley de control. Identifique también respecto de qué incertidumbres proporciona robustez el sistema de control y/o la modificación de la dinámica del sistema que se consigue con la realimentación.

1.5 Manténgase en equilibrio sobre un pie con los ojos cerrados durante 15 segundos. Usando la Figura 1.1 como guía, describa el sistema de control responsable de que no se caiga. Por supuesto, la arquitectura del controlador tendrá otra concepción en este caso respecto de la presentada en la Figura 1.1.

1.6 Realice una búsqueda en la red y localice un artículo de prensa divulgativa sobre algún sistema de control. Describa, a partir de la terminología usada en el artículo, el sistema. De forma específica identifique el sistema de control y describa: (a) la planta controlada, junto con el (b) sensor, (c) actuador y (d) elementos de computación. Si alguna información no estuviera disponible en el artículo, coméntelo y proponga, según su opinión, qué podría usarse.

Notas al pie de pagina

2.1 Modelado en el espacio de estado

La respuesta de un sistema dinámico a una acción sobre él no ocurre de forma inmediata. El dolor en el cuerpo no desaparece de forma inmediata al tomar un analgésico, sino que la respuesta lleva un tiempo. Tampoco sube de forma inmediata la temperatura en una habitación al encender la calefacción. En general la respuesta de un sistema dinámico a un estímulo lleva un tiempo, el cual depende de la naturaleza del estímulo y de la del sistema. El comportamiento temporal de un sistema ha de quedar reflejado en su modelo dinámico, el cual suele nacer a partir de la aplicación sobre él del conocimiento apropiado al sistema en cuestión: físico, económico,  médico, etc.

2.2 Lineal frente a no lineal

Es importante tener muy presente los conceptos lineal y no lineal. La consideración de lineal para un modelo y las expresiones matemáticas que lo definen facilita mucho su manejo y comprensión. Sin embargo, teniendo en cuenta que, en general, los sistemas reales son no lineales, el grado de aproximación que se requiere para convertir un sistema no lineal en lineal siempre ha de ser tenido en cuenta. Como muestra, cuando en el ejemplo 2.1 se asume que el comportamiento del muelle es lineal, debemos tener en cuenta que esto exige, para que el modelo tenga suficiente precisión, que los esfuerzos aplicados sobre el muelle sean pequeños, lo cual ya nos está indicando que el modelo lineal deducido en el ejemplo no es válido para cualquier condición de funcionamiento.

Figura 2.4. Linealización a tramos

Linealizar un sistema no lineal es una técnica habitual que ayuda mucho en el análisis de los sistemas no lineales, sin embargo, nunca hay que perder de vista el ámbito de validez del modelo lineal y el error que se comete. Véase por ejemplo la Figura 2.4, donde la función no lineal  ha sido linealizada a tramos en el entorno de diferentes puntos de operación (1 a 4). Esto se ha hecho así porque el error que se comete es mucho menor que si se linealiza la función en un solo tramo para todo el dominio de interés (segmento s).  Dicho esto, hay que tener en cuenta ahora que la función no lineal  podrá ser aproximada mediante 4 expresiones linealizadas, cada una de las cuales sólo será válida en su dominio correspondiente (entorno de los puntos 1 a 4); por tanto, dependiendo del tramo de operación, el modelo lineal a aplicar deberá ser el apropiado, ya que en caso contrario los errores cometidos podrían hacer inoperativo el modelo. Así por ejemplo, si el sistema no lineal va a trabajar en torno a un punto de operación (supongamos  punto 3 de la Figura 2.4) con pequeños desplazamientos alrededor de él, el modelo lineal a utilizar será el que describe dicho entorno, no siendo necesarios el resto de modelos por ser puntos de operación en los que no se va a encontrar el sistema.
Una técnica habitual de linealización de funciones no lineales consiste en realizar un desarrollo en serie de Taylor de la expresión no lineal alrededor de un punto de operación concreto. Así por ejemplo, si como en la Figura 2.4 se considera que el punto de operación normal es  la ecuación no lineal  puede ser desarrollada alrededor de ese punto del modo siguiente:

(2.30)

Si la variación  es pequeña (validez de la aproximación de la curva mediante el segmento), los términos de orden superior en  pueden ser obviados, con lo cual la ecuación (2.30) puede ser escrita abreviadamente como

(2.31)

Esto es, puesto que  , la ecuación (2.31) puede ser escrita como

(2.32)

Lo cual indica que  es sensiblemente proporcional a ; esto es, (2.32) es un modelo lineal aproximado de  válido en el entorno  del punto de operación.
Si f es una función de varias variables, supongamos dos por ejemplo⁸ [30], el desarrollo en serie de Taylor de  se escribiría, en el entorno de un punto de interés  como

(2.33)

Nuevamente, puesto que  , la ecuación (2.33) puede ser escrita, despreciando los términos de orden superior, como un modelo matemático lineal válido alrededor del punto de operación p:

(2.34)

Ejemplo 2.5. Linealización de un modelo no lineal.  Sea la ecuación no lineal . Se trata de linealizarla en la región  El punto lógico de operación para realizar la linealización es el medio en ambas regiones, esto es:  Aplicando (2.34) se tiene que

(2.35)

La ecuación linealizada es pues

(2.36)

Donde  La ecuación (2.36) puede ser escrita también como

(2.37)

Para  por ejemplo, el valor verdadero de y es . El valor linealizado se obtiene de (2.37) y vale . Por tanto, en este punto el error cometido es de . En el otro extremo, ,con lo cual el valor real de y es , y el aproximado . Aquí el error es menor que en el otro extremo: .

En ingeniería de control es de gran interés la linealización de la ecuación de estado, ya que ello permite linealizar en torno a un punto el modelo de un sistema no lineal.  La ecuación de estado, como se sabe, es una función vectorial de varias variables, lo cual hace que su procedimiento de linealización sea un poco más complejo que el visto en esta sección. Trataremos esta cuestión con detalle en la sección 3.8 del capítulo siguiente.

2.3 Función de transferencia de la ecuación de estado

Figura 2.5.  Sistema de una entrada – una salida (SISO).

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define como la relación entre la transformada de Laplace⁹ [31] de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida. Así, dado el sistema de la Figura 2.5,  su función de transferencia será:

(2.38)

Figura 2.6. Esquema conceptual del proceso de resolución de una ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace.

Tradicionalmente la transformada de Laplace ha sido muy usada en sistemas de control y aún hoy día todavía lo es, sin embargo, restringe mucho el campo de aplicación, ya que sólo es apropiada para estudiar sistemas lineales y, dentro de éstos, los de una entrada-una salida o SISO (del inglés Single Imput-Single Output). Para el caso de sistemas lineales MIMO (del inglés Multiple Imputs-Multiple Outputs), habrá tantas funciones de transferencia como relaciones salida/entrada puedan ser obtenidas. Así por ejemplo, un sistema lineal con dos entradas y dos salidas generará 4 funciones de transferencia: Y1(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s), Y2(s)/U1(s), e Y2(s)/U2(s). Evidentemente, la clave para poder hacer esta separación entrada/salida es la imposición de linealidad del sistema, la cual permite obtener la respuesta total como la suma de las respuestas individuales entre cada entrada y salida.
A continuación, con objeto de fijar ideas y familiarizar al lector no avezado en el uso operacional de la transformada de Laplace, vamos a realizar un par de ejemplos donde se pone de manifiesto su utilidad. Las ocasiones en las que se use la transformada de Laplace en el texto se hará siempre como herramienta, por tanto, se recomienda el manejo de otros libros para profundizar en este instrumento matemático.

Ejemplo 2.6. Resolución de una ecuación diferencial lineal ordinaria. La transformada de Laplace facilita de forma notable la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, ya que convierte la ecuación diferencial temporal en un polinomio en s, y el proceso de integración para resolverla, en una manipulación algebraica de un polinomio cuya conversión al dominio temporal es inmediata mediante tablas. El proceso descrito se ilustra en la Figura 2.6. Para  realizar la transformación desde el dominio de la variable compleja s al dominio temporal se emplea una integral de inversión denominada transformada inversa¹⁰ [32] de Laplace, .
En la práctica, rara vez se emplea la integral de inversión para encontrar f(t). Hay un método más sencillo que vamos a ilustrar en este ejemplo, que consiste en descomponer la expresión en s resultante de la transformación en fracciones simples, para después, mediante tablas, realizar una traslación directa al dominio temporal. Sea pues la ecuación diferencial a resolver siguiente:

(2.39)

Aplicando la transformada de Laplace¹¹ [33] a cada término de la ecuación:

(2.40)

Utilizando una tabla de transformadas se escribe la correspondiente a cada sumando:

(2.41)

Ahora, teniendo en cuenta las condiciones iniciales y que la transformada de la señal escalón unitario U(s) es 1/s,

(2.42)

Agrupando términos y despejando Y(s),

(2.43)

Donde . Entonces, el desarrollo en fracciones parciales¹² [34] de la expresión anterior es:

(2.44)

Cada uno de los coeficientes de la expresión anterior puede ser obtenido actuando sobre cada fracción de (2.43) y su desarrollo de (2.44) del modo siguiente:

(2.45)

Del mismo modo:

(2.46)

Por tanto,

(2.47)

Utilizando una tabla de transformadas se aplica ahora la transformada inversa¹³ [35] a cada sumando para obtener la solución de la ecuación diferencial (2.39) en el dominio del tiempo:

(2.48)

Nótese que conforme el tiempo transcurra los términos exponenciales tenderán a cero, de modo que la respuesta a la que tenderá el sistema (respuesta estacionaria) es .

Ejemplo 2.7. Sistema de amplificador operacional. Sea el sistema de amplificadores operacionales ideales de la Figura 2.7, donde se considera que las resistencias y el condensador son también ideales. Se trata de obtener la función de transferencia .

Figura 2.7. Integrador.

Figura 2.8. Integrador. Circuito trans-formado en s.

Al ser las resistencias y el condensador ideales, su relación tensión/corriente está dada por  e  respectivamente. Considerando la salida de estos elementos la tensión y la entrada la corriente podemos, aplicando el concepto de función de transferencia, obtener sus impedancias en el dominio de la transformada de Laplace. Esto es, .
A partir de aquí, el circuito de la Figura 2.7 puede ser escrito en el dominio de la variable compleja s tal como en la Figura 2.8. Al ser los amplificadores operacionales ideales: 1) se considera el cortocircuito virtual a su entrada, con lo cual la entrada inversora está al potencial de referencia, y 2) la impedancia de entrada es infinita, de modo que sólo circula corriente por el lazo de realimentación. Bajo estas premisas se tiene que

(2.49)

Sustituyendo en la primera ecuación anterior el valor de Va(s) de la segunda, se tiene la función de transferencia buscada:

(2.50)

El circuito de la figura 2.7 se denomina integrador porque la señal de salida es la integral de la de la entrada multiplicada por una constante. Esto es:

(2.51)

Obtención de la función de transferencia a partir del modelo de estado

Realizados los ejemplos volvamos pues con el objeto de esta sección: obtener la función de transferencia de un sistema de una única entrada y una única salida (SISO) definido por su modelo de estado. Sea éste:

(2.52)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de estado y a la ecuación de salida anteriores, se tiene que

(2.53)

Donde B es una matriz de orden nx1 debido a que el sistema tiene una única entrada u. Obsérvese que no se tienen en cuenta las condiciones iniciales, ya que lo que se busca es una función de transferencia. Reordenando la ecuación de estado anterior se obtiene que

(2.54)

Asumiendo la invertibilidad de la matriz  de orden , y denominando su inversa  como , se tiene

(2.55)

Sustituyendo ahora el valor de X(s) obtenido en la ecuación de salida (2.53), se obtiene

(2.56)

Por consiguiente, la función de transferencia del sistema  es

(2.57)

Puesto que

(2.58)

Queda claro que el polinomio denominador de la función de transferencia es . Esto es, los polos¹⁴ [36] del sistema coinciden con los valores propios o autovalores de la matriz A, ya que se obtienen a partir de su ecuación característica o polinomio característico. En conclusión, los polos del sistema dependen sólo de la matriz A, mientras que los ceros¹⁵ [37] dependen de las matrices A, B, C y D.
Llegados a este punto cabría preguntarse por la utilidad de la expresión (2.57);  la respuesta es inmediata: permite obtener de forma directa la función de transferencia de un modelo de estado lineal de una entrada y una salida (SISO).

Comentario: Desde el punto de vista de los autores, si bien el concepto de la transformada de Laplace es de mucha utilidad en ingeniería de control (y en general en automática), y más aún el de función de transferencia que se deriva del primero, se ha preferido introducir los conceptos en el texto desde lo general a lo particular. Así, mientras el modelo de estado descrito por la expresión (2.8) es absolutamente genera (no lineal y MIMO); el modelo de estado que posibilita la aplicación de la expresión (2.57) es bastante más restrictivo (lineal y SISO).

Una vez sentadas las bases de los ámbitos de uso de las expresiones deducidas, se realizará un ejemplo de aplicación de la expresión (2.57).

Ejemplo 2.8. Función de transferencia de un modelo de estado. Sea el modelo de estado que se dedujo en el Ejemplo 2.1, el cual está dado por la ecuación (2.7). Por comodidad, se escribe de nuevo a continuación.

(2.59)

Para este caso se tiene pues que

(2.60)

Por consiguiente,

(2.61)

A partir de aquí, aplicando (2.57), se obtiene de forma inmediata la función de transferencia del modelo de estado:

(2.62)

Nótese que a este mismo resultado se podría haber llegado de forma directa, esto es, aplicando la transformada de Laplace y el concepto de función de transferencia sobre la ecuación diferencial (2.2) que caracteriza el comportamiento dinámico del sistema:

(2. 63)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior con  condiciones iniciales nulas:

(2.64)

 

2.4 Matriz de transición de estado y respuesta temporal

Desde el punto de vista del modelo de estado, una vez que se ha obtenido éste interesa conocer la información que proporciona, esto es, la posibilidad de analizar el comportamiento dinámico del sistema a lo largo del tiempo. Para ello se debe tener una expresión explícita de la solución o trayectoria del sistema en su espacio de estado, esto es, del vector de estado. Esta solución exige el cálculo de la ecuación de estado. Cuando ésta es no lineal, su solución puede ser muy compleja, de modo que la mayoría de las veces habrá que descartar la obtención de una expresión analítica, quedando pues la solución en el ámbito del análisis numérico realizado mediante computador. Sin embargo, cuando la ecuación de estado es lineal, bien porque el sistema lo es, o bien porque es el resultado de la linealización de un sistema no lineal, la ecuación de estado admite una solución analítica que es fácil de obtener y proporciona una información muy rica de la evolución temporal de las trayectorias (coordenadas del vector de estado) del sistema.
Sea pues la ecuación de estado en su forma lineal siguiente:

(2.65)

Aplicando la transformada de Laplace con la condición inicial  se tiene que

(2.66)

O también

(2.67)

Esto es,

(2.68)

Como se sabe,  por tanto,

(2.69)

Aplicando la transformada inversa de Laplace para obtener la solución temporal se tiene que

(2.70)

La matriz

(2.71)

se denomina matriz de transición de estado. Nótese en la ecuación (2.70) como la matriz de transición de estado representa el paso del sistema desde el estado inicial  al considerado  cuando la entrada es cero; esto es, describe la respuesta no forzada o natural del sistema.
Teniendo en cuenta la operación de convolución¹⁶ en el dominio de la transformada de Laplace:

(2.72)

Se tiene que la ecuación (2.70) puede ser escrita como

(2.73)

Donde  representa un adelanto en el tiempo de valor  de la función . La ecuación (2.73) es la solución de la ecuación diferencial de estado dada por (2.65). Evidentemente, si se conocen las condiciones iniciales , la entrada  y la matriz de transición , puede calcularse numéricamente la solución de la ecuación de estado o respuesta temporal del vector de estado. Cuando el sistema no está forzado  ésta es simplemente

(2.74)

Se puede comprobar fácilmente que la matriz de transición de estado  está dada por

(2.75)

Donde  se denomina matriz exponencial. En efecto, supóngase que la entrada del sistema modelado por (2.65) es nula, con lo cual

(2.76)

Entonces, la solución de esta ecuación diferencial es, según (2.74),

(2.77)

Sustituyendo esta expresión en (2.76) se tiene que
 

(2.78)

Nótese que al derivar (2.77), el paso de esta ecuación a la (2.78) es inmediato si  está dada por (2.75). Por tanto, la solución de la ecuación diferencial de estado puede ser escrita también como

(2.79)

Ejemplo 2.9. Respuesta temporal del sistema muelle – masa – amortiguador.  Considérese que los valores de m, k y β del sistema de la figura 2.1 son tales que su ecuación de estado (2.7) está dada por

(2.80)

Con objeto de evaluar la respuesta temporal del sistema se ha de calcular primero la matriz  la cual se obtiene de la forma

(2.81)

Por consiguiente,

(2.82)

Ahora, con objeto de obtener la descomposición en fracciones parciales se escribe

(2.83)

Operando como en el ejemplo 2.6 se tiene que

(2.84)

Aplicando ahora la transformada inversa de Laplace,

(2.85)

Una vez calculada la matriz de transición de estado, la respuesta temporal del sistema para diferentes condiciones iniciales y señales de entrada puede calcularse mediante la ecuación (2.73). Por ejemplo, cuando  se tiene que

(2.86)

El la figura 2.9 se muestra la evolución temporal del vector de estado para las condiciones iniciales dadas. Nótese que aunque la velocidad  empieza a decrecer enseguida, hasta que no se hace cero, la masa (ver Figura 2.1) no para de moverse hacia abajo, con lo cual  crece en este intervalo. En la Figura 2.10 se muestra la trayectoria del vector de estado en el espacio de estado del sistema (plano ). Esta representación se denomina retrato de fase. Nótese como el vector de estado, conforme el sistema va perdiendo la energía del estado inicial, tiende al punto (0,0) que es el punto de equilibrio o estado de mínima energía. El retrato de fase y el concepto de punto de equilibrio serán tratados en profundidad en el capítulo siguiente.

Figura 2.9. Respuesta temporal de las variables de estado para
Figura 2.10. Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado

Considérese ahora que el sistema está forzado, esto es, . Sea por ejemplo  la función escalón unitario, . En este caso, la ecuación (2.73) ha de ser usada en toda su extensión, utilizando el valor ya calculado de la matriz de transición .

(2.87)

Después de operar con las matrices, el sumando que contiene la integral queda como

\[\begin{array}{l} \int\limits_0^t {\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{e^{ - \left( {t - \tau } \right)}} - {e^{ - 2\left( {t - \tau } \right)}}}  \\    { - {e^{ - \left( {t - \tau } \right)}} + 2{e^{ - 2\left( {t - \tau } \right)}}}  \\ \end{array}} \right)} d\tau  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\int\limits_0^t {\left( {{e^{ - \left( {t - \tau } \right)}} - {e^{ - 2\left( {t - \tau } \right)}}} \right)} \,d\tau }  \\    {\int\limits_0^t {\left( { - {e^{ - \left( {t - \tau } \right)}} + 2{e^{ - 2\left( {t - \tau } \right)}}} \right)} \,d\tau }  \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{e^{ - t}}\int\limits_0^t {{e^\tau }d\tau  - {e^{ - 2\tau }}\int\limits_0^t {{e^{2\tau }}d\tau } } }  \\    { - {e^{ - t}}\int\limits_0^t {{e^\tau }d\tau  + 2{e^{ - 2t}}\int\limits_0^t {{e^{2\tau }}d\tau } } }  \\ \end{array}} \right) =  \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{e^{ - t}}\left[ {{e^\tau }} \right]_0^t - {\textstyle{1 \over 2}}{e^{ - 2\tau }}\left[ {{e^{2\tau }}} \right]_0^t}  \\    { - {e^{ - t}}\left[ {{e^\tau }} \right]_0^t + {\textstyle{2 \over 2}}{e^{ - 2\tau }}\left[ {{e^{2\tau }}} \right]_0^t}  \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    { - {e^{ - t}} + {\textstyle{1 \over 2}}{e^{ - 2t}} + {\textstyle{1 \over 2}}}  \\    {{e^{ - t}} - {e^{ - 2t}}}  \\ \end{array}} \right) \\ \end{array}\]

(2.88)

Figura 2.11. Respuesta temporal de las variables de estado para .

Con lo cual la ecuación (2.87) se escribirá de la forma

(2.89)

La expresión anterior es la solución completa al comportamiento dinámico del sistema cuando la entrada es una señal escalón unitario. Por tanto, para conocer el estado del sistema en un instante de tiempo t, sólo hay que sustituir en la ecuación el valor de ese tiempo junto a las condiciones iniciales. Así por ejemplo, si el estado inicial es cero, la respuesta del sistema (trayectoria del vector de estado) es

(2.90)

El la figura 2.11 se muestra la evolución temporal del vector de estado según la ecuación (2.90). A modo de conclusión, en este ejemplo se ha mostrado como mediante la ecuación general (2.73), que implica el cálculo previo de la matriz de transición de estado¹⁷ [38], se puede calcular la respuesta temporal completa de un sistema (respuesta natural o no forzada más respuesta forzada) y, por ende, conocer su estado en cualquier instante t. Aunque su aplicación se limita a los sistemas lineales, esta metodología constituye una herramienta poderosa y fácil de escribir en forma de algoritmo para ser ejecutada en un computador.

2.5 Sistemas en tiempo discreto

En los sistemas de control de hoy en día el controlador suele ser un computador (ver Figura 1.1), con lo cual sus datos de entrada (y también de salida) son palabras digitales codificadas en binario. El circuito electrónico que presenta al computador una cadena de ceros y unos correspondientes al valor analógico de entrada convertido a digital es el convertidor analógico/digital (A/D); sin embargo, previo a él hay un circuito, integrado o no en el mismo convertidor, que se denomina muestreador y retenedor (sample & hold en inglés, S&H). La función del S&H es doble: 1) obtener muestras de la señal analógica cada cierto tiempo, normalmente constante, denominado periodo de muestreo T,  y 2) mantener la señal muestreada constante el tiempo suficiente para que al convertidor A/D le dé tiempo a convertirla en una palabra digital.

Figura 2.12. Muestreador & retenedor.

En la Figura 2.12 se muestra un esquema sencillo, casi conceptual, de S&H. Cuando una señal de control activa el interruptor S (un transistor MOSFET por ejemplo)  el condensador C (un condensador de calidad para evitar fugas) se carga a la señal de entrada v_i a través de la pequeña resistencia de entrada de A₁ en configuración seguidor de tensión. Cuando la señal de control deja de estar activa, el interruptor se abre y la tensión almacenada en el condensador (señal muestreada)  permanece estática, ya que la elevada resistencia de entrada de A₂, también en configuración seguidor de tensión, evita su descarga.  La tensión en el condensador es la de salida de A₂, v₀, y alimenta al convertidor A/D que iría a continuación. La señal de control del S&H debe ir ligada a la actuación del convertidor, con objeto de asegurar que éste tenga el tiempo suficiente para efectuar la conversión antes de capturar una nueva muestra. Nótese que el S&H funciona como una memoria analógica. En muestreo está memorizando la señal de entrada, mientras que en retención la recuerda y la mantiene en el tiempo.

En la Figura 2.13 se muestra de forma esquemática el efecto del muestreo sobre una señal continua ¹⁸ [39]. A partir de ésta, el circuito muestreador va obteniendo muestras  cada incrementos de tiempo . El incremento de tiempo  entre cada muestra es el tiempo o periodo de muestreo T, que normalmente es constante, con lo cual los intervalos temporales pueden ser escritos como  donde k es un índice entero de valor

Figura 2.13. Muestreo de una señal.

El control por computador implica que las leyes de control se implementen mediante software¹⁹, con lo cual las acciones a realizar sobre un sistema bajo control se desarrollan en el computador mediante un algoritmo²⁰ [40], el cual trabaja en tiempo discreto. Esto implica que el trabajo con el computador involucra el manejo de señales cuyo valor es aproximado, ya que no se tienen completas. Sin embargo, esto no quiere decir que a efectos prácticos se obtengan menos prestaciones, ya que el error, la mayoría de las veces, se puede acotar, con lo cual bastará con utilizar un periodo de muestreo más pequeño para obtener mayor precisión²¹ [41].

2.6 Función de transferencia en tiempo discreto

El análisis de los sistemas lineales discretos se ve facilitado por el uso de una herramienta matemática denominada transformada , la cual se define a partir de una secuencia de números  del modo siguiente:

(2.121)

La transformada  definida por la ecuación anterior se denomina unilateral, ya que se considera que  sólo está definido para ; para el caso que esté definido desde , se sustituye el índice inferior de la sumatoria de (2.120) por este valor y la transformada  es denominada bilateral. La transformada  de aplicación a sistemas de tiempo discreto guarda una gran anlogía con la transformada de Laplace de aplicación a los sistemas de tiempo continuo. Así, para condiciones iniciales nulas,

(2.122)

Teniendo en cuenta esta correspondencia entre sistemas continuos y discretos, se pueden volver a plantear para éstos las mismas metodologías que se aplicaron a los sistemas en tiempo continuo. En concreto: 1) el concepto de función de transferencia discreta por analogía con la función de transferencia continua; 2) la solución de ecuaciones en diferencias por analogía con la solución de ecuaciones diferenciales, y 3)  la obtención de la función de transferencia discreta a partir del modelo de estado discreto sin más que cambiar s por z.
En virtud de lo anterior, la función de transferencia de un sistema lineal e invariante en tiempo discreto se define como la relación entre la transformada  de la variable de salida y la transformada  de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Así, dado el sistema de la Figura 2.15,  su función de transferencia será:

Figura 2.15.  Sistema de una entrada – una salida (SISO).

(2.123)

Aplicando la ecuación de definición de transformada  a las señales de interés, se obtiene la expresión en el dominio z de dichas señales. Así por ejemplo, para el caso de la señal escalón unitario ,, se tendrá que aplicando (2.120),

(2.124)

Utilizando la identidad

(2.125)

Se tiene para  que la ecuación (2.124) puede ser escrita como

(2.126)

Al igual que ocurría en el caso de la transformada de Laplace, existen tablas²⁵ [45] de pares de transformadas  que evitan el tedio de tener que aplicar cada vez la expresión (2.126).

Ejemplo 2.14. Función de transferencia de un sistema definido por una ecuación en diferencias. Sea el sistema definido por la ecuación en diferencias siguiente:

(2.127)

Del mismo modo que en el paso del tiempo continuo al dominio de la transformada de Laplace se aplicó la propiedad de diferenciación real (expresiones (2.40) a (2.41)),  ahora, para pasar del tiempo discreto al dominio de la transformada  se aplica la propiedad de traslación real en el tiempo:

y

(2.128)

Esto permite transformar la ecuación en diferencias (2.126) en la expresión

(2.129)

De aquí,

(2.130)

Ejemplo 2.15. Resolución de una ecuación en diferencias. Igual que la transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales, la transformada  lo es para resolver ecuaciones en diferencias lineales. Dada pues la ecuación en diferencias (2.130), se trata de obtener la solución  para las condiciones: ;  y .

(2.131)

La transformada  del primer miembro de la ecuación anterior se obtiene como en el ejemplo precedente. Respecto de la transformada  de la entrada, aplicando la definición de transformada , (2.120):

(2.132)

La transformada  de (2.130) puede ser ya escrita como

(2.133)

Un poco más adelante se verá por qué interesa despejar la variable a calcular dividida por z. Ahora, al igual que se procedía para la transformada de Laplace, se descompone la relación de polinomios en fracciones simples. Nótese que la raíz del denominador (polo) es de multiplicidad 3.

(2.134)

Para el cálculo de C se puede proceder como en el caso cuando no hay polos múltiples, esto es, multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por  se tiene que

(2.135)

A partir de aquí basta con sustituir el valor del polo para calcular C:

(2.136)

El resto de términos no pueden ser calculados de la misma forma. Una opción que dependiendo del caso puede ser algo tediosa, es sustituir el valor calculado de C en (2.134) e identificar los términos en las potencias de z:

(2.137)

Del término en  se deduce que A=1. Del término independiente, , se deduce que B=3 Al mismo resultado podríamos haber llegado de una forma más sistemática elimi-nando de forma sucesiva el índice de multiplicidad del polo, esto es, derivando cada vez respecto de z ambos miembros de (2.136):

(2.138)

Esto es,

(2.139)

Sustituyendo en la ecuación anterior el valor del polo z=1 se tiene de nuevo que B=3 Por último, derivando ahora (2.138) respecto de z se obtiene que A=1.
En definitiva, la expresión (2.133) puede ser escrita en forma de fracciones simples del modo siguiente:

(2.140)

A partir de aquí se escribe la expresión anterior en la forma como aparecen los términos en las tablas de transformadas, esto es, en potencias de z^-1,

(2.141)

Aplicando la transformada z inversa²⁶ [46], z^-1, a la ecuación anterior sabiendo que

(2.142)

Se obtiene la solución de (2.126):

(2.143)

Para los primeros 3 muestreos se tiene que

(2.144)

La ecuación en diferencias (2.126) podría haber sido resuelta también de forma iterativa como en el ejemplo 2.10, esto es:

(2.145)

Obtención de la función de transferencia a partir del modelo de estado

Vamos a ver a continuación como la forma de obtener la función de transferencia discreta de un sistema de una única entrada y una única salida (SISO), definido por su modelo discreto de estado, es análoga al caso continuo. Sea pues el modelo discreto de estado:

(2.146)

Aplicando la transformada z (2.121) a la ecuación de estado y a la ecuación de salida anteriores, se tiene que

(2.147)

Donde B es una matriz de orden nx1 debido a que el sistema tiene una única entrada u. Obsérvese que no se tienen en cuenta las condiciones iniciales, ya que lo que se busca es una función de transferencia. A partir de aquí, procediendo de forma análoga al caso continuo (ecuaciones (2.54) a (2.56)), se llega a la expresión que permite obtener de forma directa la función de transferencia de un modelo de estado discreto lineal de una entrada y una salida (SISO).

(2.148)

Donde

(2.149)

De nuevo, como en el caso continuo, queda claro que el polinomio denominador de la función de transferencia es . Esto es, los polos del sistema coinciden con los valores propios o autovalores de la matriz A_k. En conclusión, los polos del sistema dependen sólo de la matriz A_k, mientras que los ceros dependen de las matrices A_k, B_k, C_k y D_k.

2.7 Conclusiones y comentarios bibliográficos

2.8 Ejercicios

Notas al pie de pagina

3.1 Modelo de estado de un sistema general. Casos especiales

Si bien en el capítulo anterior nuestro estudio se ha centrado en los sistemas lineales, bien porque puedan ser considerados como tales o porque puedan ser linealizados en una zona concreta de funcionamiento,  el mundo que nos rodea es esencialmente no lineal. En consecuencia, se ha de tener siempre muy presente esta circunstancia, de modo que el deseo lógico de simplificar los problemas (hacerlos lineales) no lleve a cometer errores inasumibles.
En base a la visión adquirida en el capítulo anterior, en esta sección se va a generalizar el con-cepto de modelo de estado. Así, un sistema completamente general (se entiende que puede ser no lineal y variante con el tiempo) puede ser representado por un modelo de estado consistente en un número finito de ecuaciones diferenciales de primer orden:

(3.1)

Definiendo los vectores

(3.2)

La ecuación (3.1) puede ser escrita de la forma compacta

(3.3)

Del mismo modo, la ecuación de salida del sistema se escribirá como

(3.4)

Las ecuaciones (3.3) y (3.4) representan el modelo de estado en tiempo continuo de un sistema completamente general.
Si las ecuaciones de estado y salida anteriores son lineales en el estado x y en la entrada u, el modelo puede ser representado como

(3.5) (3.6)

Donde las dimensiones de los vectores y las matrices ya fueron definidas en el capítulo anterior. Si el sistema además de lineal es invariante (LTI), las matrices tienen sus elementos constantes, con lo cual el modelo se escribirá en la forma ya conocida siguiente:

(3.7) (3.8)

El modelo de estado general (3.3) – (3.4) se escribirá para tiempo discreto en la forma

(3.9) (3.10)

Del mismo modo que en el caso continuo, si las ecuaciones anteriores son lineales en el estado y en la entrada, el modelo puede ser representado como

(3.11)

Por último, para el caso LTI,

(3.12)

Casos especiales

Ecuación de estado no forzada. Se da cuando la entrada externa al sistema es idénticamente cero, en cuyo caso la ecuación de estado (3.3) se escribe como

(3.13)

Nótese que la ecuación no forzada (3.13) tendrá esa misma expresión tanto si  como si u(t) se obtiene a partir del vector de estado, ; ya que sustituyendo  en (3.3), éste se elimina y vuelve a quedar la ecuación no forzada (3.13).

Sistema autónomo. Se da cuando el argumento de la función dada en (3.13) no depende del tiempo, en cuyo caso la ecuación de estado del sistema se escribe en la forma siguiente:

(3.14)

Los sistemas autónomos son de importancia especial en automática y cumplen, entre otras propiedades, la de ser invariantes a cambios en el origen del tiempo. Esto quiere decir que si la variable t es cambiada por , la ecuación de estado permanece invariante.
Los casos especiales (3.13) y (3.14) siguen siendo igualmente válidos para tiempo discreto, sin más que cambiar t por k, FALTAAAAAAAAAA(${\bf{\dot x}}\left( t \right)$) por  y f por f_k.

Ejemplo 3.1. Sistema mecánico no lineal. En el ejemplo 2.1 se resolvió el sistema muelle – masa – resorte  para el caso en que todos sus elementos eran lineales.  Supóngase ahora que el com-portamiento del muelle no es lineal, de modo que la fuerza necesaria para estirarlo aumenta con el desplazamiento del modo siguiente:

(3.15)

Donde  es una constante. Ahora, la ecuación diferencial (2.2) se escribirá como

(3.16)

Designando las variables de estado como  y , se tiene en la ecuación anterior que

(3.17)

A partir de aquí la ecuación vectorial de estado se obtiene de forma inmediata:

(3.18)

Nótese que la ecuación anterior es de la forma , donde f es una función no lineal en el estado ; sin embargo, en este caso concreto, la ecuación de salida de este sistema, , es lineal.
En particular, si , la ecuación (3.18) se transforma en el sistema autónomo no lineal  siguiente:

(3.19)

Por supuesto, la no consideración¹ [52] del término no lineal  en (3.18) conduce al sistema lineal ya visto en (2.2):

(3.20)

La función de transferencia de este modelo de estado se obtuvo en el ejemplo (2.8).
Para tiempo discreto la ecuación (3.18) se escribe de la forma:

(3.21)

Esto es,

(3.22)

Nótese que el modelo anterior es de la forma , donde f_k es una función no lineal en el estado discreto ; sin embargo, la ecuación de salida  es lineal.
En particular, si , la ecuación (3.22) se transforma en el sistema autónomo discreto no lineal  siguiente:

(3.23)

Nótese que el paso de (3.19) a (3.23) no es inmediato Por último, desestimando el término no lineal  en (3.22), se llega al modelo de estado lineal

(3.24)

Que en forma matricial se escribirá como:

(3.25)

El modelo anterior es claramente de la forma (3.12), con .
La función de transferencia G(z) de este modelo de estado discreto se obtiene a partir de las expresiones (2.146) y (2.147) del modo siguiente:

(3.26)

Por consiguiente,

(3.27)

A partir de aquí, aplicando (2.146), se obtiene de forma inmediata la función de transferencia del modelo de estado discreto:

(3.28)

Nótese que a este mismo resultado se podría haber llegado de forma directa, esto es, aplicando la transformada  y el concepto de función de transferencia discreta sobre la ecuación en diferencias derivada de la ecuación diferencial (2.2), que caracteriza el comportamiento dinámico lineal del sistema:

(3.29)

Para convertir la ecuación anterior en una ecuación en diferencias hay que tener en cuenta la derivada segunda, la cual se discretiza de forma sencilla utilizando la aproximación de derivada en tiempo discreto dada por (2.92). Esto es,

(3.30)

Sustituyendo este valor en (3.29) se obtiene la ecuación en diferencias del sistema lineal:

(3.31)

Aplicando ahora a la ecuación anterior la transformada  con condiciones iniciales nulas,

(3.32)

Esto es,

(3.33)

Luego de nuevo, como en (3.27),

(3.34)

 

3.2 Estados de equilibrio

Dado el sistema autónomo , se dice que el punto  es un estado de equili-brio para dicho sistema,  si cualquier trayectoria del mismo que comience en x_e permanece en dicho punto por tiempo indefinido.
De acuerdo con la definición anterior y teniendo en cuenta que los estados de equilibrio x_e de un sistema pertenecen a su espacio de estado, esto es, han de ser puntos reales, el cálculo de los mismos se realiza hallando las raíces reales de la ecuación:

(3.35)

La ecuación (3.35) puede no tener solución, que ésta sea única, varias soluciones o un continuo infinito de ellas. Obviamente, para los estados de equilibrio x_e soluciones de (3.35) se cumple que

(3.36)

Del mismo modo, los estados de equilibrio x_e del sistema autónomo en tiempo discreto , serán aquellos que cumplan la condición

(3.37)

Ejemplo 3.2. Sistema con un único estado de equilibrio. Sea el sistema lineal muelle – masa – amortiguador del ejemplo 2.1. El estado de equilibrio en su espacio de estado se obtendrá mediante la ecuación

(3.38)

la cual se escribirá para este sistema como

(3.39)

La ecuación (3.38) tiene la solución única  si la matriz A es no singular² [53]. Si A es singular, entonces tiene un continuo de soluciones (un continuo de estados de equilibrio), el espacio nulo de A. En el caso que nos atañe, ecuación (3.39), se ve claramente que el sistema tiene una única solución y por tanto un único estado de equilibrio en .
Aunque este ejemplo pueda parecer trivial cabría preguntarse, ¿a partir de una condición inicial dada cualquiera, el sistema no forzado (sin entradas) va siempre al estado de equilibrio (0,0)? La pregunta se responde de forma inmediata si se conoce la evolución temporal del sistema a partir de la condición inicial, para lo cual bastaría con analizar la respuesta que ofrece la matriz de transición , ya que ésta representa el paso del sistema desde un estado inicial  a otro considerado  cuando la entrada es cero; esto es, caracteriza la respuesta no forzada o natural del sistema.
En el ejemplo 2.9 ya se trató este sistema en profundidad. Allí se vio cómo una matriz de transición con sus elementos formados por exponenciales negativas (2.85), origina una respuesta no forzada que lleva al sistema a su estado de equilibrio, en este caso situado en el (0,0), lo cual se comprueba gráficamente en las Figuras 2.9 y 2.10. ¿Qué provoca que las exponenciales sean negativas?, pues que el polinomio característico de la matriz de transición de un sistema continuo tenga sus raíces situadas en el eje real del semiplano izquierdo del plano complejo , esto es, que dichas raíces (polos del sistema) sean reales y negativas (para el caso de los sistemas discretos la respuesta no forzada lleva al sistema al estado de equilibrio si el polinomio característico tiene sus raíces dentro de un círculo con centro en el origen y radio unidad)³ [54].
El hecho de que la respuesta natural del sistema tienda a cero hace que el sistema sea estable, esto es una entrada acotada siempre produce una salida acotada, ya que el régimen transitorio desaparece con el tiempo y al final el sistema responde a la entrada de forma limitada. Véase en la ecuación (2.89) como la respuesta del sistema a una entrada es la suma de la respuesta natural que desaparece con el tiempo (por eso el sistema no forzado va a su estado de equilibrio) más la respuesta forzada, que es la que queda al final (cuando desaparece el transitorio de la respuesta natural) como respuesta estacionaria o de régimen permanente del sistema a la excitación de entrada.

Comentario: El lector no debe perder de vista que el análisis de estabilidad tan simple realizado en este ejemplo sólo es posible porque el sistema es lineal.

Figura 3.1. (a) Circuito con diodo túnel. (b) Característica tensión – corriente de un diodo túnel típico.

Ejemplo 3.3. Sistema con múltiples estados de equilibrio. Como ya se ha dicho, una característica que separa de forma notable los sistemas lineales de los no lineales son sus estados de equilibrio. Mientras que los primeros tienen sólo un estado de equilibrio o un continuo de ellos, los sistemas no lineales pueden tener múltiples estados de equilibrio, lo cual los dota de una riqueza dinámica extraordinaria. Para comenzar a ilustrar esto, que será ampliamente analizado a lo largo del capítulo, vamos a estudiar un circuito electrónico⁴ [55] (ver Figura 3.1 (a)) que permite explorar comportamientos dinámicos muy interesantes a pesar de ser sólo de segundo orden. La clave para ello está en uno de sus componentes, el diodo túnel o diodo Esaki⁵ [56] debido a su inventor. En la Figura 3.1 (b) se muestra una aproximación polinómica⁶ [57] de la curva característica vD - iD  de un diodo túnel tipo. Esta aproximación está dada por la expresión:

(3.40)

Nótese en la característica del diodo túnel la gran no linealidad en su resistencia interna (r_i), ya que si bien al principio la corriente crece con la tensión exhibiendo una pendiente (1/r_i) casi constante, enseguida se llega a otra zona donde ocurre justo lo contrario (zona denominada de resistencia negativa). A continuación, después de un valle, el dispositivo vuelve a comportarse de forma normal.
Con objeto de calcular los estados de equilibrio de este circuito vamos a deducir en primer lugar su modelo de estado. Para ello se operará como en el ejemplo 2.4, siendo en este caso la entrada  del sistema la fuente de tensión . Sean pues las variables de estado  y . Considerando que el condensador y la bobina son elementos ideales, sus ecuaciones de definición estarán dadas por  y , con lo cual el modelo de estado puede ser planteado del modo siguiente:

(3.41)

Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nudo superior de la Figura 3.1 (a) se tiene que

(3.42)

Esto es,

(3.43)

Donde se ha enfatizado el hecho que i_D es una función de v_D y, por tanto, de x₁. La expresión anterior permite completar la primera ecuación de estado. Respecto de la segunda, ésta se completa aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al lazo RLC. En él se cumple que
 

(3.44)

Esto es,

(3.45)

Sustituyendo (3.43) y (3.45)  en la ecuación de estado (3.41) se tiene el modelo siguiente:

(3.46)

Los estados de equilibrio se obtienen igualando a cero las dos ecuaciones anteriores, lo cual permite obtener la expresión:

(3.47)

Para una entrada constante   la expresión anterior puede ser escrita como

(3.48)

Figura 3.2. Estados de equilibrio del circuito con diodo túnel.

La cual, dibujada sobre la característica del diodo túnel, representa una recta  de pendiente  -1/R y puntos de corte con los ejes (V, V/R). Por tanto, dependiendo de los valores de V y R las soluciones del sistema de ecuaciones que proporciona los estados de equilibrio serán diferentes. Así, en la Figura 3.2 se muestran las distintas situaciones que pueden darse con 1 o 3 estados de equilibrio⁷. Nótese que manteniendo R constante (pendiente fija), la señal de control (la tensión u(t), V en la Figura 3.2) permite que el sistema tenga un único estado de equilibrio (Q’ o Q’’) o tres (Q₁, Q₂ y Q₃). Más adelante en el capítulo veremos que en realidad el sistema sólo tiene dos estados de equilibrio estables, Q₁ y Q₃, con lo cual la señal de control podrá hacer bascular el funcionamiento de uno a otro permitiendo que el circuito se comporte de forma biestable.
Vamos a concretar ahora el cálculo de los estados de equilibrio del circuito con diodo túnel asumiendo que sus parámetros son u(t) = 1 V, R = 1,25 KΩ, C = 4 pF, L = 10 μH. Para estos valores y, teniendo en cuenta que las corrientes se miden en mA y las tensiones en voltios, el tiempo (ver ecuación (3.46)) vendrá dado en nanosegundos. Insertando estos valores en la ecuación de estado del circuito (3.47) se tiene que

 

Notas al pie de pagina