A. Javier Barragán Piña

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Para hallar la función de transferencia pulso de este sistema tenemos que calcular

$\dfrac{Y(z)}{X(z)}$

Necesitamos conocer la salida en los instantes de muestreo por lo que colocaremos un muestreador imaginario ideal en la salida del sistema y supondremos que los periodos de muestreo de todos los muestreadores son el mismo.

De esta forma podemos calcular Y*(s) para a partir de ella calcular Y(z).

Ahora vamos a calcular Y*(s):

Tenemos que  $Y(s)=U*(s)H(s)$

Para obtener Y*(s) tenemos que muestrear Y(s), por lo tanto tenemos que:

$Y(s)=[U*(s)H(s)]*$

A su vez, U*(s) lo calculamos a partir de un muestreo sobre U(s), que lo calcularemos a partir de G(s) y X*(s)

$U*(s)=[U(s)]*=[X*(s)G(s)]*$

Como el muestreo de una señal muestreada con el mismo periodo nos da la misma señal, podemos sacarla del muestreo.

$U*(s)=X*(s)[G(s)]*$

Sustituyendo en Y*(s) tenemos:

$Y*(s)=X*(s)[G(s)]*[H(s)]*$

Haciendo el cambio z=e^{aT} tenemos

$Y(z)=X(z)Z\{G(s)\}Z\{H(s)\}$

Ahora calcularemos G(z) y H(z)

$G(z)=\mathbf{Z}\{G(s)\}=Z\lbrace\dfrac{1}{s+a}\rbrace=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$

$H(z)=\mathbf{Z}\{H(s)\}=Z\{\dfrac{1}{s+b}\}=\dfrac{z}{z-e^{-bT}}$

Ahora podemos calcular la función transferencia pulso.

$\dfrac{Y(z)}{X(z)}=G(z)H(z)$

$\dfrac{Y(z)}{X(z)}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\dfrac{z}{z-e^{-bT}}=\dfrac{z^2}{(z-e^{-aT})(z-e^{-bT})}$