A. Javier Barragán Piña

Versión para imprimir

Ecuaciones del sistema:

$1. $ $E^*(s)=R^*(s)-B^*(s)$

$2.$ $U^*(s)=E^*(s)C^*(s)$

$3.$ $M(s)=Gh0(s)U^*(s)$

$4.$ $Y(s)=M(s)G(s)$

$5.$ $B(s)=Y(s)H(s)$

Vamos a obtener $E^*(s)$:

$E^*(s)=R^*(s)-B^*(s)=R^*(s)-[Y(s)H(s)]^*=R^*(s)-[M(s)G(s)H(s)]^*=R^*(s)-[Gh0(s)U^*(s)G(s)H(s)]^*$

$E^*(s)=R*(s)-U^*(s)*[Gh0(s)G(s)H(s)]^*=R^*(s)-E^*(s)C^*(s)[Gh0(s)G(s)H(s)]^*$

$E^*(s)=\dfrac{R^*(s)}{1+C^*(s)*[Gh0(s)G(s)H(s)]^*}$

Desarrollamos $Y(s)$ hasta llegar a una expresión que contenga $E^*(s)$:

$Y(s)=M(s)G(s)=Gh0(s)U^*(s)G(s)=E^*(s)C^*(s)Gh0(s)G(s)$

$Y(s)=\dfrac{C^*(s)Gh0(s)G(s)R^*(s)}{1+C^*(s)*[Gh0(s)G(s)H(s)]^*}$

$Y^*(s)=\dfrac{C^*(s)R^*(s)*[Gh0(s)G(s)]^*}{1+C^*(s)*[Gh0(s)G(s)H(s)]^*}$

$\dfrac{Y^*(s)}{R^*(s)}=\dfrac{C^*(s)*[Gh0(s)G(s)]^*}{1+C^*(s)*[Gh0(s)G(s)H(s)]^*}$

Realizamos el cambio $Gh0(s)=\dfrac{1-e^{-Ts}}{s}$

$\dfrac{Y^*(s)}{R^*(s)}=\dfrac{C^*(s)*[\dfrac{1-e^{-Ts}}{s}G(s)]^*}{1+C^*(s)*[\dfrac{1-e^{-Ts}}{s}G(s)H(s)]^*}$

$1-e^{-Ts}$ está muestrado y se representa como $F^*(s)$

$\dfrac{Y^*(s)}{R^*(s)}=\dfrac{C^*(s)F^*(s)*[\dfrac{G(s)}{s}]^*}{1+C^*(s)F^*(s)*[\dfrac{G(s)H(s)}{s}]^*}$

Aplicamos transformada Z, teniendo en cuenta:

$F^*(s)=1-e^{-Ts}$ y $z=e^{Ts}$

$\dfrac{Y(z)}{R(z)}=\dfrac{C(z)F(z)*Z\lbrace\dfrac{G(s)}{s}\rbrace}{1+C(z)F(z)*Z\lbrace\dfrac{G(s)H(s)}{s}\rbrace}=\dfrac{C(z)(1-z^{-1})*G_1(z)}{1+C(z)(1-z^{-1})*G_1H(z)}$, siendo $G_1(s) = \dfrac{G(s)}{s}$.