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Para hallar la función de transferencia pulso de este sistema tenemos que calcular
$\frac{Y(z)}{X(z)}$
Necesitamos conocer la salida en los instantes de muestreo por lo que colocaremos un muestreador imaginario ideal en la salida del sistema y supondremos que los periodos de muestreo de todos los muestreadores son el mismo.
De esta forma podemos calcular Y*(s) para a partir de ella calcular Y(z).
Ahora vamos a calcular Y*(s):
Tenemos que $Y(s)=U*(s)H(s)$
Para obtener Y*(s) tenemos que muestrear Y(s), por lo tanto tenemos que:
$Y(s)=[U*(s)H(s)]*$
A su vez, U*(s) lo calculamos a partir de un muestreo sobre U(s), que lo calcularemos a partir de G(s) y X*(s)
$U*(s)=[U(s)]*=[X*(s)G(s)]*$
Como el muestreo de una señal muestreada con el mismo periodo nos da la misma señal, podemos sacarla del muestreo.
$U*(s)=X*(s)[G(s)]*$
Sustituyendo en Y*(s) tenemos:
$Y*(s)=X*(s)[G(s)]*[H(s)]*$
Haciendo el cambio Z=e^{aT} tenemos
$Y(z)=X(z)Z{G(s)}Z{H(s)}$
Ahora calcularemos G(z) y H(z)
$G(z)=\mathbf{Z}{G(s)}=Z\frac{1}{s+a}=\frac{z}{z-e^{-aT}}$
$H(z)=\mathbf{Z}{H(s)}=Z\frac{1}{s+b}=\frac{z}{z-e^{-bT}}$
Ahora podemos calcular la función transferencia pulso.
$\frac{Y(z)}{X(z)}=G(z)H(z)$
$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{z}{z-e^{-aT}}.\frac{z}{z-e^{-bT}}=\frac{z^2}{(z-e^{-aT})(z-e^{-bT})}$