A. Javier Barragán Piña

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Vamos a estudiar la estabilidad del siguiente sistema teniendo en cuenta que la función de transferencia de G(z) es

$G(z)=\frac{0.3679Z+0.2642}{(Z-0.3679) (Z-1)}$

Vamos a obtener la función de transferencia del sistema en lazo cerrado.

$\frac{Y(z)}{R(z)}$

$E(s)=R(s)-Y(s)$  que de forma discreta es $E(z)=R(z)-Y(z)$ 

$U(z)=k E(z)$ 

$Y(z)=U(z)G(z)$ 

De las dos primeras ecuaciones obtenemos
$U(z)=k(R(z)-Y(z))=kR(z)-kY(z)$ 

Utilizando U(z) en la ecuación de Y(z) obtenemos

$Y(z)=U(z)G(z)=kR(z)G(z)-kY(z)G(z)$

$Y(z)(1+kG(z))=kR(z)G(z)$   

Teniendo finalmente la ecuación del sistema

$\frac{Y(z)}{R(z)}=\frac{kG(z)}{1+kG(z)}=$

La ecuación característica de un sistema es el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado. Por lo tanto en nuestro ejemplo la ecuación característica es:

$E.C. =1+kG(z)=0$

Sustituyendo G(z) por el valor que nos indica el problema tenemos que:

$E.C.=(1+k)\frac{0.3679Z+0.2642}{(Z-0.3679) (Z-1)}=0$

Para aplicar el test de Jury tenemos que tener la ecuación característica en forma de polinomio, por lo que vamos a quitar el denominador de la fracción.

$(Z-0.3679) (Z-1)+k(0.3679Z+0.2642)=0$

$Z^2-1.3679Z+0.3679+0.3679kZ+0.2642k=0$

$Z^2+Z(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679=0$

Una vez colocada en forma de polinomio vamos a aplicar el test de Jury. La matriz del test tendrá un número de filas 2n-3, siendo n el grado de la ecuación característica. En este caso 2n-3=2*2-3=1.

Condiciones del test de Jury

Ahora vamos a comprobar las condiciones del test para comprobar la estabilidad según los valores de k y de la E.C.

1) D(1)>0  Tenemos que comprobar que el valor de la E.C. evaluado en z=1 es mayor que 0.

$1+1(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679>0$

$(0.3679+0.2642)k>0$

Para que se cumpla esta inecuación, forzosamente k tiene que ser mayor que 0

2) $(-1)^n D(-1) >0$  Tenemos que comprobar que -1 elevado al grado de la ecuación multiplicado por la ecuación evaluada en z=-1 es mayor que 0. Como n=2, -1 elevado a 2 es 1, por lo que solo vamos a evaluar E.C. en z=-1.

$-1+(-1)(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679>0$

$1-0.3679k+1.3679+0.2642k+0.3679>0$

$2.7358-0.1037k>0$

$-k>\frac{-2.7358}{0.1037};  k<26.382$

3) | a0 | < an  Esta condición la comprobamos utilizando la tabla del test de Jury. Como solo esta formada por una fila, tenemos que evaluar  únicamente una condición.

$0.2642k+0.3679<1$

$k<\frac{1-0.2642}{0.3679};  k<2.3925$

Finalmente acotamos el valor de k para que cumpla las 3 inecuaciones obtenidas. 

$1) k>0$

$2) k<26.382$

$3) k<2.3925$

Las que nos van a condicionar el valor de k son las inecuaciones 1 y 3, que nos van a limitar el valor de k para que sea estable