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Vamos a estudiar la estabilidad del siguiente sistema teniendo en cuenta que la función de transferencia de G(z) es
$G(z)=\frac{0.3679Z+0.2642}{(Z-0.3679) (Z-1)}$
Vamos a obtener la función de transferencia del sistema en lazo cerrado.
$\frac{Y(z)}{R(z)}$
$E(s)=R(s)-Y(s)$ que de forma discreta es $E(z)=R(z)-Y(z)$
$U(z)=k E(z)$
$Y(z)=U(z)G(z)$
De las dos primeras ecuaciones obtenemos
$U(z)=k(R(z)-Y(z))=kR(z)-kY(z)$
Utilizando U(z) en la ecuación de Y(z) obtenemos
$Y(z)=U(z)G(z)=kR(z)G(z)-kY(z)G(z)$
$Y(z)(1+kG(z))=kR(z)G(z)$
Teniendo finalmente la ecuación del sistema
$\frac{Y(z)}{R(z)}=\frac{kG(z)}{1+kG(z)}=$
La ecuación característica de un sistema es el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado. Por lo tanto en nuestro ejemplo la ecuación característica es:
$E.C. =1+kG(z)=0$
Sustituyendo G(z) por el valor que nos indica el problema tenemos que:
$E.C.=(1+k)\frac{0.3679Z+0.2642}{(Z-0.3679) (Z-1)}=0$
Para aplicar el test de Jury tenemos que tener la ecuación característica en forma de polinomio, por lo que vamos a quitar el denominador de la fracción.
$(Z-0.3679) (Z-1)+k(0.3679Z+0.2642)=0$
$Z^2-1.3679Z+0.3679+0.3679kZ+0.2642k=0$
$Z^2+Z(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679=0$
Una vez colocada en forma de polinomio vamos a aplicar el test de Jury. La matriz del test tendrá un número de filas 2n-3, siendo n el grado de la ecuación característica. En este caso 2n-3=2*2-3=1.
Condiciones del test de Jury
Ahora vamos a comprobar las condiciones del test para comprobar la estabilidad según los valores de k y de la E.C.
1) D(1)>0 Tenemos que comprobar que el valor de la E.C. evaluado en z=1 es mayor que 0.
$1+1(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679>0$
$(0.3679+0.2642)k>0$
Para que se cumpla esta inecuación, forzosamente k tiene que ser mayor que 0
2) $(-1)^n D(-1) >0$ Tenemos que comprobar que -1 elevado al grado de la ecuación multiplicado por la ecuación evaluada en z=-1 es mayor que 0. Como n=2, -1 elevado a 2 es 1, por lo que solo vamos a evaluar E.C. en z=-1.
$-1+(-1)(0.3679k-1.3679)+0.2642k+0.3679>0$
$1-0.3679k+1.3679+0.2642k+0.3679>0$
$2.7358-0.1037k>0$
$-k>\frac{-2.7358}{0.1037};k<26.382$
3) | a0 | < an Esta condición la comprobamos utilizando la tabla del test de Jury. Como solo esta formada por una fila, tenemos que evaluar únicamente una condición.
$0.2642k+0.3679<1$
$k<\frac{1-0.2642}{0.3679};k<2.3925$
Finalmente acotamos el valor de k para que cumpla las 3 inecuaciones obtenidas.
$1) k>0$
$2) k<26.382$
$3) k<2.3925$
Las que nos van a condicionar el valor de k son las inecuaciones 1 y 3, que nos van a limitar el valor de k para que sea estable. Por lo tanto k queda acotada de la siguiente forma:
$0< k<2.39$
nota: redondeamos en este caso a la baja para asegurarnos un margen a la hora de asignar un valor concreto a k.
De esta forma el sistema obtenido será estable.