A. Javier Barragán Piña

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Ejercicio error real

Se desea diseñar el sistema de control de la figura, para que cumpla las siguientes especificaciones:

a) Error de estado estacionario menor del 10%, para una entrada rampa y 0 para una entrada escalón.

b) Sobre impulso máximo, menor del 5%.

c) Tiempo de asentamiento (2%), menor de 3 seg.

d) Dibujar sobre el plano “S” la región donde puedan estar ubicados los polos del sistema, para que se cumplan las especificaciones.

Para calcular el error real ($E_{\left(S\right)}=R_{(S)}-Y_{(S)}$):

e_ss(/)≤10%

Mp≤5%

ts(2%)≤3seg

Si tiene sobre impulso, es porque es un sistema subamortiguado. Por lo tanto:

\[G_{(S)}=\frac{K_o·{\omega n}^2}{S^2+2\delta \omega nS+{\omega n}^2}\]

Hallamos su función de transferencia:

\[G_{\left(S\right)}=\frac{Y(s)}{R(s)}=\]

\[\frac{K_1·\frac{1}{S\left(S+2\right)}}{1+K_1·\frac{1}{s\left(s+2\right)}·\left(1+K_2S\right)}=\]

\[\frac{\frac{K_1}{S\left(S+2\right)}}{\frac{S\left(S+2\right)+K_1\left(1+K_2S\right)}{S\left(S+2\right)}}=\]

\[\frac{K_1}{S\left(S+2\right)+K_1\left(1+K_2S\right)}=\]

\[=\frac{K_1}{S^2+2S+K_1+K_1K_2S}=\]

\[\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

\[Y_{(S)}=R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

Comparando la primera ecuación y la última podemos obtener:

NOTA: Sólo en casos muy concretos será posible comparar la función de transferencia del sistema con la de un sistema de 2º orden. En los casos donde la comparación no sea posible, será necesario realizar el Lugar Geométrico de las Raíces y escoger unos polos de lazo cerrado que permitan el cumplimiento de las especificaciones.

\[K_1={\omega n}^2·Ko\]

\[2+K_1K_2=2\delta \omega n\]

\[{\omega n}^2=K_1\]

Por lo tanto:

\[\omega n=\sqrt{K_1}\]

\[Ko=1\]

\[2\delta \omega n=2+K_1K_2\ \to \ \]

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\omega n}\ \to \]

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\]

A continuación despejamos la señal de error:

Realizamos, ($E_{\left(S\right)}=R_{(S)}-Y_{(S)}$):

\[Y_{(S)}=R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

\[E_{(S)}=R_{(S)}-Y_{(S)}\ \ \ \to \ \ \ \]

\[E_{(S)}=R_{(S)}-\left(R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\]

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(1-\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\ \ \ \to \ \ \ \]

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S+K_1-K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\ \to\ \]

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\]

Aplicamos El teorema del valor final: (para la señal de error $E_{\left(S\right)}$)

\[R_{(S)}=\frac{1}{S^2}\]

\[e_{SS}={\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }E_{(S)}={\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)=\]

\[{\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }\frac{1}{S^2}·\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}=\]

\[{\mathop{\lim }_{S\to 0}\ \frac{S+\left(2+K_1K_2\right)}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}=\ }\]

\[\frac{0+\left(2+K_1K_2\right)}{0+(2+K_1K_2)0+K_1}=\]

\[\frac{0+\left(2+K_1K_2\right)}{0+0+K_1}=\]

\[\frac{2+K_1K_2}{K_1}=\]

\[\frac{2}{K_1}+K_2\]

Igualamos con el error:

\[e_{SS}\le 10\%=0.1\]

\[e_{SS}=\frac{2}{K_1}+K_2\]

\[\frac{2}{K_1}+K_2<0.1\]

\[\frac{2}{K_1}<0.1-K_2\ \ \ \to \ \ \ K_1>\frac{2}{0.1-K_2}\]

\[0.1-\frac{2}{K_1}>K_2\ \ \ \to \ \ \ K_2<0.1-\frac{2}{K_1}\]

Calculamos el delta:

\[Mp=e^{\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}\]

\[Mp\le 5\%=0.05\]

\[0.05=e^{\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}\ \ \ \to \ \ \ \]

\[{(ln\ 0.05)}^2={\left(\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}\right)}^2\ \ \to \]

\[8.97=\frac{-\delta ·\pi }{1-{\delta }^2}\ \ \ \to \]

\[8.97-8.97·{\delta }^2={\delta }^2{\pi }^2\ \ \ \to \ \ \ \ \ \ \]

\[8.97={\delta }^2·{\pi }^2+8.97{\delta }^2\ \ \ \to \]

\[\frac{8.97}{{\pi }^2+8.97}={\delta }^2\]

\[\delta =\sqrt{\frac{8.97}{{\pi }^2+8.97}}\ \ \ \to \ \ \ \delta \ge 0.69\]

Igualamos las ecuaciones del tiempo de asentamiento:

\[{ts}_{\left(2\%\right)}\le 3seg.\]

\[{ts}_{\left(2\%\right)}=\frac{4}{\delta \omega n}\]

\[\frac{4}{\delta \omega n}\le 3\ \ \ \to \ \ \ 4\le 3\delta \omega n\ \ \ \to \ \ \ \frac{4}{3}\le \delta \omega n\]

Igualamos las ecuaciones del delta:

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\ \ \ \to \ \]

\[\delta =0.69\]

\[\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}>0.69\ \ \ \to \]

\[K_2>\frac{2·\sqrt{K_1}·0.69-2}{K_1}\]

Igualamos las ecuaciones para despejar K2:

\[\frac{4}{3}\le \delta \omega n\]

\[\omega n=\sqrt{K_1}\]

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\]

\[\frac{4}{3}\le \frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}·\sqrt{K_1}\ \ \ \ \to \]

\[\frac{\frac{4}{3}·2-2}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

\[\frac{\frac{8}{3}-2}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

\[\frac{\frac{8-6}{3}}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

\[\frac{\frac{2}{3}}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \ \ \ K_2\ge \frac{2}{3·K_1}\]

Para un valor de $K_1$ los límites de $K_2$ serían:

Límite inferior: Sobreimpulso

\[K_2>\frac{2·\sqrt{K_1}·0.69-2}{K_1}\]

Tiempo de asentamiento

\[K_2>\frac{2}{3·K_1}\]

Límite superior:

Error

\[K_2<0.1-\frac{2}{K_1}\]

A continuación, se pone el código de programación en matlab, en el cual se representan los límites de para un rango de valores de . Dado un valor de , se calcula como el valor intermedio a los límites. Si no se cumplen los requisitos se vuelve a pedir un valor de .

Clc, clear all, close all

%Representar límites de K2 en función de K1

K1=100:0.1:300;

K2min1=(2*0.69*sqrt(K1)-2)./K1;

K2min2=2./(3*K1);

K2min=max(K2min1,K2min2);

K2max=0.1-2./K1;

Plot(K1,K2min1,ylabel(‘K2’),grid on

%Escoger un valor de K2

K2min=inf;K2max=0;K2=0;

While (K2<K2min || K2>K2max)

K1=input(‘Escoge un valor correcto para K1:’);

%Uno cercano al límite para cumplir las especificaciones es K1=195

%También se puede hacer con ‘ginput’ gráficamente

%K1=ginput(1);K1=K1(1);

K2min1=(2*0.69*sqrt(K1)-2)./K1;

K2min2=2/(3*K1);

K2min=max(K2min1,K2min2);

K2max=0.1-2./K1;

K2=K2min+(K2max-K2min)/2;

End

%Representa el punto escogido en la gráfica

Hold on,plot(K1,K2,’r+’)

%Mostrar los valores escogidos

K1,K2

%Obtener el sistema realimentado ya diseñado

G=K1*tf(1,[1,2,0]);

H=tf([K2,1],1);

S=feedback(G,H);

%Simular frente a una entrada escalón

Figure,step(S)

Title(‘entrada escalon’)

Xlabel(‘tiempo (S)’), ylabel(‘y(t)’)

&Simular frente a una entrada rampa

T=0:0.1:1;

R=t;

Figure, [y,t]=lsim(S,r,t);

Plot(t,t, ‘r - -’,t,y)

Title(‘entrada rampa’)

Xlabel(‘tiempo (S)’),ylabel(‘y(t)’)

%Calcular el error con matlab

Error_teorico=K2+2/K1

Error_real=t(end)-y(end)