A. Javier Barragán Piña

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PROBLEMA PROPUESTO: 

Sacar la función de transferencia y estudiar los distintos sistemas de segundo orden en función del factor de amortiguamiento del siguiente circuito:

                                 Ht(s)  =  H1 (s) * H2(s)

Etapa  (I) Amplificador no inversor, esta etapa es la encargada de introducir ganancia en el circuito.

 $H1(t) = \frac{{V1(t)}}{{Vi(t)}} = 1 + \frac{{Rb}}{{Ra}}$        --->   ${\rm{VR(t) = }}\frac{{{\rm{Ra}}}}{{{\rm{Ra + Rb}}}}V1(t)$                                                                                       

Etapa (II),circuito RLC:

       ------->                                                             

${\rm{H2(s) = }}\frac{{Vo(s)}}{{V1(s)}}$                      ---->      $Vo(s) = \frac{{\frac{1}{{Cs}}}}{{R + Ls + \frac{1}{{Cs}}}}V1(s)$

$Vo(s) = \frac{{\frac{1}{{Cs}}}}{{\frac{{CRs+CLs^2+1}}{{Cs}}}}V1(s)$       ---->     $Vo(s) = \frac{1}{{CRs+CLs^2+1}}V1(s)$

$Vo(s) = \frac{{\frac{1}{{LC}}}}{{\frac{{Rs}}{L}+s^2+\frac{1}{{LC}}}}V1(s) $         ----->     $Vo(s) = \frac{{\frac{1}{{LC}}}}{{s^2+\frac{{Rs}}{L}+\frac{1}{{LC}}}}V1(s)$

Etapa (I) y  etapa (II):   H t(s) = H1(s) * H2(s)

   ${Ht(s) = }}\frac{{V1(s)}}{{V1(s)}}\frac{{{\rm{Vo(s)}}}}{{{\rm{V1(s)}}}} = (\frac{{Ra}}{{Ra+Rb}})\frac{{\frac{1}{{Ls}}}}{{\frac{{Rs}}{L}+s^2+\frac{{1}}{{LC}}}}$ 

 Función transferencia de 2º orden :

$Ht(s) = \frac{{\frac{1}{{Ls}}(1+\frac{{Rb}}{{Ra}})}}{{\frac{{Rs}}{L}+s^2+\frac{1}{{LC}}}}$       ------>           $\approx Ht(s) =\frac{{Ko \cdot Wn^2}}{{s^2+2\cdot\delta\cdot Wn \cdot s+Wn^2 }}$   

   $Wn = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}$              $ 2 \cdot \delta \cdot Wn = \frac{R}{L}$          $\delta= \frac{{\frac{R}{L}}}{{\frac{2}{{\sqrt {LC} }}}}$ 

 Coeficiente de amortiguamiento:                                        $\delta= \sqrt {\frac{{R^2 C}}{{4L}}} $ 

· Sistema Sobreamortiguado:                 $\delta > 1$         ---->       $\delta= \sqrt {\frac{{R^2 C}}{{4L}}} > 1$ 

· Sistema Críticamente amortiguado:       $\delta = 1$        ---->       $\delta= \sqrt {\frac{{R^2 C}}{{4L}}} = 1$ 

· Sistema Subamortiguado:                     $ 0 < \delta < 1$         ---->        $ 0 < \delta = \sqrt {\frac{{R^2 C}}{{4L}}} < 1$