A. Javier Barragán Piña

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Ejercicio error real

Se desea diseñar el sistema de control de la figura, para que cumpla las siguientes especificaciones:

a) Error de estado estacionario menor del 10%, para una entrada rampa y 0 para una entrada escalón.

b) Sobre impulso máximo, menor del 5%.

c) Tiempo de asentamiento (2%), menor de 3 seg.

d) Dibujar sobre el plano “S” la región donde puedan estar ubicados los polos del sistema, para que se cumplan las especificaciones.

 

 

 

Para calcular el error real ($E_{\left(S\right)}=R_{(S)}-Y_{(S)}$):

 

 

 

e_ss(/)≤10%

Mp≤5%

ts(2%)≤3seg

 

Si tiene sobre impulso, es porque es un sistema subamortiguado. Por lo tanto:

\[G_{(S)}=\frac{K_o·{\omega n}^2}{S^2+2\delta \omega nS+{\omega n}^2}\]

Hallamos su función de transferencia:

\[G_{\left(S\right)}=\frac{Y(s)}{R(s)}=\]

 

\[\frac{K_1·\frac{1}{S\left(S+2\right)}}{1+K_1·\frac{1}{s\left(s+2\right)}·\left(1+K_2S\right)}=\]

 

 

\[\frac{\frac{K_1}{S\left(S+2\right)}}{\frac{S\left(S+2\right)+K_1\left(1+K_2S\right)}{S\left(S+2\right)}}=\]

 

 

\[\frac{K_1}{S\left(S+2\right)+K_1\left(1+K_2S\right)}=\]

 

\[=\frac{K_1}{S^2+2S+K_1+K_1K_2S}=\]

 

 

\[\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

 

 

\[Y_{(S)}=R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

 

Comparando la primera ecuación y la última podemos obtener:

\[K_1={\omega n}^2·Ko\]

 

\[2+K_1K_2=2\delta \omega n\]

 

\[{\omega n}^2=K_1\]

Por lo tanto:

\[\omega n=\sqrt{K_1}\]

 

\[Ko=1\]

 

\[2\delta \omega n=2+K_1K_2\ \to \ \]

 

 

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\omega n}\ \to \]

 

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\]

A continuación despejamos la señal de error:

Realizamos, ($E_{\left(S\right)}=R_{(S)}-Y_{(S)}$):

\[Y_{(S)}=R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\]

 

\[E_{(S)}=R_{(S)}-Y_{(S)}\ \ \ \to \ \ \ \]

 

 

\[E_{(S)}=R_{(S)}-\left(R_{(S)}·\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\]

 

 

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(1-\frac{K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\ \ \ \to \ \ \ \]

 

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S+K_1-K_1}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\ \to\ \]

 

\[E_{(S)}=R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)\]

 

Aplicamos El teorema del valor final:  (para la señal de error $E_{\left(S\right)}$)

 

\[R_{(S)}=\frac{1}{S^2}\]

 

\[e_{SS}={\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }E_{(S)}={\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }R_{(S)}\left(\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}\right)=\]

 

\[{\mathop{\lim }_{S\to 0} S·\ }\frac{1}{S^2}·\frac{S^2+\left(2+K_1K_2\right)S}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}=\]

 

 

\[{\mathop{\lim }_{S\to 0}\ \frac{S+\left(2+K_1K_2\right)}{S^2+(2+K_1K_2)S+K_1}=\ }\]

 

\[\frac{0+\left(2+K_1K_2\right)}{0+(2+K_1K_2)0+K_1}=\]

 

 

\[\frac{0+\left(2+K_1K_2\right)}{0+0+K_1}=\]

 

 

\[\frac{2+K_1K_2}{K_1}=\]

 

\[\frac{2}{K_1}+K_2\]

 

Igualamos con el error:

 

\[e_{SS}\le 10\%=0.1\]

 

\[e_{SS}=\frac{2}{K_1}+K_2\]

 

 

\[\frac{2}{K_1}+K_2<0.1\]

 

\[\frac{2}{K_1}<0.1-K_2\ \ \ \to \ \ \ K_1>\frac{2}{0.1-K_2}\]

 

\[0.1-\frac{2}{K_1}>K_2\ \ \ \to \ \ \ K_2<0.1-\frac{2}{K_1}\]

 

Calculamos el delta:

 

\[Mp=e^{\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}\]

 

\[Mp\le 5\%=0.05\]

 

\[0.05=e^{\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}\ \ \ \to \ \ \ \]

 

\[{(ln\ 0.05)}^2={\left(\frac{-\delta ·\pi }{\sqrt{1-{\delta }^2}}\right)}^2\ \ \to \]

 

\[8.97=\frac{-\delta ·\pi }{1-{\delta }^2}\ \ \ \to \]

 

\[8.97-8.97·{\delta }^2={\delta }^2{\pi }^2\ \ \ \to \ \ \ \ \ \ \]

 

 

\[8.97={\delta }^2·{\pi }^2+8.97{\delta }^2\ \ \ \to \]

 

\[\frac{8.97}{{\pi }^2+8.97}={\delta }^2\]

 

\[\delta =\sqrt{\frac{8.97}{{\pi }^2+8.97}}\ \ \ \to \ \ \ \delta \ge 0.69\]

 

Igualamos las ecuaciones del tiempo de asentamiento:

 

\[{ts}_{\left(2\%\right)}\le 3seg.\]

 

\[{ts}_{\left(2\%\right)}=\frac{4}{\delta \omega n}\]

 

\[\frac{4}{\delta \omega n}\le 3\ \ \ \to \ \ \ 4\le 3\delta \omega n\ \ \ \to \ \ \ \frac{4}{3}\le \delta \omega n\]

 

 

Igualamos las ecuaciones del delta:

 

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\ \ \ \to \ \]

 

\[\delta =0.69\]

 

 

\[\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}>0.69\ \ \ \to \]

 

\[K_2>\frac{2·\sqrt{K_1}·0.69-2}{K_1}\]

 

 

Igualamos las ecuaciones para despejar K2:

 

 

\[\frac{4}{3}\le \delta \omega n\]

 

\[\omega n=\sqrt{K_1}\]

 

\[\delta =\frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}\]

 

 

 

\[\frac{4}{3}\le \frac{2+K_1K_2}{2\sqrt{K_1}}·\sqrt{K_1}\ \ \ \ \to \]

 

 

\[\frac{\frac{4}{3}·2-2}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

 

\[\frac{\frac{8}{3}-2}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

 

\[\frac{\frac{8-6}{3}}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \]

 

\[\frac{\frac{2}{3}}{K_1}\le K_2\ \ \ \to \ \ \ K_2\ge \frac{2}{3·K_1}\]

 

Para un valor de $K_1$ los límites de $K_2$ serían:

Límite inferior:                               Sobreimpulso

\[K_2>\frac{2·\sqrt{K_1}·0.69-2}{K_1}\]

 

Tiempo de asentamiento

 

\[K_2>\frac{2}{3·K_1}\]

 

Límite superior:

                        Error

\[K_2<0.1-\frac{2}{K_1}\]

 

A continuación, se pone el código de programación en matlab, en el cual se representan los límites de  para un rango de valores de . Dado un valor de , se calcula  como el valor intermedio a los límites. Si no se cumplen los requisitos se vuelve a pedir un valor de .

 

Clc, clear all, close all

 

%Representar límites de K2 en función de K1

K1=100:0.1:300;

K2min1=(2*0.69*sqrt(K1)-2)./K1;

K2min2=2./(3*K1);

K2min=max(K2min1,K2min2);

K2max=0.1-2./K1;

Plot(K1,K2min1,ylabel(‘K2’),grid on

 

%Escoger un valor de K2

K2min=inf;K2max=0;K2=0;

While (K2<K2min || K2>K2max)

K1=input(‘Escoge un valor correcto para K1:’);

%Uno cercano al límite para cumplir las especificaciones es K1=195

 

%También se puede hacer con ‘ginput’ gráficamente

%K1=ginput(1);K1=K1(1);

 

K2min1=(2*0.69*sqrt(K1)-2)./K1;

K2min2=2/(3*K1);

K2min=max(K2min1,K2min2);

K2max=0.1-2./K1;

K2=K2min+(K2max-K2min)/2;

End

%Representa el punto escogido en la gráfica

Hold on,plot(K1,K2,’r+’)

%Mostrar los valores escogidos

K1,K2

%Obtener el sistema realimentado ya diseñado

G=K1*tf(1,[1,2,0]);

H=tf([K2,1],1);

S=feedback(G,H);

%Simular frente a una entrada escalón

Figure,step(S)

Title(‘entrada escalon’)

Xlabel(‘tiempo (S)’), ylabel(‘y(t)’)

&Simular frente a una entrada rampa

T=0:0.1:1;

R=t;

Figure, [y,t]=lsim(S,r,t);

Plot(t,t, ‘r - -’,t,y)

Title(‘entrada rampa’)

Xlabel(‘tiempo (S)’),ylabel(‘y(t)’)

 

%Calcular el error con matlab

Error_teorico=K2+2/K1

Error_real=t(end)-y(end)