Revisión de 2.3 Función de transferencia de la ecuación de estado de 31 May, 2011 - 00:57

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Figura 2.5.  Sistema de una entrada – una salida (SISO).

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define como la relación entre la transformada de Laplace9 de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida. Así, dado el sistema de la Figura 2.5,  su función de transferencia será:

$G\left( s \right) = {\left. {\frac{{L\left[ {y\left( t \right)} \right]}}{{L\left[ {u\left( t \right)} \right]}}} \right|_{\scriptstyle {\rm{Cond}}{\rm{.}}\,{\rm{iniciales}} \hfill \atop    \scriptstyle {\rm{nulas}} \hfill}} = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}}$ (2.38)
Figura 2.6. Esquema conceptual del proceso de resolución de una ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace.

Tradicionalmente la transformada de Laplace ha sido muy usada en sistemas de control y aún hoy día todavía lo es, sin embargo, restringe mucho el campo de aplicación, ya que sólo es apropiada para estudiar sistemas lineales y, dentro de éstos, los de una entrada-una salida o SISO (del inglés Single Imput-Single Output). Para el caso de sistemas lineales MIMO (del inglés Multiple Imputs-Multiple Outputs), habrá tantas funciones de transferencia como relaciones salida/entrada puedan ser obtenidas. Así por ejemplo, un sistema lineal con dos entradas y dos salidas generará 4 funciones de transferencia: Y1(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s), Y2(s)/U1(s), e Y2(s)/U2(s). Evidentemente, la clave para poder hacer esta separación entrada/salida es la imposición de linealidad del sistema, la cual permite obtener la respuesta total como la suma de las respuestas individuales entre cada entrada y salida.
A continuación, con objeto de fijar ideas y familiarizar al lector no avezado en el uso operacional de la transformada de Laplace, vamos a realizar un par de ejemplos donde se pone de manifiesto su utilidad. Las ocasiones en las que se use la transformada de Laplace en el texto se hará siempre como herramienta, por tanto, se recomienda el manejo de otros libros para profundizar en este instrumento matemático.

Ejemplo 2.6. Resolución de una ecuación diferencial lineal ordinaria. La transformada de Laplace facilita de forma notable la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, ya que convierte la ecuación diferencial temporal en un polinomio en s, y el proceso de integración para resolverla, en una manipulación algebraica de un polinomio cuya conversión al dominio temporal es inmediata mediante tablas. El proceso descrito se ilustra en la Figura 2.6. Para  realizar la transformación desde el dominio de la variable compleja s al dominio temporal se emplea una integral de inversión denominada transformada inversa10 de Laplace, ${L^{ - 1}}$.
En la práctica, rara vez se emplea la integral de inversión para encontrar f(t). Hay un método más sencillo que vamos a ilustrar en este ejemplo, que consiste en descomponer la expresión en s resultante de la transformación en fracciones simples, para después, mediante tablas, realizar una traslación directa al dominio temporal. Sea pues la ecuación diferencial a resolver siguiente:

$\frac{{{d^2}y\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}} + 6y\left( t \right) = 4u\left( t \right);\,\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1,\,\,\frac{{dy\left( 0 \right)}}{{dt}} = 0{\rm{ y }}u\left( t \right) = 1,\,\,\forall t \ge 0.$ (2.39)

Aplicando la transformada de Laplace11 a cada término de la ecuación:

\[L\left[ {\frac{{{d^2}y\left( t \right)}}{{d{t^2}}}} \right] + 5L\left[ {\frac{{dy\left( t \right)}}{{dt}}} \right] + 6L\left[ {y\left( t \right)} \right] = 4L\left[ {u\left( t \right)} \right]\] (2.40)

Utilizando una tabla de transformadas se escribe la correspondiente a cada sumando:

\[{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - \frac{{dy\left( 0 \right)}}{{dt}} + 5\left[ {sY\left( s \right) - y\left( 0 \right)} \right] + 6Y\left( s \right) = 4U\left( s \right)\] (2.41)

Ahora, teniendo en cuenta las condiciones iniciales y que la transformada de la señal escalón unitario U(s) es 1/s,

\[{s^2}Y\left( s \right) - s + 5\left[ {sY\left( s \right) - 1} \right] + 6Y\left( s \right) = \frac{4}{s}\] (2.42)

Agrupando términos y despejando Y(s),

\[Y\left( s \right) = \left[ {\frac{{s + 5}}{{{s^2} + 5s + 6}}} \right] + \left[ {\frac{4}{{s\left( {{s^2} + 5s + 6} \right)}}} \right]\] (2.43)

Donde . Entonces, el desarrollo en fracciones parciales12 de la expresión anterior es:

$Y\left( s \right) = \left[ {\frac{A}{{s + 2}} + \frac{B}{{s + 3}}} \right] + \left[ {\frac{C}{{s + 2}} + \frac{D}{{s + 3}} + \frac{E}{s}} \right]$ (2.44)

Cada uno de los coeficientes de la expresión anterior puede ser obtenido actuando sobre cada fracción de (2.43) y su desarrollo de (2.44) del modo siguiente:

$\frac{{\left( {s + 5} \right)\left( {s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{{A\left( {s + 2} \right)}}{{s + 2}} + \frac{{B\left( {s + 2} \right)}}{{s + 3}} \Rightarrow A = {\left. {\frac{{\left( {s + 5} \right)}}{{\left( {s + 3} \right)}}} \right|_{s =  - 2}} = 3$ (2.45)

Del mismo modo:

$B = {\left. {\frac{{\left( {s + 5} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s =  - 3}} =  - 2;\,\,C = {\left. {\frac{4}{{s\left( {s + 3} \right)}}} \right|_{s =  - 2}} =  - 2;\,\,D = {\left. {\frac{4}{{s\left( {s + 2} \right)}}} \right|_{s =  - 3}} = \frac{4}{3};\,\,E = {\left. {\frac{4}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}} \right|_{s = 0}} = \frac{2}{3}$ (2.46)

Por tanto,

$Y\left( s \right) = \frac{3}{{s + 2}} - \frac{2}{{s + 3}} - \frac{2}{{s + 2}} + \frac{{{4 \mathord{\left/  {\vphantom {4 3}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}{{s + 3}} + \frac{{{2 \mathord{\left/  {\vphantom {2 3}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}{s}$ (2.47)

Utilizando una tabla de transformadas se aplica ahora la transformada inversa13 a cada sumando para obtener la solución de la ecuación diferencial (2.39) en el dominio del tiempo:

$y\left( t \right) = 3{e^{ - 2t}} - 2{e^{ - 3t}} - 2{e^{ - 2t}} + \frac{4}{3}{e^{ - 3t}} + \frac{2}{3} =  - \frac{2}{3}{e^{ - 3t}} + {e^{ - 2t}} + \frac{2}{3}$ (2.48)

Nótese que conforme el tiempo transcurra los términos exponenciales tenderán a cero, de modo que la respuesta a la que tenderá el sistema (respuesta estacionaria) es $y\left( t \right) = {2 \mathord{\left/  {\vphantom {2 3}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} 3}$.