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Revisión de 2.5.1 Motivación de 14 June, 2011 - 18:26

13 June, 2011 - 20:41 — joaquinm13
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Figura 2.14. Definición de derivada.

Ejemplo 2.10. Solución aproximada de una ecuación diferencial ordinaria. Considérese el cálculo numérico de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y sea ésta, como ejemplo, la siguiente:

  (2.91)

La rama de las matemáticas que soluciona este tipo de problemas es el análisis o cálculo numérico. Esta disciplina crea algoritmos que permiten resolver problemas, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
El análisis numérico es de aplicación cuando: 1) Los problemas no tienen solución analítica o 2) el coste de cálculo de la solución analítica es mayor que la numérica. Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta22.
Volviendo con el ejemplo, nótese en la Figura 2.14 que para T pequeño,  puede aproximarse por la relación incremental (definición de derivada) siguiente:

  (2.92)

Resolviendo la ecuación anterior para $x\left( {t + T} \right)$ se tiene que

$x\left( {t + T} \right) = \left( {1 + Ta} \right)x\left( t \right) + T\,b\,u\left( t \right)$ (2.93)

Evaluando esta ecuación para un tiempo discreto cualquiera t = kT se obtiene la ecuación en diferencias siguiente:

$x\left[ {\left( {k + 1} \right)T} \right] = \left( {1 + Ta} \right)x\left( {kT} \right) + T\,b\,u\left( {kT} \right)$ (2.94)

La cual, para un T dado, puede ser escrita como

$x\left( {k + 1} \right) = \left( {1 + Ta} \right)x\left( k \right) + T\,bu\left( k \right)$ (2.95)

La expresión anterior indica que el valor de la trayectoria (solución) en el instante de tiempo $k + 1$ se calcula a partir del valor de x y de la excitación (entrada) u en el instante k.

La ecuación diferencial original (2.91) ha sido pues transformada por este método numérico sencillo (denominado de Euler23) en la ecuación en diferencias (2.94). Ésta puede ser programada ahora mediante un algoritmo numérico simple en un computador. Así por ejemplo, si $a{\rm{ = }}b{\rm{ = 1}}$,  y $u\left( k \right) = 1$ para k par;${\rm{ }}u\left( k \right) = 0$ para k impar, y $u\left( { - 1} \right) = x\left( { - 1} \right) = 0$, se tiene que las primeras 5 muestras de $x\left( {k + 1} \right)$ valen

\[\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( 0 \right) = 2x\left( { - 1} \right) + u\left( { - 1} \right) = 0} \hfill \\ {x\left( 1 \right) = 2x\left( 0 \right) + u\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1} \hfill \\ {x\left( 2 \right) = 2x\left( 1 \right) + u\left( 1 \right) = 2 + 0 = 2} \hfill \\ {x\left( 3 \right) = 2x\left( 2 \right) + u\left( 2 \right) = 4 + 1 = 5} \hfill \\ {x\left( 4 \right) = 2x\left( 3 \right) + u\left( 3 \right) = 10 + 0 = 10} \hfill \\ \end{array}\] (2.96)

Si se observa la ecuación (2.91), su expresión es la de un modelo de estado de orden 1 y, por ende, la ecuación (2.95) es la discretización de un modelo de estado de orden 1. Con objeto de extender lo anterior para el caso de sistemas de orden mayor que 1, se parte de la ecuación de estado lineal general que reproducimos a continuación por comodidad:

${\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)$ (2.97)

Aplicando a esta ecuación el proceso descrito para llegar de (2.91) a (2.95), se tiene que la ecuación matricial en diferencias del modelo de estado lineal continuo estará dada por

${\bf{x}}\left( {k + 1} \right) = \left( {{\bf{I}} + T{\bf{A}}} \right){\bf{x}}\left( k \right) + T{\bf{Bu}}\left( k \right)$ (2.98)

Esta ecuación permite ver enseguida que la ecuación de estado discreta lineal tiene un aspecto muy similar a la de tiempo continuo. Ahora también dos matrices multiplican a los vectores de estado y de entrada igual que en el caso continuo. Respecto de la dependencia temporal de las variables, sus argumentos han sido sustituidos por el tiempo discreto k y por k + 1 para el vector de estado derivado.  Esto se formalizará en la sección siguiente.


Ejemplo 2.11. Solución aproximada de un modelo de estado continuo de orden 2. Veamos una aplicación de la ecuación (2.98).  Se van a calcular los primeros 4 valores discretos (iteraciones) del modelo continuo de ejemplo siguiente:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}\left( t \right)} \\ {{{\dot x}_2}\left( t \right)} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \hfill 0 & \hfill 1 \\ \hfill { - 2} & \hfill { - 1} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)} \\ {{x_2}\left( t \right)} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)u\left( t \right)$ (2.99)

Supóngase que T=0,02s, en cuyo caso la aplicación de la ecuación (2.98) sobre el ejemplo proporciona la expresión siguiente:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( {k + 1} \right)} \\ {{x_2}\left( {k + 1} \right)} \\ \end{array}} \right) = \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right) + 0,02\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \hfill 0 & \hfill 1 \\ \hfill { - 2} & \hfill { - 1} \\ \end{array}} \right)} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( k \right)} \\ {{x_2}\left( k \right)} \\ \end{array}} \right) + 0,02\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)u\left( k \right)$ (2.100)

Esto es,

  (2.101)