A. Javier Barragán Piña

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Ejercicio 1 (3 puntos). El sistema de suspensión de un automóvil mostrado en la figura puede ser modelado mediante la siguiente ecuación diferencial:

donde d es el desplazamiento vertical del vehículo, m su masa, b es el coeficiente de fricción viscosa del amortiguador y k la constante del muelle. El desplazamiento provocado por el perfil de la carretera (c) se considera como la señal de entrada del mismo.

Se desea obtener:

a) (1 Punto). La función de transferencia del sistema D(s)/C(s).

b) (2 Puntos). Un modelo de estados del sistema mediante la utilización de un diagrama de flujo de señal de éste.

SOLUCIÓN:

a) Aplicamos Laplace a la ecuación del sistema para trabajar en el dominio de s y nos queda:

$ms^2 D(s) + b(sD(s) - sC(s)) + k(D(s) - C(s)) = 0$ ; sacamos factor común en D(s) y C(s):

$D(s)(ms^2 + bs + k) - C(s)(bs + k) = 0$ ; Finalmente, despejando D(s)/C(s), obtenemos la función de transferencia del sistema:

$\frac{{D(s)}}{{C(s)}} = \frac{{bs + k}}{{ms^2 + bs + k}}$

b) Para obtener el diagrama de flujo de señal del sistema, debemos sacar los caminos directos y los lazos.

$\frac{{D(s)}}{{C(s)}} = \frac{{bs + k}}{{ms^2 + bs + k}}\cdot\frac{{\frac{{s^{ - 2} }}{m}}}{{\frac{{s^{ - 2} }}{m}}} = \frac{{\frac{{bs^{ - 1} }}{m} + \frac{{ks^{ - 2} }}{m}}}{{1 + \frac{{bs^{ - 1} }}{m} + \frac{{ks^{ - 2} }}{m}}}$

Caminos directos:

P1=(k/m)·s^-2

P2=(b/m)·s^-1

Lazos:

L1=-(b/m)·s^-1

L2=-(k/m)·s^-2

Una vez obtenido los caminos directos y los lazos, realizamos el diagrama de flujo de señal del sistema que se muestra continuación:

Como podemos ver en el diagrama, las dos condiciones que ha de cumplir éste, se cumplen:

-Todos los lazos tienen en común al menos un nodo.

-Todos los caminos directos tienen en común con todos los lazos, al menos, un nodo.

Fórmula de Mason, para obtener el diagrama de flujo por comparación:

$G = \frac{{\sum\limits_k {\left( {P_k - \Delta _k } \right)} }}{\Delta }$

Finalmente, utilizando el diagrama de flujo de señal del sistema, obtenemos el modelo de estados de dicho sistema:

$\left( \begin{array}{l}
\mathop x\limits^ \bullet _1 \\
\mathop x\limits^ \bullet _2 \\
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 1 \\
{\frac{{ - k}}{m}} & {\frac{{ - b}}{m}} \\
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
0 \\
1 \\
\end{array} \right)c(t)$

$d(t) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{k}{m}} & {\frac{b}{m}} \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
\end{array}} \right) + \left( 0 \right)c(t)$