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Dada la siguiente ecuación diferencial:
$$\dfrac{\partial^3 y(t)}{\partial t^3}+4\dfrac{\partial^2 y(t)}{\partial t^2}+5\dfrac{\partial y(t)}{\partial t}+y(t)+\sin(y(t))-r(t)=0$$
1) Obtener un modelo de estado que represente el sistema no lineal.
2) Obtener un modelo de estado lineal del sistema suponiendo que éste opera en las cercanías del punto y(t)=0
3) Simular durante 20 segundos tanto el sistema lineal como el sistema no lineal, si se toma como punto inicial el origen, para r(t)=1 y r(t)=5, comentando los resultados de la simulación.
Deberá crear una función en un archivo M que describa el sistema no lineal, para poder simularlo mediante la instrucción ode 45
APARTADO 1.
Como la mayor derivada es 3, sabemos que N=3.
\[
\begin{array}{l}
x1 = y(t) \\
\mathop {x1}\limits^ \bullet = \mathop y\limits^ \bullet (t) = x2 \\
\mathop x\limits^ \bullet 2 = \mathop y\limits^{ \bullet \bullet } (t) = x3 \\
\mathop x\limits^ \bullet 3 = \\
\end{array}
\]
Despejamos de la ecuación \[\mathop x\limits^ \bullet 3\] pero primero reemplazamos los nombres
\[
\begin{array}{l}
\mathop x\limits^ \bullet 3 + 4x3 + 5x2 + x1 + sen(x1) - r(t) = 0 \\
\mathop x\limits^ \bullet 3 = - 4x3 - 5x2 - x1 - sen(x1) + r(t) \\
\end{array}
\]
Por tanto el modelo de estado seria:
APARTADO 2.
Ahora convertimos la ecuación en modelo de estados
Como la mayor derivada es 3, sabemos que N=3.
Por tanto el modelo de estado seria:
Representado de forma matricial seria.
APARTADO 3.
Primero lo haremos para el sistema no lineal.
function dx=nolineal(t,x)
R=1; Como nos dice, que simularlo con R=1 y R=5, aqui en la otra simulación simplemente lo cambiamos por 5
dx=zeros(3,1);
dx(1)=x(2);
dx(2)=x(3);
dx(3)=-x(1)-5*x(2)-4*x(3)+R-sin(x(1));
Nota: Al guardar la función, ponerle el mismo nombre que le hemos puesto a la función, en este caso "nolineal"
x0=[0;0;0];
tf=20;
[t,x]=ode45(@nolineal,[0,tf],x0);
plot(t,x),grid
xlabel('tiempos');
ylabel('variables de estado')
legend ('x_1','x_2','x_3')
Y la gráfica que nos devuelve el sistema es
Ahora lo haremos para el sistema lineal
clc, clear all, close all
A=[0,1,0;0,0,1;-2,-5,-4];
B=[0;0;1];
C=[1,0,0];
D=[0];
Sistema1=ss(A,B,C,D); %Coje las 4 matrices y lo convierte en un sistema lineal
step(Sistema1,20)
Y la gráfica que nos devuelve el sistema es