A. Javier Barragán Piña

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a)     El plano S para un sobreimpulso máximo del 10% y un tiempo de asentamiento menor de 8 segundos, es el resultante.

\[ M_p  < 10\%  = 0.1\]

\[M_p  = e^{\frac{{ - \delta \pi }}{{\sqrt {1 - \delta ^2 } }}} \]

\[\delta  = \sqrt {\frac{{(LnM_p )^2 }}{{\pi ^2  + (LnM_p )^2 }}} \Rightarrow \delta  \geq 0.5911\]

\[t_s  < 8s.\]

\[
\delta  = 0.5911
\]
\[
\cos \beta  = \delta
\] ; \[
\beta  = ar\cos (0.5911)
\] = 53.73º
\[
t_s  \approx \frac{4}
{{\delta w_n }} < 8s  \xrightarrow{{}}\delta w_n  > \frac{4}
{8};\delta w_n  > 0.5
\]

Para que se cumpla las especificaciones de sobreimpulso y tiempo de asentamiento dado los polos deben de estar dentro del plano S dibujado.

a)     Para un error de posición inferior al 6% la k será la siguiente.

 E(s)= R(s)-B(s)

B(s)= H(s)* Y(s)

Y(s)= E(s)*C(s)*G(s)

 \[
E(s) = R(s)\frac{1}
{{1 + H(s)*C(s)*G(s)}}
\]
\[
E(s) = R(s)\frac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
x(\infty ) = \mathop {Lim}\limits_{s \to 0} s\frac{1}
{s}\frac{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1)}}
{{(0.4s + 1)(3s + 1)(s + 0.1) + k(s + 0.5)}}
\]
\[
\frac{{0.1}}
{{0.1 + 0.5K}} < 0.06;K > 3,13
\]